Sommersemester 2008 - Lehrstuhl für Thermodynamik - Technische ...

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
LEHRSTUHL FÜR THERMODYNAMIK
Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer
Prof. W. Polifke, Ph.D.
Diplomvorprüfung Thermodynamik I
Sommersemester 2008
9. September 2008
Teil II: Wärmetransportphänomene (Bearbeitungszeit: 90 Minuten)
1. Aufgabe (17 Punkte)
des Kupferrohres beträgt α Cu,a = 15000 W/(m 2 K). Die Wärmeleitfähigkeit von
Kupfer beträgt λ Cu = 395 W/(m K).
Berechnen Sie allgemein und zahlenmäßig für den stationären Fall:
1. [2 P.] Berechnen Sie den Wärmestrom ˙Q Kond , der an das Rohr übertragen
wird, wenn der Dampf vollständig kondensiert. Mit welcher Temperatur T W,2
tritt das Kühlwasser aus dem Rohr heraus?
Notfallwerte: ˙Q Kond = 55 kW , T W,2 = 34 ◦ C
2. [2 P.] Welcher Strömungszustand herrscht im Kupferrohr (Kühlwasserstrom)?
Berechnen Sie hierzu die entsprechende dimensionslose Kennzahl.
3. [2,5 P.] Wie groß ist der Wärmeübergangskoeffizient α Cu,i auf der Innenseite
des Kupferrohres? Verwenden Sie hierzu die unten angegebene Nußelt-
Korrelation. Notfallwert: α Cu,i = 7000 W/(m 2 K)
4. [1,5 P.] Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten U i zwischen Sattdampf
und Wasser, bezogen auf die Innenfläche des Kupferrohres.
Notfallwert: U i = 5000 W/(m 2 K)
5. [2 P.] Welche Länge L muss das Kondensatorrohr haben, damit die gesamte
Kondensationswärme unter den oben genannten Bedingungen übertragen
werden kann? (Tipp: Nutzen Sie die logarithmische Temperaturdifferenz.)
Notfallwert: L = 6,5 m
In einem Wärmeübertrager soll ein innenliegendes Kupferrohr durch kondensierenden
Dampf beheizt werden. Um die Auslegung zu vereinfachen, wird zunächst
angenommen, dass der Wärmeübertrager zur Umgebung hin adiabat ist (α a → 0).
Das Kupferrohr hat den Innendurchmesser d i = 23 mm und die Wandstärke
s Cu = 1,0 mm. Der Massenstrom des Sattdampfes beträgt ṁ D = 80 kg/h bei
der Temperatur T D = 50 ◦ C. Die spezifische Verdampfungsenthalpie ist bekannt,
nämlich ∆h = 2400 kJ/kg. Zur Wärmeabfuhr steht Wasser zur Verfügung, welches
durch das innere Rohr mit dem Massenstrom ṁ W = 1,0 kg/s strömt. Das
Kühlwasser hat die Eintrittstemperatur T W,1 = 20 ◦ C. Seine Stoffwerte können der
Tabelle entnommen werden. Der Wärmeübergangskoeffizient auf der Außenseite
Nun soll zusätzlich berücksichtigt werden, dass die Mantelfläche des außen liegenden
Stahlrohres in Realität nicht adiabat ist. Es stellt sich somit ein Wärmestrom
an die Umgebung durch Konvektion und Strahlung ein. Das Stahlrohr hat den
Innendurchmesser D i = 74 mm, die Wandstärke s Fe = 3,0 mm und die Außenwandtemperatur
T Fe,a = 49,5 ◦ C. Die Umgebungsluft kann als ideales Gas bei der
Temperatur T ∞ = 20 ◦ C angenommen werden. Sie besitzt die Wärmeleitfähigkeit
λ L = 0,026 W/(m K), die kinematische Viskosität ν L = 1,51 · 10 −5 m 2 /s und
die Prandtl-Zahl Pr L = 0, 70. Die von der Mantelfläche ausgehenden Wärmeverluste
durch Strahlung betragen ˙Q Str = 200 W . Wärmeströme über die Stirnflächen
können in guter Näherung vernachlässigt werden.
6. [5 P.] Berechnen Sie den Wärmestrom ˙Q F K , welcher sich aufgrund der freien
Konvektion einstellt. Notfallwert: ˙Q F K = 250 W
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7. [2 P.] Berechnen Sie den prozentualen Anteil der Kondensatorleistung, der im
diabaten Wärmeübertrager vom Kühlwasser abgeführt wird. Erklären Sie, wie
Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2 wobei der Helium-Massenstrom ṁ He = 32 kg/s durch den Reaktorkern strömt.
sich die Austrittstemperatur des Kühlwassers dadurch qualitativ(!) gegenüber
der adiabaten Betrachtung verändert.
2. Aufgabe (14,5 Punkte)
Nußelt-Korrelation: Nu = 0,023 · Re 4/5 · Pr 1/3
Reaktorkern
Brennelement
Gegebene Größen und Stoffwerte zur 1. Aufgabe:
DR
D K
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Wärmeübertrager:
000000000000
111111111111
DMOX
000000000000
111111111111
Innendurchmesser Kupferrohr d i = 23 mm
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Dicke des Kupferrohrs s Cu = 1,0 mm
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Wärmeleitfähigkeit Kupfer λ Cu = 395 W/(m K)
H 000000000000
111111111111
R
Wärmeübergangskoeffizient α Cu,a = 15000 W/(m 2 000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
K)
000000000000
111111111111
λ G λ G
Innendurchmesser Stahlrohr D i = 74 mm
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
ω
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Dicke des Stahlrohres s Fe = 3,0 mm
000000000000
111111111111
Stahlrohr Außenwandtemperatur T Fe,a = 49,5 ◦ C
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Strahlungswärmestrom ˙Q Str = 200 W
Sattdampf:
Te
m He
Temperatur T D = 50 ◦ C
Die Brennelemente in einem Hochtemperaturreaktor sind Kugeln mit dem Durchmesser
Massenstrom ṁ D = 80 kg/h
D K = 60 mm. Sie bestehen aus zwei Teilen. Im Zentrum befindet sich eine
Spezifische Verdampfungsenthalpie ∆h = 2400 kJ/kg
Graphitkugel mit Durchmesser D MOX = 50 mm, in der ein Mischoxid (MOX)
Kühlwasser:
Eintrittstemperatur T W,1 = 20 ◦ C
gleichmäßig verteilt ist und für eine konstante Wärmequellendichte ˙ω sorgt. Außen
ist eine Graphitummantelung, die keinen Brennstoff enthält. Sowohl der innere
Massenstrom ṁ W = 1,0 kg/s
als auch der äußere Bereich haben die Wärmeleitfähigkeit λ G = 120 W/(m K).
Dichte ρ W = 1000 kg/m 3
Der thermische Kontakt zwischen beiden Bereichen ist ideal.
Spezifische Wärmekapazität c W = 4180 J/(kg K)
Der Reaktorkern ist ein Zylinder mit einem Durchmesser D R = 3,0 m und enthält
Kinematische Viskosität ν W = 1,0 ·10 −6 m 2 /s
über eine Höhe von H R = 10,0 m eine Vielzahl solcher Kugeln. Die Kugeln füllen
Wärmeleitfähigkeit λ W = 0,60 W/(m K)
dabei den Anteil v K = 61% dieses Volumens aus. Als Kühlmittel strömt Helium bei
Umgebungsluft:
Temperatur T ∞ = 20 ◦ C
einem Druck p 0 = 40 bar durch die Zwischenräume. Das Helium kann als ideales
Gas (Gaskonstante R He = 2080 J/(kg K)) betrachtet werden. Als weitere konstante
Kinematische Viskosität ν L = 1,51 ·10 −5 m 2 /s
Stoffwerte des Heliums sind bekannt: Wärmeleitfähigkeit λ He = 0,34 W/(m K),
Wärmeleitfähigkeit λ L = 0,026 W/(m K)
dynamische Viskosität η He = 4,5 · 10 −5 kg/(m s), spezifische isobare Wärmekapazität
Prandtl–Zahl Pr L = 0,70 –
c p,He = 7370 J/(kg K) und Prandtl-Zahl Pr He = 0, 70. Im stationären
Allgemeine Größen:
Betrieb wird die thermische Leistung P = 120 MW im Reaktorkern freigesetzt,
Das Helium tritt mit der Temperatur T e = 400 ◦ C in den Reaktorkern ein. Der
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Reaktorkern kann zur Umgebung hin als adiabat betrachtet werden.
Alle Einflüsse von thermischer Strahlung können in dieser Aufgabe vernachlässigt
werden.
Berechnen Sie allgemein und zahlenmäßig für den stationären Fall:
1. [1 P.] Berechnen Sie die mittlere Austrittstemperatur T a des Heliums aus dem
Reaktorkern.
2. [3 P.] Welche Leistung P K wird von einer einzelnen Kugel im Mittel freigesetzt?
Welcher konstanten Wärmequellendichte ˙ω im MOX-Bereich entspricht
das? Notfallwert: ˙ω = 4,80 MW/m 3
Um die Temperaturverteilung in den Brennelementen abzuschätzen, wird nun eine
einzelne Kugel betrachtet. Wir nehmen vereinfachend an, die Kugel schwebe frei im
Raum und werde von Helium der Temperatur T ∞ = 900 ◦ C bei einem Druck p 0 =
40 bar mit der Geschwindigkeit u ∞ = 2,2 m/s angeströmt. Außerdem setzen wir
Kugelsymmetrie voraus. Es gilt weiterhin die Wärmequellendichte aus Teilaufgabe
2.
3. [3,5 P.] Welcher Wärmeübergangskoeffizient α stellt sich ein?
Notfallwert: α = 200 W/(m 2 K)
4. [2 P.] Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten U von der Kontaktfläche
MOX/Graphitummantelung bis zur Umströmung, bezogen auf die genannte
Kontaktfläche.
Notfallwert: U = 300 W/(m 2 K)
5. [2 P.] Welche Maximaltemperatur T max tritt unter diesen Bedingungen im
Brennelement auf?
6. [3 P.] Skizzieren Sie qualitativ den Temperaturverlauf in Brennelement und
Umgebung über der Radialkoordinate r.
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Gegebene Größen und Stoffwerte zur 2. Aufgabe:
Brennelement:
Außendurchmesser D K = 60 mm
Durchmesser MOX-Kern D MOX = 50 mm
Wärmeleitfähigkeit Graphitummantelung
λ G = 120 W/(m K)
Wärmeleitfähigkeit MOX-Kern λ G = 120 W/(m K)
Reaktorkern:
Durchmesser D R = 3,0 m
Höhe H R = 10,0 m
thermische Leistung P = 120 MW
Helium-Massenstrom ṁ He = 32 kg/s
Helium-Eintrittstemperatur T e = 400 ◦ C
Volumenanteil der Kugeln im Kernbereich
v K = 61% –
Helium:
Gaskonstante R He = 2080 J/(kg K)
Druck p 0 = 40 bar
Wärmeleitfähigkeit λ He = 0,34 W/(m K)
dynamische Viskosität η He = 4,5 · 10 −5 kg/(m s)
spez. Wärmekapazität c p,He = 7370 J/(kg K)
Prandtl-Zahl Pr He = 0,70 –
Umströmung einer Einzelkugel:
Strömungsgeschwindigkeit u ∞ = 2,2 m/s
Temperatur der Anströmung T ∞ = 900 ◦ C
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3. Aufgabe (16,5 Punkte)
xxxxxxxxxxxxxx
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V E
ρ K
c K
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
xxxxxxxxxxxxxx
λ
E
s
E
T
8
A
T
ε
α
E
E
E,λ
FK
q
A
S
Sp
ρ
Sp
In einem Solarturmkraftwerk wird senkrecht einfallende Sonnenstrahlung (Wärmestromdichte
˙q S = 1000 W/m 2 , spektrale Verteilung identisch mit der eines schwarzen
Strahlers der Temperatur T S = 5800 K) von n = 400 identischen Spiegeln
auf den Empfänger konzentriert. Die in die Horizontale projizierte Fläche eines
Spiegels beträgt A Sp = 8,0 m 2 und die Spiegel reflektieren wellenlängenunabhängig
den Anteil ρ Sp = 0,98 der einfallenden Strahlung auf den Empfänger.
Der Empfänger nimmt eintreffende Strahlung über eine ebene Absorberplatte
(Dicke s E = 40 mm, Fläche A E = 4,0 m 2 ) auf, seine restlichen Oberflächen
sind adiabat. Auf der Außenseite der Absorberplatte stellt sich die homogene
Temperatur T E = 890 ◦ C ein. Die Wärmeleitfähigkeit der Absorberplatte beträgt
λ E = 55 W/(m K), ihre Wärmekapazität kann als vernachlässigbar gering
betrachtet werden. Die äußere Oberfläche der Absorberplatte hat einen wellenlängenabhängigen
spektralen Emissionsgrad ɛ E,λ (Werte s. unten). Auf der
Außenfläche findet zudem freie Konvektion statt, der zugehörige Wärmeübergangskoeffizient
wurde zu α F K = 15 W/(m 2 K) bestimmt. Im Inneren wird der
Empfänger von einem Kühlmittel durchströmt. Das Kühlmittel hat die Dichte
ρ K = 760 kg/m 3 und die spezifische Wärmekapazität c K = 2100 J/(kg K). Der
Empfänger fasst ein Kühlmittelvolumen V E = 0,9 m 3 .
Die Außenwand des Empfängers kann ebenso wie die sehr viel größere Umgebung
der Temperatur T ∞ = 30 ◦ C als diffuser Strahler betrachtet werden. Entnehmen
Sie die benötigten Werte der Schwarzkörperfunktion aus untenstehender Tabelle.
Berechnen Sie allgemein und zahlenmäßig für den stationären Fall:
1. [3 P.] Berechnen Sie den globalen Emissionsgrad ɛ E der Absorberplatte.
Notfallwert: ɛ E = 0,45
2. [1,5 P.] Welchen Wärmestrom ˙Q Str,E→∞ gibt der Empfänger durch thermische
Strahlung an die Umgebung ab? Gehen Sie davon aus, dass die Strahlung, die
von der Umgebung auf den Empfänger trifft, vernachlässigbar ist.
Notfallwert: ˙Q Str,E→∞ = 200 kW
3. [1,5 P.] Zeigen Sie, dass die Strahlungsleistung ˙Q Str,∞→E , die der Empfänger
von der Umgebung aufnimmt, tatsächlich vernachlässigbar ist. Gehen Sie dabei
von einem globalen Absorptionsgrad α E = 0,40 der Empfängeroberfläche
aus.
4. [1 P.] Welchen Wärmestrom ˙Q F K gibt der Empfänger durch Konvektion an
die Umgebung ab? Notfallwert: ˙Q F K = 50 kW
5. [3,5 P.] Berechnen Sie den globalen Absorptionsgrad α E der Außenfläche des
Empfängers für die einfallende Sonnenstrahlung. Notfallwert: α E = 0,80
6. [1,5 P.] Welcher Wärmestrom ˙Q S wird vom Empfänger durch die Sonnenstrahlung
aufgenommen? Notfallwert: ˙Q S = 2200 kW
7. [1,5 P.] Welche elektrische Leistung kann von dem Kraftwerk erzeugt werden,
wenn der thermische Wirkungsgrad η th = 0,22 beträgt?
Für die Auslegung soll folgender hypothetischer Schadensfall berechnet werden:
Durch das unbeabsichtigte Schließen eines Ventils kommt der Kühlmittelstrom
zum Erliegen. Wie viel Zeit bleibt zum Dejustieren der Spiegel, bevor die maximal
zulässige Kühlmitteltemperatur T 2 = 550 ◦ C erreicht wird, wenn beim Schließen
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des Ventils das Kühlmittel die homogene Temperatur T 1 = 495 ◦ C hat? Gehen Sie
vereinfachend davon aus, dass das Kühlmittel im Inneren des Empfängers ideal
gerührt ist und die Außenfläche des Empfängers bei der konstanten Temperatur
T E verbleibt. Der Wärmeübergang zwischen Absorberplatte und Kühlmittel kann
als ideal angenommen werden.
Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
8. [1 P.] Berechnen Sie den Wärmeübergangskoeffizienten U zwischen
Empfängeraußenwand und -innenwand. Notfallwert: U = 1000 W/(m 2 K)
Berechnen Sie allgemein und zahlenmäßig für den instationären Fall:
9. [2 P.] Berechnen Sie die Zeit t, nach der die Maximaltemperatur T 2 überschritten
wird.
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Gegebene Größen und Stoffwerte zur 3. Aufgabe:
Empfänger:
Volumen V E = 0,9 m 3
Fläche Absorberplatte A E = 4,0 m 2
Dicke Absorberplatte s E = 40 mm
Wärmeleitfähigkeit Absorberplatte λ E = 55 W/(m K)
Temperatur der Außenfläche T E = 890 ◦ C
konv. Wärmeübergangskoeffizient α F K = 15 W/(m 2 K)
Dichte des Kühlmittels ρ K = 760 kg/m 3
spez. Wärmekapazität des Kühlmittels c K = 2100 J/(kg K)
Spektraler Emissionsgrad der Empfängeroberfläche:
ɛ E,λ =
{
ɛ E,λ1 = 0,80 , bei Wellenlängen λ < λ G = 1,62 µm
ɛ E,λ2 = 0,40 , bei Wellenlängen λ ≥ λ G = 1,62 µm
Tabellierte Werte der Schwarzkörperfunktion F λ 0 (λT ):
λT · 1000 [m K] F0 λ (λT ) [−]
1,448 0,01
1,884 0,05
2,195 0,1
2,676 0,2
3,119 0,3
3,582 0,4
4,107 0,5
4,745 0,6
5,589 0,7
9,374 0,9
12,45 0,95
22,83 0,99
Spiegel:
Anzahl n = 400 –
projizierte Fläche A Sp = 8,0 m 2
Anteil der reflektierten Leistung ρ Sp = 0,98 –
Schadensfall:
Kühlmitteltemperatur zu Beginn T 1 = 495 ◦ C
maximale Kühlmitteltemperatur T 2 = 550 ◦ C
Sonstige Größen:
Temperatur der Sonne T S = 5800 K
einfallende Wärmestromdichte ˙q S = 1000 W/m 2
Temperatur der Umgebung T ∞ = 30 ◦ C
thermischer Wirkungsgrad η th = 0,22 –
Stefan-Boltzmann-Konstante σ S = 5,67·10 −8 W/(m 2 K 4 )
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