Gitter und Kryptographie - Goethe-Universität

98 KAPITEL 11. KOMPLEXITÄT, N P-VOLLSTÄNDIGKEIT
3. {0, 1}-Integer-Programming:
{0, 1}-IP :=
{
(m, n, A, b)
∣
A ∈ Z m×n , b ∈ Z m ,
∃x ∈ {0, 1} n : Ax ≤ b
}
4. Schwache Zerlegung:
{
(n, a 1 , . . . , a n ) ∈ N n+1 ∣ ∣∣∣∣
∃ (x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, ±1} n \ {0 n } :
}
n∑
a i x i = 0
Beweis. Für 1,2,3 siehe [GaJo79][SS76], für 4 siehe [EB81]. Den Nachweis, daß es für die Sprache
Integer-Programming polynomiell lange Zeugen gibt, also IP ∈ N P, werden wir in Satz 11.2.6
führen.
Satz 11.2.6 (von zur Gathen, Sieveking 1978)
IP ∈ N P.
Beweis. Wir wählen als Zeugen für (m, n, A, b) ∈ IP ein geeignetes x ∈ Z n mit Ax ≤ b. Offenbar
existiert x genau dann, wenn (m, n, A, b) ∈ IP. Wir müssen noch zeigen, daß der Zeuge polynomielle
Länge hat.
Sei A =: (a ij ) ij und b =: (b 1 , . . . , b m ) T . Setze M := max i,j {|a ij | , |b i |}. Nach [GaSi78] gilt:
(∃x ∈ Z n : Ax ≤ b) ⇐⇒ ( ∃x ∈ Z n : Ax ≤ b, ‖x‖ ∞
≤ (n + 1)n n 2 M
n )
Die obere Schranke von ‖x‖ ∞
impliziert, daß die Länge des Zeugen x polynomiell in der Länge
von A und b beschränkt ist. Wegen l(m, n, A, b) ≥ nm + log 2 M gilt:
l(x) = O ( n 2 (log n + log M ) = O ( l(m, n, A, b) 3)
Wir definieren die Begriffe, die elementar für die weiteren Kapitel sind:
i=1
Definition 11.2.7 (Gitter, Basis, Dimension, Rang)
Seien b 1 , . . . , b n ∈ R m linear unabhängige Vektoren. Wir nennen die additive Untergruppe
L(b 1 , . . . , b n ) :=
{
n∑
n
∣ }
∑ ∣∣∣∣
b i Z = t i b i t 1 , . . . , t m ∈ Z
i=1
des R m ein Gitter mit der Basis b 1 , . . . , b n . Ist die Reihenfolge der Basisvektoren fest, sprechen
wir von einer geordneten Basis. Der Rang oder auch die Dimension des Gitters ist Rang(L) := n.
i=1
Betrachten wir ein Beispiel:
Beispiel 11.2.8 (Gitter)
Z m ist ein Gitter vom Rang m, die Einheitsvektoren bilden eine Basis. Zur Matrix A ∈ M m,n (Z)
ist {x ∈ Z n | Ax = 0} ein Gitter vom Rang n − Rang(A); nach Satz 11.2.4 können wir in Polynomialzeit
eine Basis konstruieren.
⋄
Wir versuchen, durch Gitterreduktion einen kürzesten, nicht-trivialen Gittervektor zu finden.
Im Fall der sup-Norm ist dies unter der Annahme P ≠ N P nicht immer effizient möglich: