FR Fehlerrechnung

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Fehlerrechnung
Zufällige Abweichungen sind hingegen zunächst irgendwie statistisch verteilt. Gehen viele
unabhängige Ursachen in die Abweichung ein, so ist die Größe nach C.F. Gauß normalverteilt.
Dies bezeichnet man auch als den zentralen Grenzwertsatz der Stochastik.
Sie können Ihre Messung also durch eine Mehrfachmessung dann verbessern, wenn die statistische
Schwankung des Messwerts größer ist als die Auflösung des Messgeräts. Allerdings
ist es unsinnig, den zufälligen Fehler durch Mehrfachmessung unter den systematischen Fehler
senken zu wollen, woraus sich eine maximale Anzahl von sinnvollen Messwiederholungen
ergibt.
Am Beispiel der Goldmünze lässt sich das wieder illustrieren: Zeigt die Küchenwaage mit
einer Skaleneinteilung von 10 g eine Masse von 30 g für die Münze an, so wird sie das
auch bei jeder folgenden Messung tun. Eine Mehrfachmessung bringt hier nichts, auch weil
der systematische Fehler bereits 10 g beträgt. Bei einer Laborwaage genügt aber bereits ein
leichtes Wackeln am Tisch, um ein um mehrere mg abweichendes Ergebnis zu bekommen.
Hier hilft eine Mehrfachmessung.
Ein Spezialfall sind diskrete Größen: Wenn Sie drei Äpfel auf dem Tisch liegen haben, werden
Sie auch bei der hundersten Zählung drei Äpfel haben (es sei denn, Sie können nicht bis
drei zählen, aber das wäre ein systematischer Fehler). Anders sieht es aus, wenn die Messgröße
selbst statistischer Natur ist, z.B. der radioaktive Zerfall. Dann werden werden Sie bei
gleicher Messzeit jedesmal eine andere Zahl von Zerfällen messen, die um einen mittleren
Wert schwanken (allerdings diesmal nicht normal-, sondern Poisson-verteilt.)
Die Häufigkeit Ihrer Messwerte x verteilen sich also mit einer Gaußfunktion um den zentralen
Wert µ, dem für unendlich viele Messungen der Mittelwert x zustrebt: Dieser zentrale
Wert weicht nur noch um den systematischen Fehler vom wahren Wert ab.
f(x) =
1 (x − µ)2
√ exp
2πσ
2 2σ 2
(FR.1)
Das arithmetische Mittel
x = 1 n
n∑
i=1
x i
(FR.2)
aus den n Einzelmessungen x i ist dabei die beste Näherung für den zentralen Wert µ. Die
Breite σ gibt an, wie stark die Einzelmessung um den zentralen Wert streut. Die beste Näherung
für sigma bei einer endlichen Zahl von Messungen ist die sogenannte Standardabweichung
s.
s = √ 1
n − 1
n∑
(x i − x) 2 (FR.3)
Dass im Nenner n − 1 und nicht n steht, lässt sich am besten mit n = 2 Messwerten begründen:
Der Mittelwert liegt genau zwischen diesen Werten und die Abweichung vom
2
i=1