1 Wind, Wasser, Wellen - Numerische Physik: Modellierung ...

36 1 Wind, Wasser, Wellen
Gleichung 1.49 ist das Newton’sche Reibungsgesetz. Die Proportionalitätskonstante
ist die dynamische Viskosität oder die Zähigkeit. ist eine Materialkonstante, die
mit dem Druck und der Temperatur variiert. Anstelle der dynamischen Viskosität
wird manchmal die Fluidiät ½ verwendet. Das Verhältnis der dynamischen
Viskosität zur Dichte ist die kinematische Viskosität oder kinematische Zähigkeit:
± (1.51)
Da sich die kinematische Viskosität durch Division durch die Dichte ergibt, ist sie
in Luft deutlich größer als in Wasser, obwohl die dynamische Viskosität von Luft
deutlich geringer ist als die von Wasser. Daher müssen Sie bei der Angabe von
Viskositäten stets deutlich machen, ob es sich um eine dynamische oder eine kinematische
Viskosität handeln soll.
1.4.2
Laminare Rohrströmung: Hagen–Poiseuille
Eine Anwendung des Reibungsgesetzes ist eine laminare Rohrströmung, z.B. der
Blutstrom in einer Ader. Bei der laminaren Rohrströmung haftet die Flüssigkeit an
den Wänden und bewegt sich in der Mitte am schnellsten. In Analogie zur Schichtströmung
in Abbildung 1.22 können wir uns die Strömung aus kleinen Zylindern
zusammengesetzt vorstellen, die reibungsbehaftet aneinander vorbei gleiten. Ein
Flüssigkeitszylinder mit dem Radius Ö gleite am angrenzenden Hohlzylinder ab.
An der Grenzfläche ist die Druckkraft gleich der Reibungskraft, d.h. È Ê bzw.
´Ô ½ Ô ¾ µÖ ¾ Ú
Ö ¾ÖÐÚ Ö (1.52)
Umformen ergibt
¾Ð
Ö Ö
Ú (1.53)
´Ô ½ Ô ¾ µ
woraus sich nach Integration ergibt
Ö ¾ Ð
Ú · (1.54)
´Ô ½ Ô ¾ µ
Die Integrationskonstante läßt sich aus den Randbedingungen bestimmen: bei
Ö Ê, d.h. am äußeren Rand, ist Ú ¼, d.h. es wird Ê ¾ . Einsetzen in 1.54
und Auflösen nach Ú liefert das Hagen–Pouseuillesche Gesetz
Ú´Öµ Ô ½
Ð
Ô ¾
´Ê ¾ Ö ¾ µ (1.55)
Damit ergibt sich ein parabolisches Profil, d.h. die Geschwindigkeit steigt mit dem
Abstand von der Wand quadratisch an.