Mathe-Abi Baden-Württemberg 2015 - Analysis

26 Analysis - Funktionen
Gebrochen-rationale Funktionen und Asymptoten
Eine gebrochen-rationale Funktion lässt sich als Quotient zweier ganzrationaler
Funktionen beschreiben. Bei Aufgaben zu diesen Funktionen müssen häufig die
Nullstellen des Zählers und des Nenners bestimmt werden.
( )
Senkrechte Asymptote: Nullstellen des Zählers bilden zugleich die Nullstellen der
Funktion. Für Nullstellen des Nenners ist die Funktion nicht definiert. Hier besitzt die
Funktion eine Polstelle und eine senkrechte Asymptote.
Ausnahmen sind hebbare Definitionslücken, bei der eine Nullstelle im Zähler mit einer
Nullstelle im Nenner „gekürzt“ wird. Häufig sind hebbare Definitionslücken aber nicht
sofort erkennbar. Daher müssen Zähler und Nenner zunächst (z.B. durch Ausklammern
oder binomische Formeln) in Linearfaktoren zerlegt werden.
Waagerechte Asymptote: Falls der höchste Exponent im Nenner gleich dem höchsten
Exponent im Zähler ist (Zählergrad gleich Nennergrad), besitzt die Funktion eine
waagerechten Asymptote bei
( )
Falls der der Zählergrad niedriger als der Nennergrad ist, besitzt die Funktion eine
waagerechte Asymptote bei ( ) . Die Asymptote ist die x-Achse.
Ist Zählergrad höher als der Nennergrad, besitzt die Funktion keine waagerechte
Asymptote, ihr Grenzwert ist .
Zähler- und Nennergrad
Zählergrad = Nennergrad
Zählergrad < Nennergrad
Zählergrad > Nennergrad
waagerechte Asymptote
waagerechte Asymptote bei
( )
waagerechte Asymptote bei
( )
keine waagerechte Asymptote
( )
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