SC Saccharimetrie

SC
SC
Saccharimetrie
1. Stichworte
Licht als Welle, Wellenlänge, Frequenz, elektrisches Feld, Polarisationsebene, Polarisation
des Lichts (linear, zirkular und Überlagerungen), Dipol, Polarisator, Analysator, optische
Aktivität, Polarimeter, Saccharimetrie
2. Literatur
Bergmann-Schäfer Bd.3, Kap. 4, E. Hecht, Optik, Kap.8, Staudt Skript Bd.2, Kap.8
3. Grundlagen
3.1. Licht als Welle
Die Geometrische Optik, bei der die Lichtausbreitung als Strahl beschrieben wird, ist insbesondere
für die Beschreibung der (einfachen) optischen Abbildung sehr gut geeignet. Optische
Effekte wie die Farbaufspaltung am Prisma, die Beugung am Gitter sowie die Polarisation
lassen sich damit jedoch nicht erklären. Hier ist es nötig, auch die Welleneigenschaften
des Lichtes zu berücksichtigen.
Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle. Transversal bedeutet, dass die Amplitude
der Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Die Amplituden sind im
Fall von Licht das elektrische und das magnetische Feld. Diese stehen wiederum senkrecht
zueinander, wie in Abbildung SC.1 zu sehen ist.
Da das elektrische und magnetische Feld an keine Materie gebunden sind, kann sich Licht
auch im Vakuum ausbreiten. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum beträgt 299 792 458 m/s
und wird als Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Der Wert ist exakt, da über ihn seit 1983 das
Meter definiert ist. Die Geschwindigkeit des Lichtes in Materie ist geringer. Die Geschwindigkeit
des Licht ist über die Frequenz f mit der Wellenlänge λ verknüpft.
c = f ∗ λ
(SC.1)
Die Wellenlänge des Licht entscheidet darüber, welche Farbe das Licht hat. Das Spektrum
des sichtbaren Lichts reicht von ca. 350 nm (blau) bis 750 nm (rot), das menschliche Auge
ist also nur in einem kleinen Ausschnitt des elektromagnetischen Spektrums empfindlich.
Aus der Amplitude des elektrischen Feldes ergibt sich die Intensität: I ∝ E 2 , die dem Helligkeitsempfinden
des Auges (bei einer bestimmten Wellenlänge) entspricht.
3.2. Polarisation
Die Raumrichtung der Schwingung der elektrischen Feldstärke ⃗ E wird als Polarisationsrichtung
bezeichnet. Da das magnetische Feld ⃗ B stets senkrecht zu ⃗ E schwingt, brauchen wir
nur eines der Felder zu betrachten.
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E
k
B
Abbildung SC.1: transversale elektro-magnetische Welle
Würde Licht aus einer einzigen Welle bestehen, wäre die Schwingungsebene fix, das Licht
wäre vollständig linear polarisiert. Licht besteht jedoch meist aus vielen kurzen Wellenzügen,
die alle beliebige Schwingungsebenen haben und damit keine Polarisation aufweisen. Sonnenlicht
oder das Licht einer Glühlampe sind ebenso wie Kerzenlicht unpolarisiert.
Wählt man aus der gleichmäßigen Verteilung von Schwingungsrichtungen bestimmte Richtungen
aus, so polarisiert man das Licht. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten.
Unpolarisiertes Licht kann mit Hilfe eines Polarisationsfilters linear polarisiert werden. Die
einfachsten Polarisatonsfilter basieren auf einer gereckten Polymerfolie. Das Polymer ist
aus langen Ketten von Kohlenwasserstoffmolekülen aufgebaut. Durch das Recken der Folie
werden die Ketten parallel ausgerichtet. An die Kohlenwasserstoffmoleküle wird Jod
angelagert. Dieses Jod liefert Leitungselektronen, die sich längs der Ketten, jedoch nicht
senkrecht zu diesen bewegen können. Dadurch entstehen gleichsam leitende ”
Drähte“ längs
der Molekülketten. Trifft nun Licht auf die Folie, so absorbieren die Drähte den Anteil des
Lichts, dessen ⃗ E-Vektor parallel zu den Drähten schwingt, während die Komponente, deren
⃗ E-Vektor senkrecht dazu schwingt, ungehindert passieren kann. Abbildung SC.2 zeigt
schematisch die Wirkung eines Polarisators.
In dieser Abbildung wird außerdem ein sehr wichtiges Prinzip deutlich. Es genügt, zwei
senkrecht zueinander stehende lineare Polarisationen anzuschauen. Jede andere lineare Polarisationsrichtung
kann durch korrekte Addition der beiden Polarisationen erzeugt werden.
Genauso kann jede Polarisation wieder in diese zwei Anteile zerlegt werden. Eine Skizze zur
graphischen Verdeutlichung ist Abbildung SC.3. Licht folgt also dem Superpositionsprinzip
(ungestörte Überlagerung). Zur vollständigen Beschreibung von beliebig linear polarisier-
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Abbildung SC.2: Wirkung eines Polarisators
tem Licht genügen also zwei Richtungen, senkrecht und horizontal polarisiert, um es zu
beschreiben.
senkrechter
Anteil
ursprünglicher
Vektor
Winkel
paralleler
Anteil
Abbildung SC.3: Zerlegung der Polarisation
Auch Reflektion an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex
ist eine andere Möglichkeit Licht linear zu polarisieren. Das reflektierte Licht ist vollständig
linear polarisiert, wenn der transmittierte, gebrochene Strahl und der reflektierte Strahl unter
einem Winkel von 90 ◦ zueinander stehen. Dies ist der Brewsterwinkel α B = arctan n wobei
n Verhältnis der Brechungsindizes der Medien ist. Die Polarisationsrichtung steht senkrecht
auf der von einfallendem und reflektiertem Strahl aufgespannten Ebene. Die Begründung für
diesen Effekt liegt in der Abstrahlcharakteristik des Dipols. Auf diesen Sachverhalt wird hier
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aber nicht weiter eingegangen.
Weitere Möglichkeiten, auf die hier auch nicht weiter eingegangen wird, sind Doppelbrechung
und Streuung.
Um festzustellen, ob Licht linear polarisiert ist, benutzt man einen zweiten Polarisator, den
man in diesem Fall als Analysator bezeichnet. Steht die Vorzugsrichtung des Analysators
parallel zu der des Polarisators, so geht das Licht ungehindert hindurch. Hat das Licht vor
dem Analysator die Amplitude A 0 und bildet die Polarisationsrichtung des Lichts vor dem
Analysator mit der Vorzugsrichtung des Analysators den Winkel α, so ist die Lichtamplitude
hinter einem idealen Analysator
A = A 0 cos α .
(SC.2)
Die Intensität nimmt beim Durchgang durch den Analysator, aufgrund des quadratischen
Zusammenhangs mit dem elektrischen Feld, um den Faktor cos 2 α ab. Lässt man auf einen
idealen Polarisator unpolarisiertes Licht fallen, so ist die Intensität des polarisierten Lichts
hinter dem Polarisator gerade halb so groß wie die des einfallenden Lichts.
3.3. Verschiedene Polarisationen
Überlagert man zwei vollständig polarisierte Wellen gleicher Amplitude mit fester Phasenbeziehung
aber mit zueinander senkrechten linearen Polarisationsrichtungen, und unterscheiden
sich die Phasen der beiden Wellen um ± π/2, so erhält man eine zirkular polarisierte
Welle. Sie hat dieselbe Amplitude wie jede der beiden linear polarisierten Wellen. In einer
zirkular polarisierten Welle ist der Betrag der elektrischen Feldstärke konstant. Die Richtung
rotiert aber mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2 π ν um die Ausbreitungsrichtung. Die
Drehrichtung wird durch das Vorzeichen der Phasendifferenz bestimmt. Man spricht dann
von einer rechts oder links zirkular polarisierten Welle.
Umgekehrt kann eine linear polarisierte Welle durch Überlagerung zweier zirkular polarisierter
Wellen mit entgegengesetztem Drehsinn zustande kommen. Die Polarisationsrichtung der
resultierenden linear polarisierten Welle hängt von der Phasendifferenz der beiden, sie bildenden,
zirkular polarisierten Wellen ab. Zur Veranschaulichung ist in Abbildung SC.4 oben
eine linear polarisierte Welle, darunter je eine linkszirkular und eine rechtszirkular polarisierte
Welle dargestellt. Die Vektorsumme der ⃗ E-Vektoren der beiden zirkular polarisierten
Wellen ergibt einen Vektor, der in einer Ebene schwingt.
3.4. Brechung
Am Anfang der Anleitung haben wir schon den allgemein gehaltenen Begriff der Lichtgewschwindigkeit/Ausbreitungsgeschwindigkeit
kennengelernt. Für das Phänomen der Saccharimetrie
und vielen anderen Sachverhalten ist es nötig einen genaueren Blick auf die
Ausbreitung zu werfen. Dazu unterscheidet man zwei Geschwindigkeiten, die Gruppengeschwindigkeit
und die Phasengeschwindigkeit. Die Gruppengeschwindigkeit ist diejenige,
mit der sich der Schwerpunkt von vielen überlagerten Lichtwellen bewegt. Die Geschwindigkeit,
mit der sich in einer Welle Flächen gleicher Phase ausbreiten, heißt hingegen Pha-
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resultierende ebene Welle
E
linkszirkulare Welle
E
E
rechtszirkulare Welle
Abbildung SC.4: Vektor der elektrischen Feldstärke bei linear und zirkular polarisierten Wellen
sengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit unterscheidet sich für verschiedene Wellenlängen,
dies ist unter dem Begriff der Dispersion bekannt. Das ist der Grund warum sich
weißes Licht in einem Prisma in seine Spektralfarben zerlegt. In Stoffen wie Gläsern oder
Flüssigkeiten ist die Phasengeschwindigkeit des Lichts in der Regel deutlich kleiner als im
Vakuum. Das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit des Lichts im Vakuum zur Phasengeschwindigkeit
im Medium nennt man den Brechungsindex n des Mediums.
Was ist die physikalische Ursache für die Verringerung der Phasengeschwindigkeit im Medium?
Beim Durchgang von Licht durch ein Medium wird das Licht an den Atomen oder
Molekülen des Mediums gestreut. Das Licht regt Elektronen der Atome oder Moleküle des
Mediums zu Schwingungen an. Dadurch wird Lichtenergie von den Atomen oder Molekülen
absorbiert und etwas später wieder reemittiert. Dieser Prozess benötigt natürlich Zeit, in der
sich das Licht nicht weiter ausbreitet. Das reemittierte Licht ist gegenüber dem nicht gestreuten
Licht also etwas verzögert. Diese neue Überlagerung von nicht gestreutem Licht
und Streulicht verhält sich wie eine gegenüber der ursprünglichen Welle etwas verzöger-
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te Welle. Wie stark die Verzögerung der Welle ist bzw. wie stark überhaupt gestreut wird,
hängt von der Resonanzfrequenzen der Atome ab und wie weit wir mit dem eingestrahlten
Licht von der Resonazfrequenz entfernt sind. Als Folge davon steigt der Brechungsindex
mit zunehmender Lichtfrequenz an. In seltenen Fällen kann der Brechungsindex auch mit
steigender Frequenz fallen.
In homogenen Medien hängt die Phasengeschwindigkeit des Lichts nicht von der Ausbreitungsrichtung
und Polarisation ab. In Kristallen kann die Phasengeschwindigkeit und damit
der Brechungsindex sowohl von der Polarisationsrichtung als auch von der Ausbreitungsrichtung,
relativ zu seiner optischen Achse, abhängen. Diese Erscheinung nennt man ”
Doppelbrechung“.
Sie tritt beispielsweise bei Kalkspatkristallen (CaCO 3 ) auf. Man kann sie zur
Herstellung von Polarisatoren nutzen, die zwar viel teurer als Polarisationsfolien sind, aber
dafür auch dem idealen Polarisationsgrad von 100% wesentlich näher kommen und nicht auf
der Absorption basieren.
3.5. Optische Aktivität
Einige Kristalle und viele Flüssigkeiten haben einen unterschiedlichen Brechungsindex für
linkszirkular und rechtszirkular polarisierte Wellen. Man nennt sie ”
optisch aktiv“. Quarz
ist ein Beispiel für einen optisch aktiven Kristall, Zuckerlösungen sind Beispiele für optisch
aktive Flüssigkeiten. Die Moleküle in der Lösung sind chiral aufgebaut bzw. die Moleküle
an sich haben einen Drehsinn. Werden solche Substanzen mit linear polarisiertem
Licht durchstrahlt, so drehen sie die Polarisationsrichtung. Dieser Effekt liegt wiederum an
der unterschiedlichen Phasengeschwindigkeit für die verschiedenen Polarisationen. Die eingestrahlte,
linear polarisierte Welle können wir wie oben gelernt in eine rechts und eine links
zirkular polarisierte Welle zerlegen. In optisch aktiven Medien sind die Phasengeschwindigkeiten
dieser Polarisationen anders, was durch die Struktur der Moleküle begründet ist. Nach
dem Durchgang durch die Substanz sind die beiden Polarisationen gegeneinander verschoben
worden. Dies hat zur Folge, dass die resultierende lineare Polarisation sich um einen
bestimmten Winkel gedreht hat. Der Drehwinkel φ ist direkt proportional zur Länge l des
Lichtwegs im optisch aktiven Medium, und bei Lösungen auch noch zur Konzentration k
der optisch aktiven Substanz in der Lösung. Deshalb kann man den Drehwinkel in der Form
φ = φ 0 · k · l
(SC.3)
darstellen. Der Proportionalitätsfaktor φ 0 heißt spezifisches Drehvermögen der Substanz.
So wie der Brechungsindex hängt auch das spezifische Drehvermögen von der Lichtfrequenz
ab. Diese Abhängigkeit heißt Rotationsdispersion.
Bei bekannter Weglänge l kann man aus einem gemessenen Wert von φ bei bekanntem spezifischem
Drehvermögen φ 0 auf die unbekannte Konzentration k schließen. Davon wird bei
der ”
Saccharimetrie“, der Messung von Zuckerkonzentrationen, Gebrauch gemacht.
Wie kann man die Drehung der Polarisationsrichtung messen? Zunächst muss man sich mittels
einer gewöhnlichen Lichtquelle, eines festen Polarisators und, um nicht durch die Rotationsdispersion
gestört zu werden, eines Farbfilters monochromatisches linear polarisiertes
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Licht verschaffen. In einigem Abstand von der Lichtquelle stellt man einen drehbaren Analysator
auf, dessen Drehwinkel an einer Winkelskala abgelesen werden kann, wie in Abb SC.6
zu sehen. Nun wäre folgendes Vorgehen denkbar: Man blickt in den Analysator und stellt ihn
durch Drehen auf minimale Intensität ein und notiert die dazu notwendige Winkelposition.
Damit hat man den Nullpunkt des Messgeräts neu geeicht. Danach bringt man eine Küvette
bekannter Länge zwischen Polarisator und Analysator. Wenn die Substanz in der Küvette die
Polarisationsrichtung dreht, wird sich das Gesichtfeld des Analysators aufhellen. Man verdreht
den Analysator, bis wieder Dunkelheit herrscht. Der Verdrehungswinkel, die Differenz
zwischen der alten und der neuen Winkelposition des Analysators, ist dem gesuchten Drehwinkel
φ gleich. Leider lässt sich die Lage eines Helligkeitsminimums oder auch Maximums
nicht sehr genau feststellen. Tatsächlich wird in diesem Versuch (und auch in kommerziellen
Saccharimetern) ein modifiziertes Verfahren, das sogenannte Halbschattenverfahren, angewendet.
Beim Halbschattenverfahren wird der Analysator in zwei Hälften geteilt. Die Ausrichtung
der beiden Hälften unterscheiden sich um einen kleinen Winkel. Alternativ kann man auch
einer Hälfte ein Plättchen vorschalten, das eine kleine zusätzliche Drehung der Polarisationsrichtung
bewirkt. Statt auf minimale Intensität stellt man den Analysatorwinkel auf gleiche
Helligkeit der beiden Gesichtsfeldhälften ein. Man sucht also nicht das Minimum einer
cos 2 -Funktion, sondern den zwei Intensitätsminima nahe gelegenen Schnittpunkt zweier ein
wenig gegen einander verschobener cos 2 -Funktionen. Das ermöglicht erheblich genauere
Resultate, da ein Relativwert einfacher zu bestimmen ist, als ein Absolutwert.
Die Abbildung SC.5 zeigt das Prinzip eines kompletten Halbschatten-Saccharimeters.
Polarisator
Monochromator
Küvette Analysator Fernrohr
Lichtquelle
Abbildung SC.5: Schematische Darstellung des Halbschattenpolarimeters
Das Licht einer Glühlampe wird mit einem Interferenzfilter monochromatisch gemacht (λ =
589 nm) und mit einem Polarisator linear polarisiert. Danach durchläuft es die Küvette mit
der zu untersuchenden Lösung. Der Halbschattenanalysator ist drehbar angeordnet. Der Drehwinkel
kann auf einer Skala mit Nonius auf 1/10 Grad genau abgelesen werden. Abgeglichen
wird auf gleiche Helligkeit (jedoch in Nähe des jeweiligen Helligkeitsminimums!) in
den beiden Gesichtsfeldhälften. Es ist genauso möglich auf gleiche Helligkeitsmaxima abzugleichen,
diese liegen um 90 ◦ gedreht zu den Minima. Außerdem gibt es jede dieser Einstellungen
zweifach, da der Analysator bei einer Drehung um 180 ◦ wieder in der gleichen
Ausgangslage steht.
Den Nonius liest man ab, indem man die Skalenstriche der Noniusskala mit der darüberliegenden
Winkelskala vergleicht. Sie werden dabei genau ein Strichpaar finden, das in einer
Linie steht. Jetzt lesen Sie ab, das wievielte Skalenteil der Noniusskala dies ist und haben
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damit Ihre korrekte Nachkommastelle bestimmt. Was Sie dabei noch beachten müssen ist,
dass Sie in beide Richtungen drehen können und die Noniusskala in beiden Richtungen angebracht
ist. Es gilt die Skala in Drehrichtung. Eine solche Skala ist in Abbildung SC.6
abgebildet.
Abbildung SC.6: Winkelskala mit Nonius
4. Versuchsdurchführung
Als Warnung zu Beginn, seien Sie sogfältig bei der Dokumentation der Werte und notieren
sie sich zu jedem Wert die Richtung in die Sie drehen.
• Bestimmung des Nullpunkts des Saccharimeters mit fest eingebautem Farbfilter.
• Messung des Drehwinkels für jeweils mindestens 4 verschiedene Konzentrationen der
Fruktose- und Glukoselösungen. Der Winkel ist jeweils drei mal zu messen.
• Messung des Drehwinkels von vier unbekannten Proben. Der Winkel ist auch hier drei
mal zu messen.
• Beobachtung der Rotationsdispersion an einer Probe mit hoher Konzentration bei drei
Wellenlängen, mit dem Saccharimeter ohne eingebauten Farbfilter. Überprüfen Sie für
jeden Filter ob Ihr zuvor bestimmter Nullpunkt auch für die neue Wellenlänge noch
korrekt ist.
5. Auswertung
Die Länge der verwendeten Proben beträgt 20 cm.
• Tragen Sie die auf den Nullpunkt bezogenen Drehwinkel in eine Tabelle ein und ermitteln
sie für jede Probe den Mittelwert. Achten Sie auch hier auf das Vorzeichen ihres
Drehwinkels.
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Auswertung
SC
• Erstellen Sie für die Proben bekannter Konzentration ein Diagramm, in dem sie den
Drehwinkel als Funktion der Konzentration auftragen. Ermitteln Sie aus der Steigung
der Ausgleichsgeraden das spezifische Drehvermögen φ 0 für Glukose und Fruktose.
• Mit diesen spezifischen Drehvermögen bestimmen sie Zuckerart und Konzentration
der unbekannten Proben.
• Ist das Ergebnis der Beobachtung der Rotationdispersion im Einklang mit der Abhängigkeit
des Brechungsindexes n bei Stoffen wie Glas?
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