Aufgabe 1: Bei sechs Personen wurde das Alter in Jahren (Variable ...

Aufgabe 1:
Bei sechs Personen wurde das Alter in Jahren (Variable X) sowie die Werte (Punkte) eines Achtungs-
Tests (Variable Y) ermittelt. (Der Achtungs-Test mißt auf intervallskalenniveau, wieviel Achtung der
getesteten Person entgegengebracht wird).
a. Berechnen Sie für das Alter und die Achtungs-Punkte das arithmetische Mittel, die empirische Varianz
und die empirische Standardabweichung.
Alter
(Jahre)
Achtung
(Punkte)
i x i
x i − x
2 2
( x i − x)
y i y i − y ( y i − y)
1 50 -10 100 65 -15 225
2 30 -30 900 75 -5 25
3 60 0 0 80 0 0
4 70 10 100 80 0 0
5 90 30 900 85 5 25
6 60 0 0 95 15 225
x = 60 y = 80
SAQx
SAQy
= 2000 = 500
EMPIRISCHE VARIANZ: S X 2 = 333.33 S Y 2 = 83.33
EMPIRISCHE STANDARD-
ABWEICHUNG S X = 18.26 S Y = 9.13
b. Bei einer Umfrage aus dem Jahre 1994 mit insgesamt 1972 Befragten ergab sich in den Alten
Bundesländern für das Alter ein arithmetisches Mittel von 42.46 und eine Summe der Abweichungsquadrate
(der Alterswerte von ihrem arithmetischen Mittel) von 534968.82.
Berechnen sie die Varianz und die Standardabweichung als Schätzung für die Grundgesamtheit.
Varianz:
534968.
82
= 271.42
1971
Standardabweichung: 271.42 = 16.47

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für die Wertepaare:
x i 5 4 6 8 9 10
y i 7 10 10 12 13 14
a. Die geschätzte Regressionsgerade
x i
x x
− i ( x x)
i − 2
y i
y y
− i ( y y)
− 2
i
( x − x)( y − y)
$y i
y − y$ ( y $
i
− yi)
1 5 -2 4 7 -4 16 8 9.14 -2.14 4.58
2 4 -3 9 10 -1 1 3 8.21 1.79 3.20
3 6 -1 1 10 -1 1 1 10.07 -0.07 0.00
4 8 1 1 12 1 1 1 11.93 0.07 0.00
5 9 2 4 13 2 4 4 12.86 0.14 0.02
6 10 3 9 14 3 9 9 13.79 0.21 0.04
x =7 SAQ x
=28 y =11 SAQ y
=32 SAP =26 $ε Σ =7.837
SAP
b = SAQ = 26
=
x
28
0. 929 a y b x
Gesamt-
Variation
i
i
Schätz-
Werte
i
i
Residuen
= − ⋅ = 11− ( 0. 929⋅ 7) = 4.497 y= 4.497 + 0.
929x
2
unerkl.
Variation
b. Die vorhergesagten Werte $y i
(Lösung siehe Tabelle, Fettdruck!)
und die zugehörigen geschätzten Residuen:
(Lösung siehe Tabelle, Fettdruck!)
c. Den Wert des Bestimmtheitsmaßes
%-Anteil nicht erklärter Variation =
7.
837⋅100
= 24. 49%
; R 2 = 1− 0. 24 = 0.
76
32
d. Den Korrelationskoeffizienten r xy
r
xy
=
SAP
SAQ ⋅SAQ
x
y
26
=
28⋅32
= 087 . oder: r xy
= 1− 0. 2449 = 0.
87

Aufgabe 3:
Im Kurs wurde die Regressionsgleichung für die Schätzung der Achtung, die eine Person genießt,
aufgrund ihres Alters ermittelt (Tafel 8.1-2 im Buch).
a. Stellen Sie nun die Regressionsgleichung für den umgekehrten Fall, daß das Alter aus der
Kenntnis der Achtungswerte geschätzt werden soll, auf.
b. Auf welches Alter wird eine Person geschätzt, die auf der Achtungsskala den Wert 87 erhielt?
c. Wie hoch ist R² und was bedeutet dieser Wert inhaltlich?
LOESUNG IN EXTRA-DATEI!
(LOESUNGzuAUFGABE3.DOC)

Aufgabe 4:
Rechnen Sie eine Regression zur Vorhersage der Links-Rechts-Werte (Y) durch das Alter (X).
a. Wie groß sind die Steigung b und der Achsenabschnitt a (Schnittpunkt der
Regressionsgeraden mit der Y-Achse)?
b. Wie groß ist die Gesamtvariation sowie die erklärte und die unerklärte Variation?
c. Was versteht man unter "Varianz" und was unter "Variation"?
d. Wie hoch ist R 2 (Bestimmtheitsmaß)?
e. Errechnen Sie aus den bisherigen Angaben den Korrelationskoeffizienten r xy
f. Errechnen Sie für die Variablen X und Y jeweils die Varianz und die Standardabweichung.
g. Errechnen Sie die Kovarianz s xy
h. Errechnen Sie die Korrelation nochmals aus der Kovarianz und den Varianzen von X und Y.
i. Wie groß ist der Varianzanteil, den die beiden Variablen X und Y gemeinsam haben?
Rechnen Sie jeweils mit 3 Nachkommastellen.
X = Alter; Y = "RECHTS-WERT" auf der Links-Rechts-Skala
x i
xi − x ( x − 2
i
x)
y i
yi − y ( y y)
x x y y
i i
2
− ⋅ − $y i
y − y$ ( y y$ i
−
i
) $y y
i − 2
( ) ( )
i
i
i
− ( y$ y)
1 40 -10 100 4 -1 1 10 4,125 -0,125 0,016 -0,875 0,766
2 80 30 900 7 2 4 60 7,625 -0.625 0,391 2,625 6,891
3 60 10 100 6 1 1 10 5,875 0,125 0,016 0,875 0,766
4 40 -10 100 5 0 0 0 4,125 0,875 0,766 -0,875 0,766
5 50 0 0 6 1 1 0 5 1 1 0 0
6 30 -20 400 2 -3 9 60 3,25 -1,25 1,563 -1,75 3,063
x = 50 y = 5
i − 2
Regression:
SAQ x = 1600 SAQ y = 16 SAP = 140
SAP
b = = 0,088
SAQ x
Korrelation:
r
xy
=
Streuungsmaße:
Kovarianz:
Varianz:
SAP
SAQ × SAQ
x
s
2
x
y
=
a = y − bx = 0,600
Regressionsgerade: y = 0,600 + 0,088 x
Gesamt- unerklärte erklärte
Variation 16 Variation: 3,752 Variation: 12,252
140
=
1600 ⋅16
Bestimmtheitsmaß: R² = 12,252 / 16 = 0,766
0.
875
SAQx
1600
=
320
n − 1
= 5
= s SAQ
2
y 16
y
=
32
n − 1
= 5
= ,
SD: s x
= 320 = 17, 889
s y
= 32 , = 1789 ,
SAP
s = xy
n − = 140
1 5
= 28
Korrelation (alternativ):
r
xy
sxy
=
s ⋅ s
x
y
28
=
= 0875 . gemeinsamer Varianzanteil: 76.6% ( 0. 875 2 0. 766)
17, 889 ⋅1,
789
=

Aufgabe 5:
Bei einer einfachen Zufallsstichprobe des Umfangs n = 1972 aus dem Jahre 1994 gaben 175 Befragte an,
ihnen ginge es wirtschaftlich schlecht. Das arithmetische Mittel des Alters lag in dieser Stichprobe bei
42.46 Jahren. Die Varianz (als Schätzung für die Grundgesamtheit) betrug für die Altersangaben 271.42.
a. Führen Sie für den Anteil derer, die ihre wirtschaftliche Lage als schlecht einstufen, eine Punkt- und
eine Intervallschätzung (mit α = 0.05) durch.
Punktschätzung: gesuchter Anteil: 175
Intervallschätzung: Konfidenzintervall: 0. 0887± 1.
96⋅
=
1972 0 . 0887 oder: 8.87 Prozent
0. 0887⋅0.
9113
= 0. 0887±
0.
0125
1972
oder: 8.87 Prozent ± 1.25, also das Intervall von 7.62 bis 10.12.
b. Berechnen Sie für das arithmetische Mittel des Alters das Konfidenzintervall (mit α = 0.001).
Konfidenzintervall: 42 3 3 16 .47
.46 ± . ⋅ = 42.46 ± 1.
22
44.41
also das Intervall von 41.24 bis 43.68
ACHTUNG: Standardabweichung, also 271.42 = 16.47
in die Formel einsetzen!
c. Berechnen Sie für das arithmetische Mittel des Alters das Konfidenzintervall (mit α = 0.05).
Konfidenzintervall: 42 1 96 16 .47
.46 ± . ⋅ = 42.46 ± 0.
73
44.41
also das Intervall von 41.73 bis 43.19

Aufgabe 6:
Fischer und Rathgeber (1993) untersuchten die Hypothese, daß Frauen gefühlsbestimmter
reagieren als Männer. Sie befragten dazu 37 Mainzer Studentinnen und 27 Mainzer Studenten
nach einer Vorführung des Films "Casablanca" ob sie, wie die Heldin des Filmes geflogen, oder
bei ihrem Geliebten geblieben wären. 22 Frauen wären geflogen, 15 geblieben. 18 Männer
wären geflogen, 9 geblieben.
a. Berechnen Sie mit einem geeigneten Test bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.05,
ob sich die Unterschiede zwischen Frauen und Männern noch als zufällig interpretieren lassen.
(Rechnen Sie mit 3 Nachkommastellen)
Männer Frauen Σ
wären geblieben 9 15 24
wären geflogen 18 22 40
Σ 27 37 64
Vorgehen: Randsummen - Erwartungswerte - O-E (alle: +-1.125) - (O-E) 2 (alle: 1.266) - (O-E) 2 / E
Erwartungswerte
(O-E) 2 / E
10.125 13.875 0.125 0.091
16.875 23.125 0.075 0.055
Summe: χ 2 = 0.346 df.=1 χ 2 (1; 095 . ) = 3.
841
→nicht signifikant
Männer und Frauen unterscheiden sich nicht!
b. Wie hoch ist der Anteil von denjenigen Studenten (Männer und Frauen gemeinsam!), die
nach eigenen Angaben bleiben würden, in der Grundgesamtheit der Mainzer Studenten?
Führen Sie eine Punkt- und eine Intervallschätzung (95% Konfidenziuntervall) durch.
Punktschätzung:
24
= 0, 375 → 37, 5%
64
Intervallschätzung: 0, 375 ± 1,
96 ⋅
0375 , ⋅ 0625 ,
64
0, 375 ± 0, 119 → Intervall : 25, 6% − 49, 4%

Aufgabe 7:
Sie interessieren sich für den Zusammenhang zwischen Wahlverhalten und Religionszugehörigkeit.
Speziell möchten Sie wissen, ob die Wähler der Grünen vorwiegend bestimmten Konfessionen
angehören.
Aus dem Politbarometer 1992-West entnehmen Sie die folgende Angaben: von 9971 Befragten sind
insgesamt 4141 katholisch. 296 Katholiken würden grün wählen, wenn heute Wahlsonntag wäre
(Sonntagsfrage). Von den 4434 Protestanten würden 372 grün wählen und von den übrigen 1396
Befragten (weder katholisch noch protestantisch) würden 184 grün wählen. Prüfen Sie mit einem
geeigneten Test, ob der Zusammenhang noch als zufällig angesehen werden kann. (α=0,001)
Rechnen Sie jeweils mit 3 Nachkommastellen.
observed ( O )
expected ( E )
( O − E)
kat ev rest Σ kat ev rest Σ kat ev rest
grün 296 372 184 852 353,839 378,876 119,285 852 -57,839 -6,876 64,715
nicht grün 3845 4062 1212 9119 3787,161 4055,124 1276,715 9119 57,839 6.876 -64,715
Σ 4141 4434 1396 9971 4141 4434 1396 9971
( O−
E)
2
( O−
E)
E
2
kat ev rest kat ev rest
grün 3345,350 47,279 4188,031 9,454 0.125 35.109
nicht grün 3345,350 47,279 4188,031 0,883 0,012 3.280
Summe: 48,863
df: 2 χ 2 -Wert = 5,99 für γ = 0,95
χ 2 -Wert = 9,21 für γ = 0,99
χ 2 -Wert = 13,82 für γ = 0,999 also: hoch signifikant