FR Fehlerrechnung

FR
FR
Fehlerrechnung
1. Stichworte
Statistische Verteilungen, Mittelwert, Standardabweichung, Fehlerfortpflanzung
2. Grundlagen
Im Physik-Praktikum werden Sie mit einfachen und grundlegenden Versuchen einzelne Teilgebiete
der Physik kennenlernen. Sie werden die Versuche durchführen, Messergebnisse aufnehmen
und diese auch auswerten. Zu jeder Messung und Auswertung, auch außerhalb der
Physik, gehört es, diese qualitativ bewerten zu können. Um eine Aussage über die Qualität
der Messwerte und der daraus errechneten Größen machen zu können, ist eine Bestimmung
der Messunsicherheiten unumgänglich. Da dafür in der physikalischen Fachliteratur
der Begriff Fehlerrechnung üblich ist, werden wir diesen (in Abweichung z.B. von der DIN)
verwenden. Ein experimentell gefundener Wert ohne Angabe des Messfehlers ist wertlos.
Ebenso unsinnig ist die Angabe der Abweichung eines gemessenen Wertes von einem Referenzwert,
den man z.B. aus der Literatur kennt, solange die Messunsicherheit unbekannt ist.
Nehmen Sie an, Sie müssten die Masse einer Goldmünze bestimmen. Dann ist eine Abweichung
von 1 g zur angegebenen Masse bei einer Messunsicherheit von 10 g (z.B. Küchenwaage)
völlig anders zu bewerten als bei einer Laborwaage mit 1 mg Messunsicherheit.
Jede Messung einer Größe ist mit einer gewissen Unsicherheit behaftet. Die Bezeichnung
Fehler kann etwas irritierend sein, da die Messung ja eigentlich nicht falsch, sondern lediglich
ungenau ist. Vom zufälligen (oder auch statistischen) Fehler spricht man, wenn der
Messprozess zufälligen Schwankungen unterworfen ist. Das können Ablesefehler sein, elektronisches
Rauschen oder ähnliche zufällige Einflussgrößen. Wenn Vorzeichen und Größe
der Abweichung zufällig sind, mitteln sich diese bei mehrfacher Messung allmählich heraus.
Von systematischen Fehlern spricht man, wenn die Einflussgrößen auf die Messung konstante
oder sich nur langsam ändernde Abweichungen vom wahren Wert bewirken.
Ein gutes Beispiel für ein Messgerät mit Fehlern ist eine Analoguhr. Die Genauigkeit, mit
der Sie die Zeigerstellung ablesen können, dominiert den zufälligen Fehler. Hinzu kommt bei
einer Stoppuhr Ihre Reaktionsgeschwindigkeit. Diese Werte konvergieren gegen den wahren
Wert, wenn Sie mehrmals ablesen. Geht die Uhr aber falsch (vor/nach, zu schnell/zu
langsam), so wird eine mehrmalige Messung gegen diesen systematisch falschen Wert konvergieren.
Hier hilft nur, die Uhr regelmäßig gegen eine bessere Uhr (z.B. das Zeitzeichen)
abzugleichen oder eine bessere Uhr zu verwenden.
Systematische Fehler sind daher prinzipiell korrigierbar, in der Regel durch Vergleichsnormale.
Der Hersteller der Messgeräte betreibt bei der Kalibrierung allerdings nur endlichen
Aufwand und gibt daher meist die systematischen Fehlergrenzen des Gerätes an (z.B. bei
einer Uhr 1s/Tag). Bei Geräten, welche der Eichpflicht unterliegen (z.B. Handelswaagen),
wird der max. systematische Fehler gesetzlich festgelegt, die sog. Eichfehlergrenze. Eine
Eichung ist also eine amtliche Kalibrierung, wir werden daher im Praktikum nie eichen,
höchstens kalibrieren.
1

FR
Fehlerrechnung
Zufällige Abweichungen sind hingegen zunächst irgendwie statistisch verteilt. Gehen viele
unabhängige Ursachen in die Abweichung ein, so ist die Größe nach C.F. Gauß normalverteilt.
Dies bezeichnet man auch als den zentralen Grenzwertsatz der Stochastik.
Sie können Ihre Messung also durch eine Mehrfachmessung dann verbessern, wenn die statistische
Schwankung des Messwerts größer ist als die Auflösung des Messgeräts. Allerdings
ist es unsinnig, den zufälligen Fehler durch Mehrfachmessung unter den systematischen Fehler
senken zu wollen, woraus sich eine maximale Anzahl von sinnvollen Messwiederholungen
ergibt.
Am Beispiel der Goldmünze lässt sich das wieder illustrieren: Zeigt die Küchenwaage mit
einer Skaleneinteilung von 10 g eine Masse von 30 g für die Münze an, so wird sie das
auch bei jeder folgenden Messung tun. Eine Mehrfachmessung bringt hier nichts, auch weil
der systematische Fehler bereits 10 g beträgt. Bei einer Laborwaage genügt aber bereits ein
leichtes Wackeln am Tisch, um ein um mehrere mg abweichendes Ergebnis zu bekommen.
Hier hilft eine Mehrfachmessung.
Ein Spezialfall sind diskrete Größen: Wenn Sie drei Äpfel auf dem Tisch liegen haben, werden
Sie auch bei der hundersten Zählung drei Äpfel haben (es sei denn, Sie können nicht bis
drei zählen, aber das wäre ein systematischer Fehler). Anders sieht es aus, wenn die Messgröße
selbst statistischer Natur ist, z.B. der radioaktive Zerfall. Dann werden werden Sie bei
gleicher Messzeit jedesmal eine andere Zahl von Zerfällen messen, die um einen mittleren
Wert schwanken (allerdings diesmal nicht normal-, sondern Poisson-verteilt.)
Die Häufigkeit Ihrer Messwerte x verteilen sich also mit einer Gaußfunktion um den zentralen
Wert µ, dem für unendlich viele Messungen der Mittelwert x zustrebt: Dieser zentrale
Wert weicht nur noch um den systematischen Fehler vom wahren Wert ab.
f(x) =
1 (x − µ)2
√ exp
2πσ
2 2σ 2
(FR.1)
Das arithmetische Mittel
x = 1 n
n∑
i=1
x i
(FR.2)
aus den n Einzelmessungen x i ist dabei die beste Näherung für den zentralen Wert µ. Die
Breite σ gibt an, wie stark die Einzelmessung um den zentralen Wert streut. Die beste Näherung
für sigma bei einer endlichen Zahl von Messungen ist die sogenannte Standardabweichung
s.
s = √ 1
n − 1
n∑
(x i − x) 2 (FR.3)
Dass im Nenner n − 1 und nicht n steht, lässt sich am besten mit n = 2 Messwerten begründen:
Der Mittelwert liegt genau zwischen diesen Werten und die Abweichung vom
2
i=1

Grundlagen
FR
Abbildung FR.1: Aufgetragen ist hier die Häufigkeit des Messwerts über den Messwert bei
250 Messungen, mit der einhüllenden Gaußfunktion.
Mittelwert ist für beide Messwerte gleich und allein durch den Abstand der beiden Messwerte
gegeben. Man darf also nur über einen Wert mitteln. Entsprechend ergeben sich zwei
unabhängige Abweichungen bei 3 Messwerten usw. Dies wird auch als Besselkorrektur bezeichnet.
Für eine große Zahl von Messungen konvergiert s gegen σ, also eine konstante
Größe, die allein Eigenschaft des Messprozesses ist.
Entscheidend ist bei einer Mehrfachmessung jedoch die Standardabweichung s m des Mittelwerts:
s m = s/ √ n
(FR.4)
Sie geht also für unendlich viele Messungen gegen Null. Ist n endlich, so ist auch der Mittelwert
gaußverteilt. Interpretiere ich s m als zufälligen Fehler, so liegen nur ca. 68 % der Messwerte
innerhalb des Intervalls µ ± s m . Damit liegt meine Irrtumswahrscheinlichkeit bei ca.
32 %. In der Praxis verwendet man allerdings sinnvollerweise kleinere Irrtumswahrscheinlichkeiten
und muss damit die Intervalle um den Mittelwerte (die sog. Vertrauensintervalle,
3

FR
Fehlerrechnung
denn hier vertraue ich den Messwerten) vergrößern: bei 2s m 5%, bei3s m 0, 2%. Im Praktikum
arbeiten wir mit dem zufälligen Fehler ∆x = 2s m .
Hängt das endgültige Messergebnis f von mehreren fehlerbehafteten Messgrößen (z.B. x
und y) ab und sind diese statistisch unabhängig und normalverteilt, so kann man zeigen, dass
die resultierende Größe ebenfalls normalverteilt ist mit dem resultierenden Fehler:
δf =
√
( ∂f
∂x δx)2 + ( ∂f
∂y δy)2
(FR.5)
Diese quadratische Addition bezeichnet man als Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz. Es
gilt nur für zufällige, unabhängige Fehlergrößen. Systematische Fehler sind aber konstant
und daher linear zu addieren!
4