Probeklausur (1.2.2012 ...

5) Kinderkarussell
Ein Kinderkarussell dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = 0,200 s −1 um die z-Achse. Der Radius
des Karussells sei mit R bezeichnet.
(a) Berechnen Sie die Periode T .
Lösung (1 P):
T = 2π ω
= 31,4 s.
(b) Die Bahnkurve eines Kindes sei parametrisiert durch den zeitabhängigen Vektor
⎛ ⎞
cos (ωt)
⃗r(t) = R ⎝sin (ωt) ⎠ .
0
Bestimmen Sie die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren ⃗v(t) und ⃗a(t) des kleinen Fahrgasts.
Lösung (4 P):
(c) Prüfen Sie die Beziehung
⎛ ⎞
⃗v(t) = ˙⃗r(t)
− sin (ωt)
= Rω ⎝ cos (ωt) ⎠
0
⎛ ⎞
⃗a(t) = ˙⃗v(t)
− cos (ωt)
= Rω 2 ⎝− sin (ωt) ⎠ = −ω 2 ⃗r(t).
0
⃗v = ⃗ω × ⃗r.
Bestimmen Sie dazu zunächst den Vektor ⃗ω. Hinweis: Dreht sich das Karussell im Uhr- oder im Gegenuhrzeigersinn?
Lösung (2 P):
Das Karusell dreht sich gegen den Uhrzeigersinn, wenn man von oben auf die x-y-Ebene schaut.
⎛ ⎞
0
⃗ω = ⎝0⎠ :
ω
(⃗ω × ⃗r) x = ω y r z − r y ω z = −Rω sin (ωt) = v x
(⃗ω × ⃗r) y = ω z r x − r z ω x = Rω cos (ωt) = v y
(⃗ω × ⃗r) z = ω x r y − r x ω y = 0 = v z .
(d) Skizzieren Sie das Karussell, sowie die drei Vektoren ⃗r, ⃗v und ⃗a für das Kind zur Zeit t = 0.
Lösung (1 P):
8