EM Spezifische Ladung des Elektrons

EM
EM
Eigenschaften des Elektrons
1. Stichworte
Bewegung eines geladenen Teilchens im elektrischen und magnetischen Feld, Plattenkondensator,
Lorentzkraft, Helmholtzspulen
2. Literatur
W. Demtröder, Elektrizität und Optik (Experimentalphysik, Bd.2), Springer-Verlag
G. Staudt, Experimentalphysik Bd. 2, Wiley-VCH, Berlin 2002.
Bergmann/Schaefer, Elektromagnetismus (Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 2), de Gruyter
2006
3. Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons
3.1. Elektronen im elektrischen Längsfeld
Bringt man ein freies Elektron in ein elektrisches Feld, das durch eine Spannung U erzeugt
wird, die an zwei Elektroden (Katode und Anode) anliegt, so wirkt eine Kraft auf das Elektron,
da es eine Elementarladung q = e trägt (siehe dazu Abbildung EM.1). Diese Kraft ist
proportional zur Stärke des elektrischen Feldes und zur Ladung des Teilchens (Gleichung
EM.1).
E
q
F
U
Abbildung EM.1: Elektronen im homogenen elektrischen Feld
Das Elektron trägt neben seiner Ladung auch Masse. Deshalb wird es nach dem zweiten
Newtonschen Gesetz, F = m · a, beschleunigt und erhält somit über E kin = F · d (wobei
d der Weg ist, auf dem das Elektron beschleunigt wurde) eine kinetische Energie, die vom
angelegten elektrischen Feld herrührt.
1

EM
Eigenschaften des Elektrons
Durchläuft das Elektron das elektrische Feld längs der Feldlinien, so erhält es die elektrische
Energie
W e = q · U = e · U
(EM.1)
in Form von Bewegungsenergie. Hierbei ist q allgemein die Ladung eines Teilchens und e
die Elementarladung des Elektrons.
Da die elektrische Energie des Feldes gleich der kinetischen Energie des Elektrons beim
Verlassen des Feldes ist, können wir am Ende einer Beschleunigungsstrecke diese beiden
gleich setzen und erhalten daraus die Geschwindigkeit v des Elektrons:
W e
= W kin
→ e · U = 1 2 · m · v2
√
→ v = 2 · U · e
m .
(EM.2)
Bewegte Elektronen lassen sich mit elektrischen oder magnetischen Feldern ablenken. Letzere
haben den Vorteil, dass sie die Bahngeschwindigkeit des Elektrons nicht ändern.
3.2. Elektronen im Magnetfeld
Bewegt sich ein Teilchen mit der Ladung q (bei einem Elektron ist q = −e) und der Geschwindigkeit
⃗v durch ein homogenes (gleichmäßiges) Magnetfeld ⃗ B senkrecht zu den Magnetfeldlinien,
so wirkt eine Kraft auf das Teilchen, die sogenannte Lorentz-Kraft ⃗ F Lorentz :
⃗F Lorentz = q · (⃗v × ⃗ B) .
(EM.3)
Diese Kraft steht senkrecht auf der Ebene, die durch den Vektor der Geschwindigkeit und des
Magnetfeldes aufgespannt wird. Damit kann eine Ladung nur abgelenkt, nicht aber längs der
Bahn beschleunigt werden. Solche Kräfte bezeichnet man als Zwangskräfte. Ein Teilchen,
das sich parallel zu den Feldlinien des Magnetfeldes bewegt, erfährt keine Kraft.
Betrachten wir nur die Geschwindigkeitskomponente, die senkrecht zum Magnetfeld ist, so
erhält man die Gleichung für die Beträge der vektoriellen Größen ⃗ F Lorentz , ⃗v und ⃗ B. Aus
dem Kreuzprodukt in Gleichung EM.3 wird ein normales Produkt:
F Lorentz = q · v · B .
(EM.4)
Mit Gleichung EM.4 kann nun der Betrag der Lorentz-Kraft, die auf das geladene Teilchen
wirkt, ausgerechnet werden.
Bewegt sich das Teilchen senkrecht zu den Magnetfeldlinien des homogenen Magnetfeldes,
so stehen Lorentzkraft, Bewegungsrichtung und Magnetfeld senkrecht aufeinander. Um die
Richtung der Kraft auf ein Teilchen mit negativer Ladung zu ermitteln bedient man sich der
Linken-Hand-Regel:
Dabei zeigt der ausgestreckte Daumen in die Bewegungsrichtung der negativen Ladung und
der Zeigefinger, der dazu senkrecht ausgestreckt ist, in Richtung des Magnetfeldes. Der
2

Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons
EM
gebeugte Mittelfinger, der senkrecht auf der Handfläche steht, zeigt nun in Richtung der
Lorentz-Kraft.
Ist die Ladung des betrachteten Teilchens jedoch positiv, verwendet man analog die Rechte-
Hand-Regel. Sind die Bedingungen für ein positiv geladenes Teilchen genau gleich wie
bei einem Teilchen mit negativer Ladung, das heißt gleiche Bewegungsrichtung und gleiche
Richtung des Magnetfeldes, wirkt die Lorentz-Kraft genau in entgegengesetzter Richtung.
Wenn man Gleichung EM.3 betrachtet, sieht man, dass die Lorentz-Kraft für ein Teilchen mit
Ladung q > 0 positiv ist. Für ein negativ geladenes Teilchen wie das Elektron mit Ladung
q = −e ist die Lorentz-Kraft negativ.
Ist die Bewegungsrichtung ⃗v des Teilchens senkrecht zur Richtung des homogenen Magnetfeldes
⃗ B, wird es durch die Lorentzkraft ⃗ F Lorentz auf eine Kreisbahn gezwungen, da sie an
jedem Ort im homogenen Magnetfeld den gleichen Betrag hat.
Tritt das Teilchen unter einem Winkel α in das homogene Magnetfeld ein, so trägt nicht der
gesamte Betrag der Geschwindigkeit zur Lorentzkraft bei, sondern nur die Komponente, die
senkrecht auf dem Magnetfeld steht, ⃗v ⊥ . Siehe dazu Abbildung EM.2.
a
v
Abbildung EM.2: Das Teilchen tritt unter einem Winkel α in das Magnetfeld ein.
Ist der Winkel α bekannt, ergibt sich folgende Formel für die senkrechte Geschwindigkeitskomponente:
v ⊥ = v · sinα .
(EM.5)
Setzt man diese Formel EM.5 in die Gleichung EM.4 für die Lorentz-Kraft ein, so erhält
man:
F Lorentz = q · v ⊥ · B = q · v · B · sinα .
(EM.6)
Die Bahn, die das Teilchen beschreibt, ist eine Schraubenbahn. Die senkrechte Komponente
der Geschwindigkeit bewirkt die Kreisbahn und die Komponente, die parallel zum Magnetfeld
gerichtet ist, bewegt das Teilchen vorwärts.
Den Radius r der Kreisbahn erhält man aus der Bedingung, dass die Lorentzkraft als Zentripetalkraft
wirkt und die Ladung auf der Kreisbahn hält. Bei einem Teilchen der Masse m
lautet die Gleichgewichtsbedingung:
B
v
T
F Lorentz
= F Zentripetal
→ q · v · B = m · v2
r
3
.

EM
Eigenschaften des Elektrons
Daraus ergibt sich nun die Formel für den Radius der Kreisbahn:
r = m q · v
B .
(EM.7)
Damit haben wir eine weitere Möglichkeit die spezifische Ladung des Elektrons e zu bestimmen.
Hierfür müssen wir nun nur noch die Geschwindigkeit v des Teichens und den
m
Betrag des Magnetfeldes B ermitteln.
Wenn die Geschwindigkeit v des Teilchens daher rührt, dass es eine Beschleunigungsspannung
U durchlaufen hat, ergibt sich der Radius der Kreisbahn durch Einsetzen von v nach
Gleichung EM.2 zu
√
r = 1 B · 2 · m · U
. (EM.8)
q
Durch Umstellen der Gleichung EM.8 ergibt sich eine Formel für die spezifische Ladung, in
der uns nur noch der Betrag des Magnetfeldes fehlt, den wir im nächsten Abschnitt erläutern
werden:
e
m = 2 · U
r 2 · B .
(EM.9)
2
Hierbei wurde die Ladung q durch die Elementarladung e des Elektrons ersetzt.
3.3. Das magnetische Feld eines Helmholtz-Spulenpaares
Im Versuch wird ein Helmholtz-Spulenpaar zur Erzeugung des homogenen Magnetfeldes
verwendet. So kann man auf eine direkte Messung von B verzichten, da das Magnetfeld aus
dem Spulenstrom, der Windungszahl und der Spulengeometrie berechnet werden kann.
Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei Spulen mit gleicher Windungszahl n und mit
gleichem Radius R. Der Abstand der beiden Spulen ist genau so groß wie deren Radius und
sie werden vom Strom I durchflossen (siehe dazu Abbildung EM.3).
R
R
R
Abbildung EM.3: Geometrie eines Helmholtz-Spulenpaares
Das Magnetfeld B, das durch den Stromfluss ensteht, ist proportional zu der angelegten
Stromstärke I. Es gilt also B = A · I, wobei A die Apparatekonstante ist, die sich aus der
4

Versuchsdurchführung
EM
Geometrie der Spulen und deren Eigenschaften ergibt:
A = µ 0 ·
n · R 2
√(R 2 + ( R 2 )2 ) 3 . (EM.10)
Hierbei ist µ 0 = 4π · 10 −7 Vs/Am die magnetische Feldkonstante.
Damit ergibt sich nun eine Gleichung, mit der wir die spezifische Ladung des Elektrons
bestimmen können. Dazu setzt man B = A · I in die Gleichung EM.9 ein:
e
m = 2 · U 1
·
r 2 A 2 · I . 2
(EM.11)
Zur Bestimmung der spezifischen Ladung muss die Beschleunigungsspannung U, der Radius
der Kreisbahn r und der Strom I, der durch die Spulen fließt, gemessen werden.
4. Versuchsdurchführung
Zur Erzeugung des homogenen Magnetfeldes wird ein Helmholtz-Spulenpaar verwendet.
Die beiden Spulen haben jeweils n = 124 Windungen und einen mittleren Radius von
R = 14,75 cm. Das Magnetfeld in der Mitte zwischen den beiden Spulen kann man mit
der Gleichung B = A · I berechnen.
Der Elektronenstrahl wird in einer Fadenstrahlröhre erzeugt. Eine elektrisch geheizte Glühkathode
wird auf ungefähr 850 ◦ C aufgeheizt, wodurch freie Elektronen erzeugt werden ( ”
glühelektrischer
Effekt“). Diese freien Elektronen werden durch das elektrische Feld zu der gegenüberliegenden
Beschleunigungsanode, die auf positivem Potential liegt, hin beschleunigt.
Diese Anode besitzt eine Bohrung, wodurch die Elektronen, nachdem sie beschleunigt
wurden, in das Magnetfeld eintreten. Dort gibt es keine elektrischen Felder mehr, die die
Elektronen weiter beschleunigen oder abbremsen könnten. Eine bezüglich der Kathode auf
negativem Potential liegende Elektrode, der Wehneltzylinder, hilft den Elektronenstrahl zu
bündeln (siehe dazu Abbildung EM.4).
Nachdem die Elektronen durch die angelegte Beschleunigungsspannung auf eine bestimmte
Geschwindigkeit gebracht wurden und durch die Öffnung in der Anode in das Magnetfeld
eingetreten sind, bewegen sie sich auf einer Kreisbahn durch die Fadenstrahlröhre. In der
Mitte der Röhre gibt es einen Maßstab, dessen waagerechten Markierungen einen Abstand
von 2 cm haben. Mit dessen Hilfe kann der Durchmesser d des Elektronenstrahls ermittelt
werden.
Damit sich Elektronen im Inneren der Fadenstrahlröhre ungehindert bewegen können, sollte
sie eigentlich evakuiert sein. Um den Elektronenstrahl sichtbar zu machen, befindet sich jedoch
ein wenig Neon darin. Der Druck ist mit ungefähr 1,3 Pa allerdings sehr klein. Wenn
nun ein Elektron auf ein Neon-Atom stößt, so kann dieses angeregt oder sogar ionisiert werden.
Dabei verliert das Elektron einen Teil seiner Energie. Geht das Atom anschließend wieder
in seinen Grundzustand über, sendet es sichtbares Licht aus. So wird die Elektronenbahn
sichtbar. Der Neondruck ist jedoch genügend niedrigt, so dass der Elektronenstrahl nicht zu
5

EM
Eigenschaften des Elektrons
Abbildung EM.4: Versuchsaufbau links: Fadenstrahlröhre und Helmholtz-Spulenpaar,
rechts: Steuerelement für Beschleunigungsspannung und Spulenstrom
stark abgebremst wird. Ein Elektron, das ein Neon-Atom aufleuchten lässt, wird sich also in
der Regel bis zu diesem Punkt ungestört bewegt haben (siehe dazu Abbildung EM.5).
Für die drei äußeren, durch Markierungen gekennzeichneten Kreisdurchmesser von d =
6 cm, 8 cm und 10 cm bestimme man bei Beschleunigungsspannungen U von 200 V bis
400 V in Schritten von 25 V die dazugehörigen Spulenströme I, die nötig sind um den
Durchmesser des Elektronenstrahls beizubehalten. Um Parallaxe zu vermeiden, müssen die
Markierungen des Maßstabs so angepeilt werden, dass die vordere Markierung die hintere
überdeckt. dadurch vermeidet man Messfehler beim Ablesen des Durchmessers. Durch die
Wehneltspannung kann der Strahl so eingestellt werden, dass er nicht zu breit ist und der
Durchmesser gut abgelesen werden kann.
6

Auswertung
EM
Abbildung EM.5: Elektronenstrahl, der durch Stöße mit den Neon-Atomen sichtbar gemacht
wird
Eine Tabelle, in die die Messwerte eingetragen werden, könnte folgendermaßen aussehen:
Kreisdurchmesser = 6 cm
U / V 200 225 250 275 300 . . .
I / A
I 2 / A 2
5. Auswertung
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Apparatekonstante A mit den in Abschnitt 3.3. angegebenen Werten.
7

EM
Eigenschaften des Elektrons
Aufgabe 2
• Bestimmung der spezifischen Ladung e : m
Zeichnen Sie mit den Messwerten ein Diagramm für jeden der drei Kreisdurchmesser.
Tragen Sie dafür die Wertepaare für U und I 2 in das Diagramm ein, wobei I 2 die x-
Achse angibt. Berechnen Sie aus der Steigung der Ausgleichsgeraden die spezifische
Ladung e , denn, wie man nach Umformen der Gleichung EM.11 erkennt, enthält der
m
Wert für die Steigung den gesuchten Wert für die spezifische Ladung:
U = r2 e 2 A2 ·I 2 . (EM.12)
} {{ m}
Steigung
Achtung: Abgelesen wurde der Durchmesser. Für die Berechnung benötigen Sie den
Radius der Kreisbahn.
• Sie erhalten für jeden Durchmesser einen Wert für die spezifische Ladung, also insgesamt
3 Werte. Daraus ermitteln Sie den Mittelwert und die Standardabweichung.
Aufgabe 3
• Bestimmen Sie die Masse des Elektrons aus Ihrer experimentell bestimmten spezifischen
Ladung und der Elementarladung (e = 1,6022 · 10 −19 C).
• Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse jeweils mit den Literaturwerten: e m = 1,7588 · 1011 C/kg
und m = 9,1096 · 10 −31 kg.
Aufgabe 4
• Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines Elektrons, das eine Beschleunigungsspannung
von 400 V durchlaufen hat. Vergleichen Sie diesen Wert mit der Lichtgeschwindigkeit
(c =299 792 458 m/s).
• Berechnen Sie ebenso die Endgeschwindigkeit eines Elektrons nach Durchlaufen einer
1 MV Spannungsdifferenz.
8

Bestimmung der Ladung des Elektrons
EM
6. Bestimmung der Ladung des Elektrons
6.1. Der Millikan-Versuch
Robert A. Millikan konnte 1910 erstmals die Quantisierung der elektrischen Ladung experimentell
nachweisen. Dabei brachte er kleine geladene Öltröpfchen in das homogene elektrische
Feld eines Plattenkondensators und beobachtete die Bewegung der Tröpfchen. So kann
beispielsweise durch Messung der Sink- und Steiggeschwindigkeit eines Öltröpfchens auf
dessen Ladung Q geschlossen werden. 1923 erhielt Millikan für seine Arbeiten den Nobelpreis
für Physik. Ziel dieses Praktikumsversuchs ist es, die Quantisierung der elektrischen
Ladung nachzuweisen und aus den Messdaten einen Wert für die Elementarladung e zu bestimmen.
Beim vorliegenden Praktikumsversuch werden elektrisch geladene Öltröpfchen in einem horizontalen
Plattenkondensator beobachtet, die ohne Einfluss eines elektrischen Feldes mit
konstanter Geschwindigkeit v Sink sinken (Abb. EM.6a). Die Geschwindigkeit v Sink wird mit
Hilfe der Versuchsanordnung gemessen. Danach werden, durch Anlegen einer geeigneten
Spannung U (Abb. EM.6b) an den Plattenkondensator, die Tröpfchen zum Steigen gebracht
und die konstante Steiggeschwindigkeit v Steig bestimmt. Nachfolgend wird gezeigt, wie bei
Kenntnis von v Sink , v Steig und U die Ladung Q eines Tröpfchens bestimmt werden kann.
Dabei wird angenommen, dass alle Kräfte, die auf ein Öltröpfchen wirken, entlang einer
senkrechten Linie zu den Platten des Plattenkondensators wirken 1 .
Abbildung EM.6: Schematische Darstellung des Plattenkondensators mit einem
Öltröpfchen und den wirkenden Kräften. (a): Öltröpfchen sinkt im Plattenkondensator
ohne elektrisches Feld mit der Geschwindigkeit v Sink . (b): Bei Anlegen einer geeigneten
Spannung U steigt ein negativ geladenes Öltröpfchen mit der Geschwindigkeit v Steig .
1 Daher werden im Folgenden nur die Beträge der eigentlich vektoriellen Größen Geschwindigkeit ⃗v und
Kraft ⃗ F betrachtet.
9

EM
Eigenschaften des Elektrons
6.2. Sinkfall (U = 0 V):
Zunächst betrachten wir den Sinkfall, bei dem keine Spannung am Plattenkondensator anliegt
und somit kein elektrisches Feld vorhanden ist. Bringt man ein Öltröpfchen zwischen
die Platten, dann wirkt auf das Tröpfchen die Gewichtskraft F G :
F G = m Oel · g = ρ Oel · V · g = ρ Oel · 4
3 · π · r3 · g
Dabei ist g die Erdbeschleunigung und ρ Oel die Dichte des verwendeten Öls. Für die Berechnung
des Volumens wird davon ausgegangen, dass die Tröpfchen kugelförmig sind mit dem
Radius r.
Auf das Öltröpfchen wirkt zusätzlich eine Auftriebskraft F A , die nach oben wirkt, also
entgegen der Gewichtskraft. Das Phänomen des Auftriebs kennt man aus dem Alltag zum
Beispiel von Heißluftballons. Gemäß dem archimedischen Prinzip entspricht die Auftriebskraft
der Gewichtskraft der Luftmenge, die vom Öltröpfchen verdrängt wird. F A ist also
gegeben durch:
F A = m Luft · g = ρ Luft · V · g = ρ Luft · 4
3 · π · r3 · g
Diese beiden Kräfte kann man zur Vereinfachung zu einer effektiven Gewichtskraft F Geff
für das Tröpfchen zusammenfassen:
F Geff = F G − F A = (m Oel − m Luft ) · g = (ρ Oel − ρ
} {{ Luft ) · V · g = ρ · 4
}
3 · π · r3 · g
ρ
Das Tröpfchen wird also mit der Kraft F Geff nach unten beschleunigt. Sobald sich das Tröpfchen
bewegt, wirkt durch die Luft zusätzlich eine Reibungskraft, die der Bewegung entgegengesetzt
wirkt und proportional zur Geschwindigkeit v des Tröpfchens ist, die Stokes’sche
Reibungskraft F R :
mit der Viskosität der Luft η.
F R = 6 · π · η · r · v
Die Stokes’sche Reibungskraft gilt nur für Teilchen, die mindesestens einige µm groß sind.
Für die im Versuch kleineren Tröpfchen muss die sogenannte Cunningham-Korrektur benutzt
werden, mit der sich die Stokes’sche Reibungskraft ergibt zu:
F R = 6 · π · η · r · v
1 + b
p·r
= 6 · π · η · r · v
1 + a r
mit b = 8 · 10 −5 mhPa und dem Umgebungsluftdruck p (p = 1013,25 hPa). 2
2 b und p sind strenggenommen von den jeweiligen Umgebungsbedingungen abhängig. Für die Auswertung
sollen jedoch die angegebenen Werte verwendet werden, es wird a = b/p = const. gesetzt.
10

Bestimmung der Ladung des Elektrons
EM
Die Reibungskraft F R steigt mit zunehmender Geschwindigkeit des Tröpfchens so lange an,
bis sie genauso groß ist wie F Geff . Dann befinden sich die Kräfte im Gleichgewicht, das
heißt, die Summe der Kräfte, die auf das Tröpfchen wirken, ist gleich Null. Das Tröpfchen
wird also nicht weiter beschleunigt, sondern sinkt nach dem 1. Newtonschen Gesetz mit der
konstanten Geschwindigkeit v Sink . 3
F Geff − F R = 4 3 · π · ρ · g · r3 − 6 · π · η · r · v Sink
1 + a r
= 0
Durch Auflösen dieser Gleichung nach r lässt sich bei Kenntnis der konstanten Sinkgeschwindigkeit
v Sink zunächst der Radius r des Öltröpfchens bestimmen:
√
r = − a 2 + a 2
4 + 9 η
2 ρ · g · v Sink
(EM.13)
6.3. Steigfall (U > 400 V):
Zur Bestimmung der Ladung Q des Tröpfchen wird eine zweite Gleichung benötigt, in der
die Ladung vorkommt. Dazu betrachten wir den Fall, dass eine Spannung U an dem Plattenkondensator
anliegt. Dann wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen eine elektrische Kraft F E
der Form:
F E = Q · E = Q · U
d
mit der elektrischen Feldstärke E und dem Kondesatorplattenabstand d.
Die obere Platte sei positiv geladen, sodass die elektrische Kraft F E auf ein negativ geladenes
Öltröpfchen nach oben wirkt. Außerdem wird die Spannung U so groß eingestellt, dass die
elektrische Kraft F E größer ist als die effektive Gewichtskraft F Geff . Ein negativ geladenes
Öltröpchen wird nun also nach oben beschleunigt 4 . Entgegen der Bewegungsrichtung wirkt
wieder die Reibungsrakft F R , bis die Kräfte im Gleichgewicht sind und das Tröpfchen mit
der konstanten Geschwindigkeit v Steig steigt (Siehe Abb. EM.6b). Es gilt also:
F Geff + F R − F E = 4 3 · π · ρ · g · r3 + 6 · π · η · r · v Steig
1 + a r
− Q U d = 0
Diese Gleichung wird nach der Ladung Q aufgelöst. Für den Radius r wird der Ausdruck
aus EM.13 verwendet. Wir erhalten somit für die Ladung Q:
3 Die Beschleunigungsphase ist sehr kurz und kann im Versuch kaum wahrgenommen werden.
4 Überlegen Sie sich zur Vorbereitung, wie sich bei dieser Spannung ein Tröpfchen bewegt, dass a) nicht
geladen ist, b) positiv geladen ist!
11

EM
Eigenschaften des Elektrons
Q =
(
3 · d · π · η a −
U
(
a +
√
a 2 + 18 · η
√
a 2 + 18 · η
g · ρ · v Sink
) 2
g · ρ · v Sink
) · (v Sink + v Steig ) (EM.14)
Um die Ladung Q für ein einzelnes Tröpfchen zu berechnen, müssen also nach EM.14 die
Sink- und Steiggeschwindigkeit v Sink und v Steig gemessen werden, sowie die Spannung U,
die im Steigfall an dem Kondensator anliegt. Alle anderen Größen sind gegeben (Siehe Anleitung
zur Auswertung).
Vereinfachung zur Berechnung des Radius r und der Ladung Q
Zur einfacheren Berechnung von Q mit der Gleichung EM.14 können für die vorliegende
Versuchsanordnung wie folgt zusammengefasst werden:
−6 kg
C := 3 · d · π · η = 1,024 · 10
s
18 · η
g · ρ = 3,23 · 10−8 m · s
a = 7,89 · 10 −8 m
Zudem bietet es sich an, den Wurzelterm aus Gleichung EM.14 in einer Zwischenrechnung
separat zu berechnen 5 :
Mit der Definition für den Wurzelterm
W :=
√
a 2 + 18 · η
g · ρ · v Sink
vereinfacht sich die Gleichung EM.14 durch Substitution zu
Q =
C (a − W )2
U (a + W ) (v Sink + v Steig )
(EM.15)
und die Gleichung EM.13 zur Berechung des Tröpfchenradius r vereinfacht sich zu
r = 1 (W − a)
2 (EM.16)
5 Vorsicht: Der Wurzelterm ist von der Sinkgeschwindigkeit des jeweils vermessenen Tröpfchens abhängig,
ist also NICHT konstant.
12

Messanleitung
EM
7. Messanleitung
7.1. Versuchsaufbau
Abbildung EM.7: Versuchsaufbau der Millikanapparatur mit Netzgerät.
Nr. Millikanapparatur
1 Stellfüße mit Nivellierschraube zum Waagerechtstellen der Apparatur
2 Plattenkondensator mit Schutzhülle und Halterung für den Zerstäuber
2a Buchsen zum Anschließen der Kabel
3 Öl-Zerstäuber mit Gummiball
4 Mikroskop
4a Okular mit Messskala
4b Fokussier-Schraube
5 Beleuchtungseinrichtung, Schraube zum Verstellen der Kondensorlinse, Anschlussbuchsen
für 12V-Stecker
Nr.
N1
N2
N3
N4
N5
N6
Netzgerät
Hauptschalter des Netzgeräts
Hochspannungsausgang für den Plattenkondensator bis 650 Volt
Spannungsregler
Polaritäts-Umschalter mit Leuchte: Rot entspricht der am Ausgang N2 angezeigten
Polung, blau entspricht der umgekehrten Polung.
Start/Stop für den Timer, mit Leuchte
Display: Zeigt die Zeit und die Spannung der aktuellen und der letzten Messung an.
13

EM
Eigenschaften des Elektrons
Abbildung EM.8: Netzgerät des Versuchsaufbaus
Der Versuch wird wie in EM.7 aufgebaut. Vor dem Einschalten des Netzgeräts den Aufbau
vom Betreuer überprüfen lassen! Für die Vorbereitung des Versuchs sind folgende Punkte zu
beachten:
• Plattenkondensator mit Hilfe der Dosenlibelle und den Nivellierschrauben waagerecht
ausrichten, damit die Tröpfchen nicht seitlich wegdriften.
• Im Öl-Zerstäuber sind zwei kleine Röhrchen. Im Steigrohr steigt beim Pumpen mit
dem Gummiball das Öl an, durch das andere Röhrchen wird Luft geblasen. Sobald das
Öl im Steigrohr an der Oberkante ist, wird ein- bis zweimal etwas kräftiger gepumpt.
Dabei wird das Öl in kleine Öltröpfchen zerstäubt, die sich durch die Reibung teilweise
elektrisch laden.
• Die Beleuchtung erfolgt mit der sogenannten “Dunkelfeldmethode” seitlich. Man beobachtet
im Mikroskop kleine Beugungsscheiben der Tröpfchen, die größer und kontrastreicher
erscheinen, als würde man die Tröpfchen direkt beobachten. Der Praktikumsraum
sollte für besseren Kontrast abgedunkelt sein. Man kann die Beleuchtung
justieren, indem man das Rohr mit der Kondensorlinse etwas löst verschiebt.
14

Messanleitung
EM
• In das Mikroskopokular ist eine Mikrometerskala
eingraviert, die in Abb. EM.9 skizziert ist. Mit
dieser Skala kann die von den Öltröpfchen zurückgelegte
Wegstrecke s beobachtet werden. Zusammen
mit dem im Netzgerät integrierten Timer wird
über die Beziehung v = s die Geschwindigkeit der
t
Tröpfchen ermittelt. Das Okular so drehen, dass die
Skala entlang der senkrechten Fluglinie der Tröpfchen
steht. Die Skala ist relativ schmal, weshalb
man nur Tröpfchen nahe der Skala vermessen kann. Abbildung
skala
EM.9: Okular-
• Durch Drehen der Fokussier-Schraube des Mikroskops stellt man ein, welcher Bereich
des Plattenkondensator scharf beobachtet werden kann. Für die Messung kann
man so in verschiedenen Ebenen nach geeigneten geladenen Tröpfchen suchen.
• Am Netzgerät 6 kann über den Spannungsregler eine Spannung von bis zu ca. 650 V
eingestellt werden. Ist die Spannung zu gering eingestellt, so gilt F E < F Geff und die
geladenen Tröpfchen steigen nicht. Bei F E = F Geff schweben die geladenen Tröpfchen.
7
• Der Polaritätsumschalter ist hilfreich um geladene Tröpfchen zu finden, da diese
bei genügend großer Spannung dann plötzlich ihre Bewegungsrichtung umkehren.
Beachten Sie, dass beim Aufstellen des Kräftegleichgewichts für den Sinkfall keine
Spannung vorlag. Also muss bei der Messung der Sinkgeschwindigkeit die Spannung
U = 0 V sein, d.h. der Polaritätsschalter in der mittleren Position sein.
7.2. Messung
Messen Sie für 12 geladene Tröpfchen jeweils die Sink- und Steiggeschwindigkeiten, sowie
die Spannung U im Steigfall. Beachten Sie:
• Die Wegstrecke des Tröpfchens sollte mindestens 1 mm betragen.
• Die Spannung muss während des Steigvorgangs konstant sein
• Die meisten Tröpfchen sind nicht oder nur einfach geladen. Um die Quantelung der
Ladung zu zeigen, sollten aber auch mehrfach geladene Tröpfchen gemessen werden.
Diese kann man gezielt suchen. Überlegen Sie sich zur Vorbereitung:
– Wie unterscheidet sich die Bewegung eines einfach geladenen Tröpfchens von
der eines mehrfach geladenen Tröpfchens?
6 Wichtiger Hinweis für die Praktikumsleiter: Die Netzgeräte sollten schon zu Beginn der Theoriebesprechung
eingeschaltet werden, da die Spannung bis ca. 30 Min nach Einschalten nicht stabil ist.
7 Bei der “Schwebemethode” wird diese Gleichung genutzt, um die Ladung Q über die “Schwebespannung”
zu berechnen, was jedoch ungenauer ist als die hier vorgestellt Sink-Steig-Methode.
15

EM
Eigenschaften des Elektrons
7.3. Auswertung
1. Berechnung Sie Radius r und Ladung Q der beobachteten Öltröpfchen.
2. Tragen Sie die berechneten Werte für die Ladung Q in einem Histogramm auf, um die
Quantelung der Ladung graphisch zu zeigen. Auf der x-Achse tragen Sie den Wert für
die Ladung auf, auf der y-Achse die Häufigkeit. Die x-Achse sollte in Einheiten von
10 −19 C skaliert werden, mit einer Klassenbreite von 0,1 · 10 −19 C oder 0,2 · 10 −19 C.
Ein Beispielhistogramm finden Sie im Anhang, Sie können das Histogramm alternativ
auch per Hand zeichnen.
3. Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung für die von Ihnen gemessene
Elementarladung e an. Bedenken Sie für beobachtete mehrfach geladene Tröpfchen,
dass Sie die gemessene Ladung Q durch das (angenommene) Vielfache n der Elementarladung
teilen müssen: e = Q n .
4. Berechnen Sie die Masse eines Elektrons mit Hilfe der in diesem Versuchsteil bestimmten
Elementarladung e und des Verhältnisses e/m aus dem Versuchsteil EM.
Vergleichen Sie die experimentell bestimmten Daten für die Elementarladung und der
Masse des Elektrons mit den Literaturwerten e Lit und m Lit .
Wichtige Konstanten für die Berechnungen:
Viskosität von Luft: η = 1,81 · 10 −5 Ns/m 2
Dichte Öl: ρ Oel = 1030 kg/m 3
Dichte Luft: ρ Luft = 1,20 kg/m 3
Erdbeschleunigung: g = 9,81 m/s 2
Konstante a: a = 7,89 · 10 −8 m
Plattenabstand: d = 6 · 10 −3 m
Elektrische Elementarladung: e Lit = 1,6022 · 10 −19 C
16

Messanleitung
EM
Messtabelle
Nr s Sink [mm] t Sink [s] s Steig [mm] t Steig [s] U[V ]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
.
17

EM
Eigenschaften des Elektrons
Histogramm erstellen mit Excel bzw. OpenOfficeCalc
Ein Histogramm zeigt eine Häufigkeitsverteilung von verschiedenen Werten, also wie oft ein
Wert in einer bestimmten Klasse (=Intervall) vorkommt. Die Klassen werden auf die x-Achse
aufgetragen, die Häufigkeit auf die y-Achse. Weder Excel noch OpenOfficeCalc haben eine
eigene Histogramm-Funktion. Aber man kann manuell ein Histogramm erstellen, indem man
ein Säulendiagramm für eine angelegte “Häufigkeits”-Funktion erstellt:
Klassen definieren: Für diesen Versuch ist es sinnvoll, eine Klassenbreite von 0,1 oder 0,2
(in Einheiten der x-Achse, hier 10 −19 C) zu wählen. Dazu muss man eine neue Spalte
mit Werten von 0; 0,1; 0,2; 0,3 . . . bis zu dem größten gemessenen Wert von Q erstellen.
Spalte mit Häufigkeiten erstellen: Feld in neuer Spalte wählen. Unter dem Funktionsassistenten
(“fx”-Symbol links neben der Eingabezeile) die Funktion “Häufigkeit” wählen.
Für die “Daten” die Werte in der Spalte mit den Messwerten für Q wählen, für die
“Klassen” die Werte der eben neu erstellte Spalte zu den Klassen. Die neu erstellte
Spalte sollte jetzt angeben, wie viele Messwerte in das jeweilige Intervall fallen.
Säulendiagramm erstellen: “Häufigkeits”-Werte markieren, dann unter “Einfügen” unter
“Diagramm” “Säulendiagramm” auswählen.
Abstand der Säulen auf 0 setzen: In Histogrammen sind die Säulen immer direkt aneinander.
Also: Doppelklick auf die Säulen um das “Datenreihe”-Menü zu öffnen, dann
auf “Option” und Abstand auf Null setzen.
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