Probeklausur (1.2.2012 ...

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8) Parken am Hang Ein Auto der Masse m = 1000 kg parkt an einem Hang mit einer Steigung von 12% mit angezogener Handbremse. Es wird unter das Vorderrad des Autos ein Keil gelegt, der dieses davor sichern soll, einfach loszurollen. Aufgrund eines relativ glatten Keils beträgt der Haftreibungskoeffizient aber lediglich µ = 0, 1. (a) Nun wird die Handbremse des Autos gelöst, so dass nur noch der Keil das Auto am Losfahren hindern könnte. Welche Kräfte wirken in diesem Moment auf das Auto und wie groß sind sie jeweils? Zeichnen Sie diese Kräfte in eine passende Skizze ein! (Ersatzlösungen (lediglich für spätere Teilaufgaben benötigte Kräfte!): Normalkraft F N = 20000 N, Hangabtriebskraft F H = 2500 N) Lösung: (5 Punkte) Es wirken in diesem System: Die Gewichtskraft F G des Autos senkrecht nach unten, dadurch ergeben sich jeweils die Komponenten entlang der schiefen Ebene (Hangabtriebskraft F H ) und senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkraft F N ). Aufgrund der angenommenen Haftreibung ergibt sich weiterhin eine Reibungskraft F R , die der Hangabtriebskraft entgegengesetzt verläuft, also entlang der schrägen Ebene nach oben. Der Winkel α der schrägen Ebene lässt sich aus der Angabe wie folgt bestimmen: Eine Steigung von 12% entspricht einem Höhenunterschied von 12 m auf einer horizontalen Länge von 100 m, womit tan α = 12 m ist 100 m und somit α = 6, 84 ◦ . Für die jeweiligen Beträge der Kräfte ergeben sich dementsprechend folgende Rechnungen: F G = m · g = 1000 kg · 9, 81 m = 9810 N s 2 F H = sin α · F G = sin α · m · g = sin (6, 84 ◦ ) · 9810 N = 1169 N F N = cos α · F G = cos α · m · g = cos (6, 84 ◦ ) · 9810 N = 9740 N F R = µ · F N = 0, 1 · 9740 N = 974, 0 N Kräfte im System (b) Reicht der Keil bei dieser Steigung aus, um das Auto zu stabilisieren? Begründen Sie ihre Antwort! 14
Lösung: (1 Punkt) Die durch den Keil erzeugte Reibungskraft reicht leider nicht aus, da in diesem Fall F R < F H ist, das Auto würde mit diesem Keil bei dieser Steigung also von selbst in Bewegung geraten. (c) Welchen Haftreibungswert µ min müsste man durch einen anderen Keil mindestens erreichen, damit das Auto nicht von selbst beginnt, den Hang hinunter zu rollen? Lösung: (2 Punkte) Im Grenzfall müsste genau gelten F R = F H , also: F H = 1169 N = µ · F N = µ · 9740 N Umgestellt nach µ ergibt dies: µ = F H FN = 1169 N = 0, 12 9740 N Man müsste also einen Keil unterlegen, der einen Haftreibungswert von mindestens µ = 0, 12 erzeugt. (Bei Verwendung der Ersatzlösung: µ = 0, 125) 15
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