Mathe-Abi Baden-Württemberg 2015 - Analysis

40 Analysis - Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
2.5 Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
Funktionsuntersuchungen mit Fragen zu Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten
gehören zu den typischen Aufgaben im Pflicht- und im Wahlteil. Sie kommen in jedem
Abitur vor.
Nullstelle: Die Funktion hat bei einem Wert eine Nullstelle, wenn die Bedingung
( ) erfüllt ist. In dieser Nullstelle schneidet der Funktionsgraph die x-Achse.
Extrempunkt: Extrempunkt ist der Überbegriff für globale oder lokale Hoch- und
Tiefpunkte. Ein lokaler Hochpunkt (Tiefpunkt) ist der Wert einer Funktion an einer Stelle
, in deren Umgebung die Funktion keine größeren (kleineren) Werte annimmt. Globale
Hochpunkte (Tiefpunkte) sind die höchsten (tiefsten) Punkte der Funktion im gesamten
Definitionsbereich. Die Tangente in einem Extrempunkt besitzt die Steigung null. Für
Extremwerte gilt also ( ) .
Bei abgeschlossenen Intervallen können Extrempunkte auch auf den Intervallgrenzen
liegen (Randextrema).
Hochpunkt: Die Funktion besitzt bei einem Wert einen Hochpunkt, wenn ihre erste
Ableitung bei diesem Wert eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach – besitzt.
Die zweite Ableitung in diesem Hochpunkt ist negativ.
Tiefpunkt: Entsprechend besitzt die Funktion bei einem Wert einen Tiefpunkt, wenn
ihre erste Ableitung bei diesem Wert eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach
+ besitzt. Die zweite Ableitung in diesem Tiefpunkt ist positiv.
Wendepunkt: In einem Wendepunkt ändert die Funktion ihre Krümmung, entweder von
einer Rechts- zu einer Linkskrümmung oder umgekehrt. Die Funktion besitzt an der
Stelle einen Wendepunkt, wenn ihre erste Ableitung bei diesem Wert einen
Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) besitzt. Die zweite Ableitung bei diesem
Wendepunkt besitzt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Die dritte Ableitung ist
ungleich Null.
Sattelpunkt: Spezielle Wendepunkte, in denen die Steigung der Funktion Null beträgt
( ( ) ), werden Sattelpunkte genannt.
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