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FR Fehlerrechnung Zufällige Abweichungen sind hingegen zunächst irgendwie statistisch verteilt. Gehen viele unabhängige Ursachen in die Abweichung ein, so ist die Größe nach C.F. Gauß normalverteilt. Dies bezeichnet man auch als den zentralen Grenzwertsatz der Stochastik. Sie können Ihre Messung also durch eine Mehrfachmessung dann verbessern, wenn die statistische Schwankung des Messwerts größer ist als die Auflösung des Messgeräts. Allerdings ist es unsinnig, den zufälligen Fehler durch Mehrfachmessung unter den systematischen Fehler senken zu wollen, woraus sich eine maximale Anzahl von sinnvollen Messwiederholungen ergibt. Am Beispiel der Goldmünze lässt sich das wieder illustrieren: Zeigt die Küchenwaage mit einer Skaleneinteilung von 10 g eine Masse von 30 g für die Münze an, so wird sie das auch bei jeder folgenden Messung tun. Eine Mehrfachmessung bringt hier nichts, auch weil der systematische Fehler bereits 10 g beträgt. Bei einer Laborwaage genügt aber bereits ein leichtes Wackeln am Tisch, um ein um mehrere mg abweichendes Ergebnis zu bekommen. Hier hilft eine Mehrfachmessung. Ein Spezialfall sind diskrete Größen: Wenn Sie drei Äpfel auf dem Tisch liegen haben, werden Sie auch bei der hundersten Zählung drei Äpfel haben (es sei denn, Sie können nicht bis drei zählen, aber das wäre ein systematischer Fehler). Anders sieht es aus, wenn die Messgröße selbst statistischer Natur ist, z.B. der radioaktive Zerfall. Dann werden werden Sie bei gleicher Messzeit jedesmal eine andere Zahl von Zerfällen messen, die um einen mittleren Wert schwanken (allerdings diesmal nicht normal-, sondern Poisson-verteilt.) Die Häufigkeit Ihrer Messwerte x verteilen sich also mit einer Gaußfunktion um den zentralen Wert µ, dem für unendlich viele Messungen der Mittelwert x zustrebt: Dieser zentrale Wert weicht nur noch um den systematischen Fehler vom wahren Wert ab. f(x) = 1 (x − µ)2 √ exp 2πσ 2 2σ 2 (FR.1) Das arithmetische Mittel x = 1 n n∑ i=1 x i (FR.2) aus den n Einzelmessungen x i ist dabei die beste Näherung für den zentralen Wert µ. Die Breite σ gibt an, wie stark die Einzelmessung um den zentralen Wert streut. Die beste Näherung für sigma bei einer endlichen Zahl von Messungen ist die sogenannte Standardabweichung s. s = √ 1 n − 1 n∑ (x i − x) 2 (FR.3) Dass im Nenner n − 1 und nicht n steht, lässt sich am besten mit n = 2 Messwerten begründen: Der Mittelwert liegt genau zwischen diesen Werten und die Abweichung vom 2 i=1
Grundlagen FR Abbildung FR.1: Aufgetragen ist hier die Häufigkeit des Messwerts über den Messwert bei 250 Messungen, mit der einhüllenden Gaußfunktion. Mittelwert ist für beide Messwerte gleich und allein durch den Abstand der beiden Messwerte gegeben. Man darf also nur über einen Wert mitteln. Entsprechend ergeben sich zwei unabhängige Abweichungen bei 3 Messwerten usw. Dies wird auch als Besselkorrektur bezeichnet. Für eine große Zahl von Messungen konvergiert s gegen σ, also eine konstante Größe, die allein Eigenschaft des Messprozesses ist. Entscheidend ist bei einer Mehrfachmessung jedoch die Standardabweichung s m des Mittelwerts: s m = s/ √ n (FR.4) Sie geht also für unendlich viele Messungen gegen Null. Ist n endlich, so ist auch der Mittelwert gaußverteilt. Interpretiere ich s m als zufälligen Fehler, so liegen nur ca. 68 % der Messwerte innerhalb des Intervalls µ ± s m . Damit liegt meine Irrtumswahrscheinlichkeit bei ca. 32 %. In der Praxis verwendet man allerdings sinnvollerweise kleinere Irrtumswahrscheinlichkeiten und muss damit die Intervalle um den Mittelwerte (die sog. Vertrauensintervalle, 3
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