1 Wind, Wasser, Wellen - Numerische Physik: Modellierung ...

6 1 Wind, Wasser, Wellen
F(h+dh)
p(h+dh)
dh
A
p(h)
F(h)
Abb. 1.1. Kräfte auf ein Volumenelement in einer Luft- oder Wassersäule
Doch zurück zu Gleichung 1.3. Die Massendichte ± gibt die auf ein Volumenelement
bezogene Masse. Sie beschreibt eine Eigenschaft der Flüssigkeit. Die Masse
eines Volumenelements läßt sich daraus durch Multiplikation mit der Größe des Volumenelements
bestimmen. Analog lassen sich auch andere Dichten einführen. So
läßt sich die im Volumenelement enthaltene kinetische Energie £ Ò als ÑÚ ¾ ¾ bestimmen,
was zu einer kinetischen Energiedichte der Flüssigkeit von ¯ Ò Ò Î
ÑÚ ¾ ´¾Î µ±Ú ¾ ¾ führt. Entsprechend läßt sich eine Kraftdichte einführen
als die Kraft pro Volumenelement Î . Damit können wir die Bewegungsgleichung
1.2 umschreiben auf Dichten
Î Ñ Î ¡ ¾ Ö
Ø ¾ ±¾ Ö
Ø ¾ (1.4)
1.2.2
Hydrostatische Grundgleichung
Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel, um sowohl das Konzept des Volumenelements
als auch die Gemeinsamkeiten (und Unterschiede) zwischen Flüssigkeiten
und Gasen zu illustrieren. Der Druck £ Ô ist definiert als die Kraft , die senkrecht
auf eine Fläche wirkt: Ô . Der Luftdruck ist demnach die Gewichtskraft der
Atmosphärensäule, die auf einer Einheitsfläche lastet. Geht man in der Atmosphäre
ein Stückchen nach oben, so wird die Luftsäule über der Einheitsfläche geringer, der
Luftdruck nimmt ab. Wir erwarten daher eine Funktion des Drucks in Abhängigkeit
von der Höhe: Ô Ô´µ. Die umgekehrte Situation begegnet uns beim Tauchen:
dann lastet nicht nur die Luftsäule sondern auch die mit zunehmender Wassertiefe
immer größere Wassersäule auf unseren Schultern, d.h. der Druck nimmt zu.
Betrachten wir ein Volumenelement innerhalb einer Luft- oder Wassersäule. Das
Volumenelement habe die Grundfläche , die Höhe d und befinde sich in einer
Höhe in der Luftsäule in Ruhe, vergl. Abbildung 1.1. Sein Volumen ist Î
¡ . Dann wirken drei Kräfte: die Gewichtskraft auf das Volumenelement
Ñ ±Î ± mit ½ m/s ¾ als der Gravitationsbeschleunigung; die
Gewichtskraft der darüberliegenden Luftsäule, die sich über den Luftdruck Ô´ ·
µ an der Oberkante des Volumenelements schreiben läßt als Ô´ ·µ ¡ .
Beide Kräfte wirken nach unten. Da sich das Volumenelement nicht bewegen soll,