Gitter und Kryptographie - Goethe-Universität

Kapitel 5
Lösen von Subsetsum-Problemen
durch kurze Gittervektoren
Wir lösen fast alle Subsetsum-Probleme kleiner Dichte d durch Vektoren der Länge λ 1 des Lagarias-
Odlyzko-Gitters und dann des CJLOSS-Gitter. Im CJLOSS-Gitter entsprechen Lösungen des
Subsetsum-Problems besonders kurzen Gittervektoren. Die Lösung gelingt für fast alle Subsetsum-
Probleme der Dichte kleiner 0, 9408 und für Dimension n ≤ 80 in der Praxis sogar effektiv durch
LLL-Reduktion. Fast alle CJLOSS-Gitter für Subsetsum-Probleme der Dichte d < 0, 9408 haben
eine Packungsdichte △ mit
1
n log 2 △ ≥ −1.0158 für hinreichend grosse Dimension n.
5.1 Das Subsetsum-Problem
Definition 5.1.1 (Subsetsum-Problem, oder Knapsack- bzw. Rucksack-Problem.)
• Gegeben: n ∈ N, Gewichte a 1 , . . . , a n ∈ N und s ∈ N
n∑
• Finde e ∈ {0, 1} n mit a i e i = s oder zeige, daß kein solcher Vektor existiert.
i=1
Nach Satz 11.2.5 auf Seite 97 ist das Subsetsum-Entscheidungsproblem N P-vollständig, sogar für
beliebig kleine Dichte d.
Annahmen. Der Gewichtsvektor (a 1 , . . . , a n ) variiere über [1, A] n ⊂ N n für ein beliebiges A ∈ N.
Es wird die Existenz einer Lösung e = (e 1 , . . . , e n ) ∈ {0, 1} n vorausgesetzt.
Die Wahrscheinlichkeiten und die ”
fast alle“-Aussagen in diesem Kapitel beziehen sich auf
zufällig gewählte (a 1 , . . . , a n ) ∈ R [1, A] n .
Definition 5.1.2 (Inverses Subsetsum-Problem)
Im inversen Problem wird s durch s := t − s mit t = ∑ n
i=1 a i ersetzt.
Jede Lösung e des Ausgangsproblems liefert eine Lösung e des inversen Problems und umgekehrt:
e i := 1 − e i
i = 1, . . . , n
Eine der beiden Lösungen e, bzw e hat höchstens n/2 Einsen.
Wir lösen das Subsetsum-Problem durch ein SVP-Orakel welches zur Basis des Gitters L
einen Gittervektor der Länge λ 1 in Euklidischer Norm liefert. Wir zeigen, daß das SVP-Orakel
für fast alle (a 1 , ..., a n ) ∈ [1, A] n entweder das gegebene Subsetsum-Problem oder sein inverses löst.
Die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs wird für zufällige (a 1 , ..., a n ) ∈ [1, A] n mit wachsendem n
43