Der Hauptsatz der projektiven Geometrie - Fachbereich Mathematik ...

1 Einleitung
Der Hauptsatz der projektiven Geometrie liefert eine der wichtigsten Aussagen zum
Verhalten von speziellen bijektiven Abbildungen zwischen projektiven Räumen, den
Kollineationen. Der Satz selbst erinnert stark an den Hauptsatz der affinen Geometrie,
nur dass hier anstatt mit Afiinitäten mit Projektivitäten gearbeitet wird. Allerdings
ist die Anzahl der Elemente des Körpers, über dem die Vektorräume liegen, anders
als im affinen Fall, irrelevant, nur die Dimension ≥ 2 ist erforderlich. Mit Hilfe des
Hauptsatzes der projektiven Geometrie ist es möglich, den Beweis für den affinen Fall
zu vervollständigen. Zunächst werden ein paar grundlegende Begriffe wiederholt, die für
das Verständnis des Beweises unerlässlich sind.
Im folgenden seien V , W Vektorräume über einem Körper K. Entsprechend sind P(V ),
P(W ) projektive Räume.
Defintion 1. Eine Abbildung F : V → W heißt semilinear bezüglich eines Automorphismus
α : K → K, wenn gilt:
1. F (a + b) = F (a) + F (b)
2. F (λa) = α(λ)F (a)
Definition 2. f : P(V ) → P(W ) heißt seimprojektiv, wenn es ein semilineares
F : V → W gibt mit f = P(F ). Ist f bijektiv, so heißt f Semiprojektivität.
Definition 3. Eine bijektive Abbildung f : P(V ) → P(W ) heißt Kollineation, wenn die
Bilder kollinearer Punkte wieder kollinear sind, d.h. für p, p ′ ∈ P(V):
f(p ∨ p ′ ) ⊂ f(p) ∨ f(p ′ ).
Jede Semiprojektivität ist auch eine Kollineation, denn Semiprojektivitäten erhalten
Unterräume.
2 Der Hauptsatz der projektiven Geometrie
Satz 4. Seien P(V ), P(W ) projektive Räume über einem Körper K mit
dim P(V ) = P(W ) ≥ 2. Dann ist jede Kollineation f : P(V ) → P(W ) eine Semiprojektivität
und im Falle von K = R sogar eine Projektivität.
Bemerkung. Der Beweis wird in mehrere, handlichere Hilfsaussagen zerlegt. Zunächst
soll gezeigt werden, dass Kollineationen auch höher-dimensionale Unterräume erhalten.
Danach wird eine Abbildung α definiert, die wir als den benötigten Automorphismus
identifizieren werden. Die Voraussetzung dim P(V ) = P(W ) ≥ 2 wird dabei nur für
die Eigenschaften des Automorphismus benötigt. Sie macht aber auch für sich alleine
gesehen Sinn. Ist nämlich dim P(V ) = P(W ) = 1, so existiert nur eine Gerade. Dass
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