Fakultät für Physik und Astronomie

Fakultät für Physik und Astronomie
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
Diplomarbeit
im Studienfach Physik
vorgelegt von
Benedict v. Harling
aus Celle
2005

Vereinheitlichung, Hybrid-Inflation und
Baryogenese
mit der Flipped SU(5)
Diese Diplomarbeit wurde von Benedict v. Harling ausgeführt am
Institut für Theoretische Physik
unter der Betreuung von
Prof. Dr. Michael G. Schmidt

Vereinheitlichung, Hybrid-Inflation und Baryogenese mit der Flipped
SU(5): Zusammenfassung
Wir untersuchen kosmologische Aspekte der supersymmetrischen Flipped SU(5). Nach einer Einführung
in die Vereinheitlichung mit der Flipped SU(5) untersuchen wir die Umsetzung der
Hybrid-Inflation mit dieser Eichgruppe. Wir zeigen, daß es schwierig ist, globale U(1)- und Z n -
Symmetrien zur Einschränkung des Superpotentials zu verwenden. Desweiteren diskutieren wir
das Reheating und Preheating nach der Hybrid-Inflation. Ein Schwerpunkt dieser Arbeit liegt
darüberhinaus auf der Untersuchung der Baryogenese mit der Flipped SU(5). Wir diskutieren die
Leptogenese und die Kohärente Baryogenese, bei der eine nichtsymmetrische und komplexwertige
Massenmatrix während des Preheatings zur Produktion einer Baryonasymmetrie führen kann.
Zur Kohärenten Baryogenese führen wir umfangreiche numerische Berechnungen durch, die die
Effektivität dieses Mechanismus in der Flipped SU(5) untersuchen.
Unification, Hybrid-Inflation and Baryogenesis with Flipped SU(5):
Abstract
We consider cosmological aspects of supersymmetric flipped SU(5). After giving an introduction
into unification with flipped SU(5), we discuss hybrid inflation with this gauge group. We show
that it is difficult to constrain the superpotential with global U(1) and Z n symmetries. Moreover,
we discuss reheating and preheating after hybrid inflation. A major topic of this work is the study
of baryogenesis with flipped SU(5). We discuss leptogenesis and coherent baryogenesis, the latter
requiring a nonsymmetric and complex mass matrix during preheating. We perform extensive
numerical studies in order to analyze the viability of coherent baryogenesis in flipped SU(5).

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 6
2 Vereinheitlichung 9
2.1 Die Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Flipped SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Zusätzliche Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Einbettung der Flipped SU(5) in die SO(10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Inflation 33
3.1 Dynamik des Inflatons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Hybrid-Inflation in der Flipped SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Preheating und Reheating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Baryogenese 46
4.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Leptogenese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Kohärente Baryogenese 56
5.1 Preheating mit mehreren beteiligten Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Die kinetischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Realisierung in der Flipped SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Zusammenfassung und Schlußfolgerungen 73
A Supersymmetrie 76
B Kosmologie 78
B.1 FRW-Kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.2 Probleme der FRW-Kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C Terme im Superpotential 88
D Spontane Symmetriebrechung der Flipped SU(5) 89
D.1 Massen der Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
D.2 Massive Eichbosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
E Anfangsbedingungen für die Kohärente Baryogenese 99
F Weitere Abbildungen zur Kohärenten Baryogenese 102
G Quellcode des verwendeten Programms 104
4

Abbildungsverzeichnis
3.1 Potential der Hybrid-Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Zeitentwicklung der Felder S und N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Spektrum des Neutrinos χ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Spektrum des Neutrinos χ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Spektrum des Neutrinos χ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Zeitentwicklung der produzierten Gesamtladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Baryonenasymmetrie im Parameterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Baryonenasymmetrie im Parameterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Beispiel ➀: 1. Teil des Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Beispiel ➀: 2. Teil des Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.6 Beispiel ➀: Gesamtladung in Abhängigkeit von cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Beispiel ➁: 1. Teil des Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.8 Beispiel ➁: 2. Teil des Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.9 Beispiel ➁: Gesamtladung in Abhängigkeit von cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
F.1 Beispiel ➀: Zeitentwicklung der Felder S und N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
F.2 Beispiel ➁: Zeitentwicklung der Felder S und N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
F.3 Rohdaten zu Abbildung 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
F.4 Rohdaten zu Abbildung 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5

Kapitel 1
Einleitung
Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik ist sehr erfolgreich und erklärt eine Vielzahl von
Beobachtungen. Dennoch ist es unwahrscheinlich, daß es sich um eine vollständige Theorie handelt.
Beispielsweise gibt es insgesamt 19 freie Parameter, deren Werte man nur dem Experiment
entnehmen kann. Unter anderem sind dies die Eichkopplungen α S der SU(3) C , α EM der U(1) EM
sowie der Weinberg-Winkel θ w und die 9 Massen der Fermionen.
Von einer umfassenderen Theorie erhofft man sich, daß sie zumindest einige dieser Parameter zueinander
in Beziehung setzt. Dies wird von den Theorien der Großen Vereinheitlichung erreicht, in
denen das Standardmodell mit der Eichgruppe SU(3) C × SU(2) L × U(1) Y in eine größere Gruppe
eingebettet wird. Besonders elegant ist die Einbettung in einfache Gruppen, wie z. B. die SU(5),
SO(10) oder E 6 , die nur eine Eichkopplung haben. Dann nämlich werden die Eichkopplungen α S
und α EM sowie der Weinberg-Winkel auf der Vereinheitlichungsskala durch die eine Eichkopplung
dieser Gruppe bestimmt. Erst zu niedrigeren Energien hin laufen sie wegen des Renormierungsgruppenflußes
auseinander. Die Zahl der freien Parameter reduziert sich noch weiter, wenn einige
der Yukawa-Kopplungen, die nach der elektroschwachen Symmetriebrechung für die Massen der
Teilchen verantwortlich sind, auf der Ebene der Vereinheitlichung denselben Ursprung haben.
Schließlich erzwingt die Vereinheitlichung mit einer einfachen Gruppe auch die Quantisierung der
elektrischen Ladungen der Quarks und Leptonen, die man im Standardmodell streng genommen
nur dem Experiment entnehmen kann.
Das Standardmodell hat durch das sogenannte Hierarchieproblem jedoch auch eine interne Schwierigkeit.
Ein Aspekt dieses Problems läßt sich lösen, wenn man eine Symmetrie zwischen Bosonen
und Fermionen einführt, die sogenannte Supersymmetrie. Zu jedem Fermion des Standardmodells
gibt es dann einen skalaren Superpartner und zu den skalaren Higgs entsprechend fermionische
Superpartner. Die minimale supersymmetrische Erweiterung des Standardmodells, in der man neben
diesen Superpartnern auch ein zweites Higgs-Doublet zur Kürzung von Anomalien einführt,
wird als Minimales Supersymmetrisches Standardmodell (Mssm) bezeichnet.
Die Verbindung von Supersymmetrie und Vereinheitlichung führt zu zahlreichen wünschenswerten
Aspekten. Ein wichtiges Beispiel ist die Vereinigung der Eichkopplungen. Entwickelt man die drei
Eichkopplungen des Standardmodells von einigen zehn GeV kommend zu höheren Energien, so
nähern sich ihre Werte immer mehr an und treffen bei etwa 10 15 GeV näherungsweise aufeinander.
Dies ist einer der wichtigsten Hinweise auf eine zugrunde liegende Vereinheitlichungstheorie. In
einer supersymmetrischen Theorie wird die Genauigkeit des Zusammentreffens der drei Eichkopplungen
nun deutlich erhöht, da die zusätzlichen Superpartner den Fluß der Eichkopplungen in
genau der richtigen Weise beeinflussen.
Die Superpartner der Teilchen des Standardmodells haben gute Chancen, mit dem LHC, das im
Jahr 2007 am CERN in Betrieb geht, entdeckt zu werden. Der Protonzerfall, der von allen Vereinheitlichungstheorien
vorhergesagt wird, ist andererseits der experimentell bedeutsamste Prozess
bei der Suche nach einer Vereinheitlichungstheorie. Jedoch ist es wegen der hohen Vereinheitlichungsskala
von 10 15 bis 10 16 GeV auf absehbare Zeit unmöglich, die zusätzlichen Eichbosonen
dieser Theorien direkt in Beschleunigern zu beobachten. Umso wichtiger ist es deswegen, nach
6

anderen Möglichkeiten zu suchen, die unterschiedlichen Theorien phänomenologisch voneinander
abzugrenzen. Da Energien dieser Größe im frühen Universum erreicht wurden, ist die Kosmologie
ein lohnendes Feld für solche Versuche.
Das Standardmodell der Kosmologie hat eine Reihe von Schwierigkeiten. Beispielsweise ist der
kosmische Mikrowellenhintergrund auf großen Skalen äußerst isotrop, was sich im Rahmen der
Standard-Kosmologie nicht erklären läßt. Diese und andere Beobachtungen lassen sich durch eine
Phase der Inflation erklären, bei der sich das Universum in seiner frühen Entwicklung quasiexponentiell
ausgedehnt hat. Eine solche Phase lässt sich teilchenphysikalisch begründen, wenn ein
skalares Feld langsam ein flaches Potential hinunterläuft. Unter diesen Umständen verhält sich
die potentielle Energie dieses sogenannten Inflatons wie eine Vakuumenergiedichte und führt zur
quasiexponentiellen Expansion des Universums. Als besonders ausichtsreich haben sich sogenannte
Hybrid-Inflationsmodelle erwiesen, in denen ein zweites skalares Feld beteiligt ist, das am Ende der
Inflation einen Vakuumerwartungswert annimmt. Identifiziert man nun dieses Feld mit dem Higgs
einer Vereinheitlichungstheorie, so hat man einen Mechanismus zur Brechung der Eichsymmetrie
dieser Theorie. Andererseits führt (globale) Supersymmetrie automatisch zu den für die Inflation
benötigten flachen Richtungen im Skalarpotential. Darüberhinaus ergibt sich ein geeignetes Potential
in vielen Theorien aus einem einfachen Term im Superpotential. Aus diesen Gründen ist
die Hybrid-Inflation im Rahmen von supersymmetrischen Vereinheitlichungstheorien eine äußerst
interessante Umsetzung der Inflation, die außerdem die drei Bereiche Inflation, Supersymmetrie
und Vereinheitlichung in Verbindung bringt.
Ein andere wichtige Frage in der Kosmologie ist, warum das Universum asymmetrisch bezüglich
Materie und Antimaterie ist. So deutet alles darauf hin, daß das Universum gegenwärtig nahezu
ausschließlich Materie und kaum Antimaterie enthält. Wenn das Universum nicht mit einer
kleinen Asymmetrie zwischen Materie und Antimaterie begonnen hat, muß diese in seiner frühen
Entwicklung entstanden sein. A. Sakharov wies 1967 darauf hin, daß insbesondere eine Baryonenasymmetrie
entstanden sein könnte, wenn zeitweise die folgenden Bedingungen erfüllt waren:
Verletzung der Baryonenzahl, Verletzung von C und CP sowie eine Abweichung vom thermischen
Gleichgewicht. Ein Szenarium, das diese Bedingungen im Standardmodell umzusetzen versucht, ist
das der elektroschwachen Baryogenese. So kann ein elektroschwacher Phasenübergang, der ausreichend
stark von erster Ordnung ist, in Verbindung mit den sogenannten Sphaleronen, die bereits
im Standardmodell zur Verletzung der Baryonenzahl führen, zur Erzeugung einer Baryonenasymmetrie
führen. Jedoch scheint ein elektroschwacher Phasenübergang erster Ordnung im Standardmodell
mittlerweile ausgeschlossen. Auch insofern ist es also wichtig, über das Standardmodell
hinaus zu gehen. Die Vereinheitlichungstheorien bieten hier einen interessanten Ausgangspunkt,
da sie alle die zur Baryogenese benötigte Verletzung der Baryonenzahl voraussagen.
Neue Möglichkeiten tun sich auch im Rahmen der Inflation auf. So enthält der sichtbare Bereich des
Universums nach der Inflation quasi keine Materie mehr und muß durch den Zerfall des Inflatons
wiederaufgeheizt“ werden. Diese Phase des sogenannten Reheatings findet außerhalb des thermischen
Gleichgewichts statt und ist insofern ein sehr interessanter Zeitpunkt zur Generierung
”
einer Baryonenasymmetrie. Zu Beginn des Reheatings steht meist eine Phase mit bedeutenden
nichtperturbativen Effekten, die man als Preheating bezeichnet. In [1] wurde ein neues Szenarium
vorgeschlagen, bei dem eine nichtsymmetrische und komplexwertige Massenmatrix während des
Preheatings zur Erzeugung einer Baryonenasymmetrie führt. Die Untersuchung dieser sogenannten
Kohärenten Baryogenese in einem konkreten Modell bildet einen der Schwerpunkte dieser Arbeit.
Es ist zu hoffen, daß sich aus kosmologischen Implikationen supersymmetrischer Vereinheitlichungstheorien
auch Hinweise auf die Gültigkeit dieser Theorien ergeben. Unabhängig davon bieten
supersymmetrische Vereinheitlichungstheorien in der Kosmologie einen interessanten Rahmen für
die Umsetzung der Inflation und zur Erklärung der Baryonenasymmetrie im Universum. In diesem
Sinne untersuchen wir in dieser Arbeit einige Aspekte der sogenannten Flipped SU(5) mit
der Eichgruppe SU(5) × U(1).
Zunächst geht es uns darum, die Vor- und Nachteile der Vereinheitlichung mit der Flipped SU(5)
im Vergleich zur SU(5) herauszustellen. Eine besonders interessante Eigenschaft der Flipped SU(5)
ist der elegante Mechanismus zum Doublet/Triplet-Splitting, das in der SU(5) Schwierigkeiten
bereitet. Wir wählen für die weiteren Untersuchungen ein Superpotential, das alle phänomeno-

logisch relevanten Terme enthält. Ein wichtiger Aspekt ist es nun, zusätzliche Symmetrien zu
fordern, die das Superpotential auf die gewählte Form einschränken. Dies gilt umso mehr, als
daß zahlreiche Terme durch die Eichsymmetrie erlaubt sind, die zu einem zu schnellen Protonzerfall
führen würden. Hier stoßen wir auf große Schwierigkeiten, wenn wir auch noch den für
die Hybrid-Inflation relevanten Term zum Superpotential hinzunehmen. Wir zeigen, daß es leider
nicht möglich ist, das Superpotential durch globale U(1)- und Z n -Symmetrien sowie die entsprechenden
R-Symmetrien auf die gewählte Form zu beschränken. Wir gehen auf die Realisierung
der Hybrid-Inflation im Rahmen von supersymmetrischen Vereinheitlichungstheorien ein und untersuchen
die Umsetzung in der Flipped SU(5). Insbesondere leiten wir einen einfachen Ausdruck
zur Abschätzung der Reheat-Temperatur in der Flipped SU(5) ab. Die Reheat-Temperatur ist die
maximal beim Reheating erreichte Temperatur. Um nicht zu Problemen zu führen, die die Inflation
eigentlich lösen sollte, darf sie gewisse Werte nicht überschreiten. Wir besprechen des weiteren
die Phase des Reheatings und Preheatings. Hierin liegt eines der Hauptanwendungsbereiche der
Nichtgleichgewichts-Quantenfeldtheorie, auf deren neuere Ergebnisse wir eingehen.
Einen Schwerpunkt dieser Arbeit bildet die Untersuchung von Szenarien zur Baryogenese in der
Flipped SU(5). Die Kohärente Baryogenese haben wir bereits erwähnt. Interessanterweise ist die
dafür benötigte nichtsymmetrische, komplexwertige und zeitabhängige Massenmatrix in der Flipped
SU(5) mit Hybrid-Inflation automatisch vorhanden. Insofern ist die Kohärente Baryogenese
ein natürliches Szenarium im Kontext der Flipped SU(5). Hierzu haben wir umfangreiche numerische
Berechnungen angestellt, insbesondere bezüglich der Effizienz des Mechanismus in Abhängigkeit
verschiedener Parameter. Um einen Vergleich anstellen zu können, untersuchen wir noch ein
weiteres Szenarium der Baryogenese genauer. Dies ist die sogenannte Leptogenese, bei der die Baryonenasymmetrie
durch den Zerfall schwerer rechtshändiger Neutrinos erzeugt wird. Schließlich
geben wir eine Zusammenfassung und ziehen einige Schlüsse.

Kapitel 2
Vereinheitlichung
2.1 Die Idee
Im Standardmodell bleiben unter anderem die Eichkopplungen α S der QCD und α EM der QED
sowie der Weinberg-Winkel θ w freie Parameter. Die Frage ist naheliegend, ob man sie auf einen
einzigen freien Wert zurückführen kann. Darüberhinaus gibt es a priori keinen Grund, warum
die elektrischen Ladungen der Quarks und Leptonen ganzzahlige Vielfache voneinander sind (die
Ladungsquantisierung) 1 . Eine Beantwortung dieser Fragen bietet möglicherweise die Große Vereinheitlichung.
Darunter versteht man die Einbettung der Standardmodellgruppe SU(3) C ×SU(2) L ×
U(1) Y in eine größere Gruppe. Handelt es sich um eine einfache Gruppe, so werden die Kopplungskonstanten
des Standardmodells auf der Vereinheitlichungsskala durch die eine Kopplungskonstante
dieser Gruppe bestimmt. Erst zu niedrigeren Energien hin laufen sie wegen des Renormierungsgruppenflußes
auseinander. Darüberhinaus besteht der gewünschte Zusammenhang zwischen den
Ladungen der Quarks und Leptonen, da die SU(2) L × U(1) Y und damit die U(1) der QED eine
Untergruppe der Vereinheitlichungsgruppe ist. Weitere Voraussagen beziehen sich auf die Massen
bestimmter Teilchen, da einige Yukawa-Kopplungen auf der Ebene der Großen Vereinheitlichung
denselben Ursprung haben. Alle diese Eigenschaften werden wir in Abschnitt 2.2 an Hand der
Gruppe SU(5) erläutern.
Andere Möglichkeiten sind die Einbettung in halbeinfache Gruppen (also Produkte von einfachen
Gruppen) und allgemeiner Gruppen der Art G×U(1), wobei G eine halbeinfache Gruppe bezeichne.
Da es in diesen Fällen im allgemeinen mehrere unabhängige Kopplungskonstanten gibt, sind
dies keine Großen Vereinheitlichungstheorien im eigentlichen Sinne mehr. Wir werden aber der
Einfachheit halber diesen Begriff oder die Abkürzung Gut (von Grand Unified Theory) auch für
diese Gruppen verwenden.
Halbeinfache Gruppen können ebenfalls die Ladungsquantisierung erklären. Die U(1) Y der Hyperladung
ist nämlich entweder die Untergruppe einer einzigen einfachen Gruppe im Produkt.
Dann ergibt sich die Quantisierung der Ladung wie bei einer einfachen Gut-Gruppe, auf die wir
noch eingehen werden. Oder die U(1) Y ist die Linearkombination mehrerer solcher Untergruppen.
In diesem Fall ergibt sich die Hyperladung als Summe verschiedener quantisierter Ladungen und
ist damit auch quantisiert. Im Allgemeinen verringert sich jedoch die Zahl der freien Kopplungskonstanten
nicht, da jede einfache Gruppe im Produkt eine eigene Kopplungskonstante besitzt.
Ein Beispiel, bei dem dies teilweise gelingt, ist die Gruppe SU(4) C × SU(2) L × SU(2) R . Hier
kann man die beiden SU(2)-Faktoren durch eine diskrete Symmetrie miteinander verbinden und
erzwingt damit die Gleichheit der Kopplungskonstanten. Diese Theorie macht dann insbesondere
eine Vorhersage des Verhältnisses von α S zu sin 2 θ w auf der Vereinheitlichungsskala. Wir werden
auf diese sogenannte Pati-Salam-Gruppe (nach J. C. Pati und A. Salam, die sie zuerst vorschlugen
[8]) nicht weiter eingehen. Der interessierte Leser sei aber zusätzlich auf [6] verwiesen, wo ein
supersymmetrisches Modell mit dieser Eichgruppe im Kontext der Hybrid-Inflation (siehe Kapitel
1 Ein Ansatz ist, daß die Kürzung von Anomalien die Quantisierung erzwingt, siehe beispielsweise [5]
9

3) diskutiert wird.
Gruppen der Art G × U(1), wobei G halbeinfach sei, liefern im allgemeinen keine Erklärung der
Ladungsquantisierung. Die U(1) Y der Hyperladung ist nämlich meist eine Linearkombination der
äußeren U(1) mit einer U(1)-Untergruppe von G und die Ladungszuweisung bezüglich der äußeren
U(1) unterliegt a priori keinen Einschränkungen. Als Ausgleich hat man kein Problem mit topologisch
stabilen magnetischen Monopolen. Diese werden während der spontanen Symmetriebrechung
einer halbeinfachen Gruppe zu einer Gruppe G × U(1) (also insbesondere dem Standardmodell)
immer gebildet, und zwar so zahlreich, daß sie leicht einen zu großen Anteil an der Energiedichte
des Universums hätten. Generell hängt die Existenz von Monopolen in einer Eichgruppe mit der
Ladungsquantisierung zusammen, und man hat, wie man es auch dreht und wendet, ein Problem:
Halbeinfache Gruppen leiden an einer Überproduktion von Monopolen, während solche mit äußeren
U(1)-Faktoren die Frage der Ladungsquantisierung offen lassen. Einen Ausweg aus diesem
Dilemma bietet die Inflation, wie wir in Kapitel 3 beschreiben werden.
Die Zahl der freien Kopplungskonstanten hängt von der Gesamtzahl der einfachen Gruppen und
U(1)-Faktoren im Produkt ab. Hat man nur zwei freie Parameter, so wird zumindest eine Kopplungskonstante
des Standardmodells oder ein Verhältnis von diesen auf der Vereinheitlichungsskala
festgelegt. Was die Verifizierbarkeit anbelangt, ist dies tatsächlich kein Nachteil im Vergleich zu
einer einfachen Gruppe. Auch hier kann man immer nur eine Vorhersage mit dem Experiment
vergleichen, da zwei Kopplungskonstanten des Standardmodells benötigt werden, um die Vereinheitlichungsskala
und die gemeinsame Kopplungskonstante zu berechnen. Erst dann kann die
Vorhersage zu niedrigeren Energien hin entwickelt und mit dem gemessenen Wert verglichen werden.
Ein Beispiel für eine Gruppe mit zwei Kopplungskonstanten ist die SU(5)×U(1), die aus Gründen,
die später noch offensichtlich werden, auch Flipped SU(5) genannt wird. Wir werden auf sie noch
ausführlich in Abschnitt 2.3 zu sprechen kommen. Dabei wird auch deutlich, warum man überhaupt
an einer solchen Gruppe interessiert ist, wo sie doch die Hoffnungen, die man in die Große
Vereinheitlichung setzt, nur beschränkt erfüllt. Die diesbezüglichen Vorteile einer einfachen Gruppe
kann man sich wieder verschaffen, indem die Gruppe mit mehreren freien Eichkopplungen in
eine einfache Gruppe einbettet. Wir werden dies in Abschnitt 2.5 an Hand der Einbettung der
Flipped SU(5) in die SO(10) vorführen.
Neben der lokalen Eichsymmetrie SU(3) C × SU(2) L × U(1) Y besitzt das Standardmodell mehrere
globale U(1)-Symmetrien. Die zugehörigen Quantenzahlen sind die Baryonenzahl B sowie
die Elektron-, Muon- und Tauonzahl N e , N µ und N τ , die alle separat erhalten sind. Zusätzlich
folgt daraus auch die Erhaltung der Leptonenzahl L = N e + N µ + N τ und der Fermionenzahl
F = B + L. Die Erhaltung der Quantenzahlen N e , N µ und N τ ist eine Konsequenz der angenommenen
Massenlosigkeit der Neutrinos. Dies führt nämlich dazu, daß es keine Entsprechung zur
CKM-Matrix gibt, die die verschiedenen Lepton-Flavours mischen würde. Mittlerweile gilt allerdings
als gesichert, daß die Neutrinos doch eine, wenn auch sehr kleine, Ruhemasse haben. Der
naheliegendste Weg dies zu berücksichtigen wäre, auch rechtshändige Neutrinos zuzulassen und
diesen zusammen mit ihren linkshändigen Partnern eine ausreichend kleine Dirac-Masse zuzuweisen.
Bei einer nichtdiagonalen Mischungsmatrix wären dann die Elektron-, Muon- und Tauonzahl
nicht mehr getrennt erhalten, im Gegensatz zu ihrer Summe, der Leptonenzahl. Das offensichtliche
Problem dieses Ansatzes ist, die Kleinheit der Neutrinomassen im Vergleich zu denen der übrigen
Standardmodellteilchen zu erklären.
Hier bietet der sogenannte Seesaw-Mechanismus einen eleganten Ausweg 2 : Da das rechtshändige
Neutrino ein Singlet unter allen Standardmodellgruppen ist, kann es bereits vor der elektroschwachen
Symmetriebrechung eine Majorana-Masse erhalten. Die Lagrangedichte enthält dann die
Terme (die Neutrinos ν seien als Weyl-Spinoren verstanden):
L ⊃ λ ν l · φ ν R + 1 2 m M ν R ν R + h.c., (2.1)
2 Ein anderer interessanter Vorschlag ist, daß die linkshändigen Neutrinos durch nichtrenormierbare Terme der
Form L ⊃
λ (l · φ) M 2 + h.c., wobei M S den Cutoff bezeichne, eine sehr kleine Majorana-Masse erhalten.
S

wobei l das Lepton- und φ das Higgs-Doublet sind und m M die Majorana-Masse bezeichne. Die
SU(2) L -Indizes lassen wir der Einfachheit halber weg. Nach der elektroschwachen Symmetriebrechung
werden daraus die Terme:
L ⊃ m D ν L ν R + 1 2 m M ν R ν R + h.c. (2.2)
Ist nun m M wesentlich größer als die Dirac-Masse m D , so können die rechtshändigen Neutrinos
bei Energien heutiger Experimente nicht direkt beobachtet werden. Integriert man sie aus, so
erhalten die linkshändigen Neutrinos eine Majorana-Masse der Größe m2 D
m M
. Die Dirac-Masse m D
kann dann in der Größenordnung der Massen der anderen Standardmodellteilchen liegen, ohne
in Konflikt mit der beobachteten sehr kleinen Neutrinomasse zu stehen. Eine Konsequenz der
Majorana-Masse, die unmittelbar aus Gleichung (2.2) folgt, ist die Verletzung der Leptonenzahl.
Daraus folgt insbesondere die Möglichkeit des neutrinolosen doppelten β-Zerfalls, ein Prozess, der
experimentell eine wichtige Rolle für die Messung einer solchen Masse spielt.
Die obige Diskussion ist deswegen von großer Bedeutung für die Idee der Großen Vereinheitlichung,
weil in den meisten Theorien dieser Art ein Seesaw-Mechanismus natürlicherweise vorhanden ist.
In diesem Kontext offenbart sich auch erst seine volle Eleganz: Nimmt man ein rechtshändiges
Neutrino zu den Teilchen des Standardmodells hinzu (was sich ohnehin anbietet), so ist es
das einzige Teilchen, das bereits durch den Higgs-Mechanismus einer Großen Vereinheitlichungstheorie
eine Majorana-Masse erhalten kann. Die Massen der anderen Teilchen sind bekanntlich
durch die SU(2) L verboten und entstehen erst nach der elektroschwachen Symmetriebrechung.
Insbesondere erwartet man danach auch eine Dirac-Masse der Neutrinos in der Größenordnung
der elektroschwachen Skala. Da die Vereinheitlichungsskala und damit die Majorana-Masse des
rechtshändigen Neutrinos natürlicherweise viele Größenordnungen darüber liegt, erhält man aus
dem Seesaw-Mechanismus linkshändige Neutrinos mit einer sehr kleinen Masse.
Abgesehen davon zeigt die Diskussion der Neutrinomassen aber auch, daß man für die Verletzung
der Quantenzahlen N e , N µ und N τ und der Leptonenzahl keine Gut bemühen muß. Anders verhält
es sich mit Prozessen, die die Baryonenzahl verletzen. 3 Der experimentell bedeutsamste Zerfall,
der daraus resultiert, ist der des Protons, und die Messung einer endlichen Lebensdauer wäre ein
deutlicher Hinweis auf eine zugrunde liegende Vereinheitlichungstheorie. Umgekehrt ist die gemessene
Mindestlebensdauer (10 31 bis 10 33 Jahre, je nach Zerfallskanal) eine Größe, an der sich jede
Theorie dieser Art messen lassen muß, da alle die Verletzung der Baryonenzahl voraussagen. Der
Grund dafür ist folgender: Im Standardmodell sind die Quarks und Leptonen in verschieden Multipletts
der Eichgruppe untergebracht, in den Guts befinden sich dagegen zumindest einige in einem
gemeinsamen Multiplett. Besonders ausgeprägt ist dies in der SO(10), bei der alle Mitglieder einer
Generation in einer 16dimensionalen Darstellung Platz finden. Die zusätzlichen Eichbosonen der
Theorie führen dann zu Übergängen innerhalb der Multipletts und damit auch zwischen Quarks
und Leptonen. Einen weiteren Beitrag liefern die Yukawa-Kopplungen. So erzeugen in der SU(5)
und Flipped SU(5) die Yukawa-Kopplungen, die für die Massen der Standardmodellteilchen verantwortlich
sind, B-verletzende effektive Kopplungen mit Higgs als Austauschteilchen. Doch auch
andere Yukawa-Kopplungen können zur Verletzung der Baryonenzahl führen, wie wir in Abschnitt
2.4 am Beispiel der Flipped SU(5) besprechen werden. Aus denselben Gründen gibt es in Guts
auch zusätzliche Prozesse, die die Leptonenzahl verletzen (und nicht aus einer etwaigen Majorana-
Masse des Neutrinos resultieren).
Den deutlichsten Hinweis auf eine vereinheitlichte Theorie erhält man aus dem Renormierungsgruppenfluss
der Eichkopplungen. Im Bereich einiger hundert GeV sind diese durch drei sehr
verschiedene Größen gegeben. Entwickelt man sie aber zu höheren Energien hin, so laufen sie
zusammen und treffen bei ungefähr 10 15 GeV nahezu aufeinander. Die Genauigkeit dieser Vereinigung
der Kopplungskonstanten kann deutlich erhöht werden, wenn man supersymmetrische
Theorien betrachtet. Die zusätzlichen Teilchen der Theorie verändern den Fluss dergestalt, daß
3 Dies ist nicht ganz richtig: Auch im Standardmodell gibt es Prozesse, die die Baryonen- und Leptonenzahl
verletzen, die sogenannten Sphaleronen. Allerdings sind sie bei niedrigen Energien stark unterdrückt, so daß sie
kaum einen Einfluss auf beispielsweise die Lebensdauer des Protons haben. Wir kommen auf sie aber noch im
Rahmen der Baryogenesis zu sprechen.

das Zusammentreffen im Rahmen der Ungenauigkeiten äußerst überzeugend wird. Dies ist einer der
Gründe, weswegen man mittlerweile hauptsächlich supersymmetrische Guts betrachtet, und auch
wir werden uns auf solche Theorien beschränken. Es ist aber wichtig anzumerken, daß man das Zusammentreffen
durch den Renormierungsgruppenfluss auch in nichtsupersymmetrischen Theorien
erreichen kann, wenn eine einfache Gruppe über die Zwischenschritte SU(4) C × SU(2) L × SU(2) R
oder SU(3) C × SU(2) L × SU(2) R × U(1) B−L in das Standardmodell gebrochen wird.
Ein noch wichtigerer Grund für Supersymmetrie ist ihre Rolle bei der Lösung eines Aspekts des
sogenannten Hierarchieproblems. Die Masse des Higgs erhält neben dem in der Lagrangedichte
stehenden ”
nackten“ Wert Beiträge durch Loop-Korrekturen. Da es sich beim Higgs im Standardmodell
um ein skalares Feld handelt 4 , wird die Größe dieser Korrekturen durch die größte
Skala in der Theorie gegeben, möglicherweise durch die Planck-Skala m p ≃ 10 19 GeV. Man muß
deswegen die mit umgekehrtem Vorzeichen eingehende ”
nackte“ Masse sehr genau einstellen (Fine-
Tuning), um eine kleine Higgs-Masse zu erhalten. Supersymmetrie löst dieses Problem, da jede
Loop-Korrektur eines Teilchens von derjenigen seines Superpartners gekürzt wird. Zwar ist Supersymmetrie
auf unserer Skala eine gebrochene Symmetrie, doch kann man zeigen, daß auch bei der
sogenannten ”
soften“ Brechung der obige Aspekt des Hierarchieproblems gelöst wird.
Supersymmetrie hat einen weiteren Vorteil bei der Vereinheitlichung mit einfachen Gruppen,
nämlich eine höhere Skala von O(10 16 GeV) im Vergleich zu O(10 15 GeV) in nichtsupersymmetrischen
Versionen. Dadurch wird insbesondere der durch Eichbosonen vermittelte Protonenzerfall
unterdrückt, da die Lebensdauer proportional zur vierten Potenz der Masse der Eichbosonen ist.
Andererseits gibt es beispielsweise in der SU(5) neue B- und L-verletzende Prozesse, die durch
Vermittlung von Higgsinos entstehen. Diese spielen dann eine größere Rolle als diejenigen, die
durch den Austausch von Eichbosonen stattfinden. In diesen Zusammenhang gehört auch das
sogenannte Doublet/Triplet-Splitting-Problem (allerdings nicht nur in supersymmetrischen Theorien),
auf das wir im nächsten Abschnitt zu sprechen kommen. Bei Produktgruppen ist allerdings
auch eine etwas niedrigere Vereinheitlichungsskala möglich, wenn sie beispielsweise durch das Zusammentreffen
nur zweier Kopplungskonstanten des Standardmodells gegeben wird. Dies ist der
Fall in der Flipped SU(5).
Leider hat Supersymmetrie auch einen Nachteil: Aus den vielen neuen Superpartnern der Teilchen
folgen viele neue mögliche Terme in der Lagrangedichte. Dies führt bereits im Mssm zu Termen,
die zur Verletzung der Baryonen- und Leptonenzahl führen. Um nicht mit den Meßdaten zu kollidieren,
muß man diese mit der sogenannten Matter-Parität verbieten. Weitere Beiträge folgen,
wenn man nichtrenormierbare Terme zulässt. Diese sind zwar mit einer hohen Massenskala M S
unterdrückt, können aber dennoch einen messbaren Einfluß auf beispielsweise die Lebensdauer
des Protons haben. In den Guts sind dann oft mehrere diskrete oder kontinuierliche Symmetrien
erforderlich, um die gefährlichen Terme zu verbieten. In Abschnitt 2.4 werden wir dies für den Fall
der Flipped SU(5) untersuchen.
In den nächsten Abschnitten werden wir immer wieder Zusammenhänge aus der Supersymmetrie
gebrauchen. Für eine Sammlung der benötigten Formeln sei der Leser auf den Anhang A verwiesen.
Insbesondere sei erwähnt, daß wir nicht den Superfeldformalismus verwenden. Stattdessen
betrachten wir die Komponenten der Supermultipletts getrennt und erinnern uns erst zu gegebener
Zeit daran, daß sie eigentlich zusammengehören. Das Superpotential betrachte man dann
als eine Funktion der skalaren Felder. Gleichung (A.4) kann man entnehmen, zu welchen Termen
das Superpotential in der Lagrangedichte führt. Wenn nicht anders angegeben, gelte außerdem die
Summenkonvention.
2.2 SU(5)
Die Gruppe des Standardmodells SU(3) C ×SU(2) L ×U(1) Y hat den Rang 4 und jede Vereinheitlichungsgruppe
muß deswegen einen Rang ≥ 4 haben. Auf der Suche nach einer minimalen Theorie
fängt man deswegen sinnvollerweise bei Gruppen vom Rang 4 an. Da man die Zahl der freien
Parameter des Standardmodells reduzieren möchte, stellt man zusätzlich die Forderung nach nur
4 Hier setzt die Idee des Technicolor an, die das Higgs als Kondensat aus Fermionen zu beschreiben versucht.

einer Kopplungskonstante. Es kommen dann nur einfache Gruppen sowie Produkte aus identischen
einfachen Gruppen in Frage. Im letzteren Fall bedarf es zusätzlich einer diskreten Symmetrie, die
die Faktoren im Produkt vertauscht und somit die Gleichheit der einzelnen Kopplungskonstanten
erzwingt. Diesen Einschränkungen genügen die folgenden Gruppen:
[SU(2)] 4 , [SO(5)] 2 , [SU(3)] 2 , [G 2 ] 2 , SO(8), SO(9), Sp(8), F 4 und SU(5)
Die ersten beiden scheiden sofort aus, da sie keine SU(3)-Untergruppe haben. Eine weitere Reduzierung
ergibt sich, wenn man nur Gruppen mit komplexen Darstellungen zulässt 5 . Diese Darstellungen
sind nicht äquivalent zu ihrem komplex konjugierten, im Gegensatz zu den reellen
Darstellungen. Transformieren die linkshändigen Teilchen in einer Darstellung, so transformieren
die rechtshändigen in der dazugehörigen komplex konjugierten. Sind beide äquivalent, so ist keine
Paritätsverletzung möglich. Da sich außerdem reelle Darstellungen nach reellen Darstellungen
des Standardmodells zerlegen, bedarf es komplexer Darstellungen auch auf der Ebene der Vereinheitlichungsgruppe.
Damit bleiben nur zwei Gruppen auf der Liste: [SU(3)] 2 und SU(5). Bei
der Gruppe [SU(3)] 2 stößt man auf Probleme bei der Einbettung des Standardmodells, die sich
nur lösen lassen, wenn man zusätzliche Felder einführt. Auch für die diskrete Symmetrie zwischen
den beiden SU(3)-Faktoren braucht man neue Felder. Aus diesen Gründen werden wir auch diese
Gruppe nicht weiter betrachten.
In diesem Sinne ist die SU(5) die minimale Große Vereinheitlichungstheorie. Sie ist neben der
Pati-Salam-Gruppe SU(4) C × SU(2) L × SU(2) R die erste Gruppe, die dafür vorgeschlagen wurde,
und zwar im Jahre 1974 von H. Georgi und S. L. Glashow [7]. Sie wird deswegen auch oft als
Georgi-Glashow-Gruppe bezeichnet.
Um zu sehen, daß sich mit dieser Gruppe eine sinnvolle Theorie konstruieren läßt, muß man
zuerst geeignete Darstellungen finden, in denen die Teilchen des Standardmodells untergebracht
werden können. Da Quarks und Leptonen sich in gemeinsamen Multipletts befinden, wird man
eine Generation unterzubringen versuchen. Dies sind:
(2 linksh. Quarks + 2 rechtsh. Quarks) × 3 Farben
+ 2 linksh. Leptonen + 1 rechtsh. Lepton = 15 Teilchen
Will man zusätzlich ein rechtshändiges Neutrino einführen, so hat man 16 Teilchen. Wie oben bereits
erwähnt wurde, befinden sich links- und rechtshändige Teilchen immer in zueinander komplex
konjugierten Darstellungen. Beschränken wir uns oBdA auf linkshändige Teilchen, so müssen wir
statt den rechtshändigen Quarks und Leptonen deren linkshändige Antiteilchen unterzubringen
versuchen. Die Darstellungen der SU(5) mit einer Dimension ≤ 16 werden nun durch folgende
Young-Diagramme gegeben 6 :
5 15 10 ¯ 10 ¯5
Insbesondere müssen die gewählten Darstellungen frei von Anomalien sein. Dies sind Loop-Effekte,
die die Eichsymmetrie verletzen und nicht auftreten dürfen. Es stellt sich heraus, daß sich bei den
Darstellungen ¯5 ⊕ 10 und 5 ⊕ ¯10 die Anomalien gerade wegkürzen. Schauen wir uns die erste
von beiden genauer an (sie sind lediglich komplex konjugiert zueinander) und zerlegen sie nach
Darstellungen der Standardmodellgruppe (dabei bezeichnet (a, b, c) die Produktdarstellung aus
5 Folgende einfache Gruppen haben komplexe Darstellungen: SU(N) für N > 2, E 6 und SO(4N + 2).
6 Mit Young-Diagrammen kann man auf anschauliche Weise die irreduziblen Tensor-Darstellungen der Gruppen
SU(N) finden. Jeder Box entspricht ein Index des Tensors, wobei die Indizes in nebeneinander stehenden Boxen
symmetrisiert werden, in untereinanderstehenden dagegen antisymmetrisiert. Die Dimension der Darstellung kann
man mit der Hakenregel finden.

der a der SU(3) C und der b der SU(2) L mit der Hyperladung c):
¯5 = (¯3, 1, 1 3 ) ⊕ (1, ¯2, − 1 2 )
10 = (¯3, 1, − 2 3 ) ⊕ (3, 2, 1 6 ) ⊕ (1, 1, 1) (2.3)
Man kann sich leicht davon überzeugen, daß dies gerade die Quantenzahlen einer Generation
linkshändiger Teilchen des Standardmodells sind! Allerdings fehlt ein rechtshändiges Neutrino
bzw. genauer ein linkshändiges Antineutrino. Als das Neutrino noch als masselos angenommen
wurde, war dies sicher eine schöne Eigenschaft. Wie im letzten Abschnitt erläutert, weiß man
mittlerweile von einer kleinen Masse und nimmt deswegen ein linksshändiges Antineutrino als
Singlet der SU(5) hinzu (obwohl dies nicht unvermeidlich ist, siehe Fussnote 2): 1 = (1, 1, 0). Als
Singlet hat es keinen Einfluß auf die Anomalien, weswegen auch die Darstellung ¯5 ⊕ 10 ⊕ 1 frei
von solchen ist. Man kann die einzelnen Multipletts bequem als Vektoren bzw. Matrizen schreiben.
Dabei ist zu beachten, daß man die vier Indizes der ¯5 mit dem ɛ-Tensor zu einem kontrahieren
kann. Die erste Generation des Standardmodells nimmt dann folgendermaßen in den Multipletts
Platz:
⎛ ⎞
⎛
⎞
d c 1
0 u c d c 3 −u c 2 u 1 d 1
2
¯f ≡ ¯5 =
⎜d c 3⎟
⎝ e ⎠
F ≡ 10 = −u c 3 0 u c 1 u 2 d 2
⎜ u c 2 −u c 1 0 u 3 d 3
⎟
⎝−u 1 −u 2 −u 3 0 e c ⎠ 1 = νc (2.4)
ν
−d 1 −d 2 −d 3 −e c 0
Alle Felder sind linkshändig und die rechtshändigen befinden sich in den dazugehörigen komplex
konjugierten Darstellungen. Insbesondere bezeichnet der Index c die linkshändige Komponente
der Antiteilchen. Weiterhin bezeichnen die Indizes 1, 2, 3 die Farbladung. Die Vorzeichen sind
Konvention und der Bequemlichkeit halber so gewählt.
Es ist nicht trivial, eine Darstellung frei von Anomalien zu finden, in die genau eine Generation
des Standardmodells passt. Dies ist auch schon im Standardmodell etwas mysteriös, wo sich die
Anomalien je einer Generation gegenseitig wegheben. Wir werden in Abschnitt 2.5 eine mögliche
Erklärung geben.
Die Eichbosonen befinden sich in der adjungierten Darstellung und man hat deswegen derer 24.
Weiterhin braucht man ein Higgs-Multiplett, das die Eichsymmetrie zum Standardmodell bricht.
Um das zu erreichen, muß das Higgs seinen Vakuumerwartungswert in einer Richtung annehmen,
die ein Singlet (1, 1, 0) unter der Standardmodellgruppe ist (sonst bricht man in eine andere
Gruppe). Ein Blick auf (2.3) zeigt, daß die 5 und 10 kein solches Singlet enthalten. Für die 15
gilt gleiches, im Gegensatz zur adjungierten Darstellung, die sich folgendermaßen zerlegt:
24 = (8, 1, 0) + (1, 3, 0) + (3, ¯2, − 5 6 ) + (¯3, 2, 5 ) + (1, 1, 0) (2.5)
6
Wir wählen folglich ein Higgs-Multiplett in der adjungierten Darstellung, das wir mit Φ bezeichnen.
Schließlich muß man noch die beiden Higgs-Doublets des Mssm unterbringen. Die 10 und 10 ¯
enthalten kein Doublet der SU(2) L , das außerdem Singlet der SU(3) C ist, die 5 und ¯5 dagegen ( )
h
+
u
schon. Am( einfachsten bringt man sie deswegen in diesen Darstellungen unter. Sind h u =
h
0
)
h 0 d
u
und h d = die beiden Higgs-Doublets, so hat man folgende Zuordnungen:
h − d
⎛ ⎞
⎛ ⎞
D 1
¯D 1
D 2
¯D 2
h ≡ 5 =
⎜D 3
⎟
¯h ≡ ¯5 =
⎜
¯D 3
⎟
(2.6)
⎝h + ⎠
⎝
u
h − ⎠
h 0 d
u
h 0 d
Die Yukawa-Kopplungen im Superpotential enthalten natürlich die kompletten Multipletts. Insbesondere
führt dies auch zu Kopplungen zwischen Standardmodellteilchen und den neuen Farb-
Triplets D und ¯D. Um Zerfälle über diese expliziten Kopplungen in Teilchen des Standardmodells

und solche aus den Triplets zu verbieten, müssen die Triplets ausreichend schwer sein. Darüberhinaus
gibt es aber noch effektive Kopplungen, bei denen die Teilchen des Triplets nur als Austauschteilchen
auftreten. Diese Prozesse werden mit größerer Triplet-Masse stärker unterdrückt.
Es zeigt sich, daß die Farb-Tripletts sehr große Massen von O(10 15 GeV) erhalten müssen, um die
insbesondere durch den Protonenzerfall gesetzten Grenzen zu erfüllen. Dagegen haben die Higgs-
Doublets natürlich leicht zu bleiben. Dies ist das sogenannte Doublet/Triplet-Splitting-Problem.
Wir werden gleich zeigen, daß es sich in der SU(5) lösen lässt, allerdings nur mit einem gewissen
Grad an Fine-Tuning.
Die 24 Generatoren der SU(5) sind in Anhang D zu finden (dort im Kontext der Flipped SU(5)).
Ihre wesentliche Struktur lässt sich durch folgende Matrizen darstellen:
1
2
⎛
⎜
⎝
λ i
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0
⎞
⎟
⎠
1
2
⎛
⎜
⎝
0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
σ i
⎞
⎟
⎠
⎛
1
1
√ 15
⎜
⎝
Dabei sind die λ i mit i = 1, . . . , 8 die Gell-Mann-Matrizen und die σ i mit i = 1, 2, 3 die Pauli-
Matrizen. Offensichtlich entsprechen die ersten Matrizen den Generatoren einer SU(3)-Untergruppe
und die zweiten denen einer SU(2). Entsprechend ist die diagonale Matrix der Generator einer
U(1)-Untergruppe. Will man von der SU(5) in das Standardmodell brechen, so müssen diese Generatoren
klarerweise ungebrochen bleiben. Daneben gibt es noch 12 gebrochene Generatoren, die
die Gestalt
1
2
⎛
⎜
⎝
∗ ∗
0 ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗
0
∗ ∗ ∗
haben, wobei die Sternchen für Einträge stehen, die teilweise von Null verschieden sind.
Nun sind die Eigenwerte des Multiplets ¯f bezüglich des diagonalen Generators in (2.7) gegeben
durch:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
d c 1
d c 1
1
d c 1
2
√ 15
⎜ 1
⎟ ⎜d c ⎝ − 3 3⎟
⎠ ⎝
2 e ⎠ = √ 1
d c 2
15
⎜ d c 3
⎝− 3 2 e
⎟
(2.9)
⎠
v
− 3 2 v
− 3 2
Da diese Eigenwerte den Ladungen unter der U(1)-Untergruppe entsprechen, sind die Ladungen
der Quarks und Leptonen im Multiplet offensichtlich ganzahlige Vielfache voneinander, also quantisiert!
Das mag zunächst nicht verwunderlich sein, hatten wir doch schon mit (2.3) gezeigt, daß
die Multipletts ¯5 und 10 die richtigen Quantenzahlen tragen. Bemerkenswert ist, daß die Quantisierung
durch die Struktur des U(1)-Generators erzwungen wird! Die Struktur dieses Generators
ist wiederum eine direkte Folge davon, daß die U(1) eine Untergruppe der SU(5) ist. Darin liegt
die Erklärung der Ladungsquantisierung bei einfachen Gruppen.
Für das Multiplett F kann man die gleiche Betrachtung anstellen und erhält wiederum quantisierte
Ladungen. Schaut man sich die Eigenwerte in (2.9) an, so sieht man, daß diese noch nicht
die Hyperladungen sind. Die Quarks im Multiplett ¯f tragen die Hyperladung 1 3 , die Leptonen − 1 2 .
Die richtigen Ladungszuordnungen erhält man, wenn zwischen den Kopplungskonstanten g 5 der
SU(5) und g 1 der U(1) Y auf der Vereinheitlichungsskala der folgende Zusammenhang besteht:
⎞
⎟
⎠
1
1
− 3 2
− 3 2
⎞
⎟
⎠
(2.7)
(2.8)
g 1 =
√
3
5 g 5 (2.10)

Nun erinnere man sich an die Definition des Weinberg-Winkels θ w . Ist g 2 die Kopplungskonstante
der SU(2) L , so gilt:
tan θ w = g 1
g 2
(2.11)
Auf der Vereinheitlichungsskala √
ist aber g 2 = g 5 . Deswegen folgt aus (2.10) und (2.11) die Beziehung
tan θ w = und daraus die berühmte Vorhersage:
3
5
sin 2 θ w = 3 8
(2.12)
Dieses Ergebnis muß man natürlich mit den Renormierungsgruppengleichungen zu niedrigeren
Energien entwickeln, um mit Meßergebnissen vergleichen zu können. Wir werden am Ende des
Abschnitts noch darauf eingehen.
Zur Vervollständigung der Theorie fehlt noch die Angabe des Superpotentials. Der Teil, der die
Yukawa-Kopplungen zwischen Standardmodellteilchen und elektroschwachen Higgs enthält, hat
folgende Struktur:
W ⊃ λ ij
u ɛ αβγδσ Fαβ i F j γδ h σ + λ ij
d F αβ i ¯f jα ¯hβ
(2.13)
Die Indizes i, j = 1, 2, 3 bezeichnen die drei Familien, die griechischen Buchstaben laufen von 1
bis 5 und sind die Indizes der SU(5)-Multiplets. Vereinfacht können wir auch schreiben:
W ⊃ λ ij
u F i F j h + λ ij
d F i ¯f
j¯h (2.14)
Wir werden im folgenden die SU(5)-Indizes fortlassen, da die Kontraktion von bis zu drei Multipletts
immer eindeutig ist 7 (im Kontext der Flipped SU(5) werden wir sehen, daß es bei vier und
mehr Felder durchaus mehrere Arten der Kontraktion geben kann).
Die λ u und λ d sind Matrizen im Flavour-Raum und sorgen für eventuelle Mischungen. Da der
Term F i F j h symmetrisch in i und j ist, gilt dasselbe auch für die Yukawa-Matrix λ ij
u . Dies ist
ein Unterschied zum Standardmodell, wo die Yukawa-Matrizen nicht weiter eingeschränkt sind.
Die einzelnen Terme werden in Anhang C für die Flipped SU(5) ausgerechnet. Durch Vergleich
wird deutlich, daß die Matrix λ u in der SU(5) insbesondere die Massen der Quarks u, c und t
bestimmt. Dagegen ist λ d sowohl für die Massen der Quarks d, s und b verantwortlich, als auch für
diejenigen der Leptonen e, µ und τ. Diagonalisiert man die Matrix, so hat man die Beziehungen
λ md
= λ me
λ ms = λ mµ
λ mb = λ mτ
(2.15)
auf der Gut-Skala. Dabei bezeichnet λ mx die Yukawa-Konstante, die nach der elektroschwachen
Symmetriebrechung die Masse des Teilchens x bestimmt. Zwar müssen diese Parameter zu niedrigeren
Energien entwickelt werden, es zeigt sich aber, daß Verhältnisse der Art λ md /λ ms usw.
unabhängig von der Skala sind. Man hat deswegen insbesondere auch auf der elektroschwachen
Skala die Vorhersage:
m d
= m e
(2.16)
m s m µ
Diese Relation weicht von den Meßdaten um fast eine Größenordnung ab und ist deswegen ein
Problem für die SU(5). Lösen kann man es durch ein zusätzliches 45dimensionales Higgs-Multiplet,
was die Theorie aber sicher nicht eleganter macht. Eine weitere Möglichkeit ist die Einbeziehung
nichtrenormierbarer Terme der Art ¯fF Φ¯h/M s , wobei M S den Cutoff bezeichne. Diese können die
Massen dergestalt korrigieren, daß eine Übereinstimmung mit dem Experiment erzielt wird. Wir
werden hier nicht weiter darauf eingehen, verweisen aber auf den nächsten Abschnitt. In der dort
besprochenen Flipped SU(5) löst sich dieses Problem von selbst.
7 Trägt eine Darstellung der SU(N) ihre Indizes unten, so hat die dazugehörige komplex konjugierte Darstellung
ihre Indizes oben. Ein Singlet unter der Gruppe erhält man, wenn man obenstehende mit untenstehenden Indizes
oder N obenstehende oder untenstehende Indizes mit dem ɛ-Tensor kontrahiert.

Führt man auch ein rechtshändiges Neutrino ein, so gibt es zusätzlich die folgenden Yukawa-
Kopplungen im Superpotential:
W ⊃ λ ij
ν ν ci ¯f j h + M ij
mν ci ν cj (2.17)
Der erste Term führt zu einer Dirac-Masse der Neutrinos, die in der Größenordnung der elektroschwachen
Skala liegt (vorausgesetzt die λ ij
ν sind nicht sehr klein). Sind die Einträge der
Majorana-Massenmatrix Mm ij der rechtshändigen Neutrinos deutlich größer, so ergibt der Seesaw-
Mechanismus wie oben beschrieben sehr kleine Majorana-Massen für die linkshändigen Neutrinos.
Der Ursprung der Massenmatrix Mm ij ist zunächst nicht näher bestimmt. Da die ν c Singlets auch
bezüglich der SU(5) sind, können die Massen schon durch den Higgs-Mechanismus einer größeren
Gruppe entstanden sein, die in die SU(5) gebrochen wurde.
Es bleibt der Teil des Superpotentials zu spezifizieren, der zur spontanen Symmetriebrechung von
der SU(5) in das Standardmodell führt. Wir wählen [16]:
W ⊃ x tr Φ 2 + y tr Φ 3 + λ (hΦ¯h + m ¯hh) (2.18)
Das Auftreten der Spur wird verständlich, wenn man bedenkt, daß die adjungierte Darstellung
einen oberen und einen unteren Index trägt. Es gibt für dieses Superpotential insbesondere die
folgenden drei Minima, in denen das Potential verschwindet:
(A) 〈Φ〉 = 0
(B) 〈Φ〉 = diag(a, a, a, a, −4a) mit a = 2x
9y
(C) 〈Φ〉 = diag(b, b, b, − 3 2 b, − 3 2b) 4x
mit b =
3y
Lösung (A) entspricht einer ungebrochenen SU(5), (B) dagegen führt zu der Gruppe SU(4)×U(1).
Lösung (C) schließlich ist die gewünschte, da sie zur Brechung in das Standardmodell führt. Dies
kann man sich klarmachen, wenn man sich die Generatoren (2.7) des Standardmodells anschaut.
Mit diesen kommutiert 〈Φ〉 für Lösung (C), im Gegensatz zu den Generatoren (2.8). Da in der
Lagrangedichte die Terme
L ⊃ |D µ Φ| 2 ⊃ |D µ 〈Φ〉| 2 ∝ |[A µ , 〈Φ〉]| 2 (2.19)
auftreten, werden nur diejenigen Eichbosonen massiv, die den Generatoren (2.8) entsprechen. Die
anderen Eichbosonen bleiben masselos. Die Symmetriebrechung im Fall (B) kann man auf entsprechende
Art verstehen.
Die Vakua sind leider entartet und die Symmetriebrechung deshalb nicht eindeutig. Man kann
diese Entartung durch eine andere Wahl des Superpotentials und durch Einbeziehung der Supergravitation
aufheben. Da unser Augenmerk hauptsächlich auf der Flipped SU(5) liegt, in der
dieses Problem nicht auftritt, werden wir hierauf nicht näher eingehen.
Schließlich bleibt noch, eine Lösung des oben besprochenen Doublet/Triplet-Splitting-Problems zu
finden. Dazu schreiben wir den letzten Term aus (2.18) nach der spontanen Symmetriebrechung
hin, also mit 〈Φ〉 für den Fall (C). Bezeichnen t und ¯t die Farb-Triplets und sind h u und h d wie
oben definiert, so hat man:
Damit lautet besagter Term:
h =
(
t
h d
)
¯h =
( ¯t
h u
)
(2.20)
W ⊃ λ (m + b) ¯tt + λ (m − 3 2 b) h uh d (2.21)
Ist nun m = 3 2 b + O(m w), wobei m w die elektroschwache Skala bezeichnet, so bleiben die Higgs-
Doublets leicht und man erhält einen µ-Term in der richtigen Größenordnung. Da b von der
Ordnung 10 16 GeV ist, werden die Farbtriplets gleichzeitig sehr schwer. Dieses unschöne Fine-
Tuning bleibt zumindest durch das Nichtrenormierungstheorem der Supersymmetrie geschützt

und wird nicht durch Loop-Korrekturen zunichte gemacht. Eine andere Möglichkeit zur Lösung
des Doublet/Triplet-Splitting-Problems ist der sogenannte Missing-Partner-Mechanismus, der aber
in der SU(5) die Einführung sehr hochdimensionaler Darstellungen (eine 75, eine 50 und eine ¯50)
erfordert. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, daß dieser Mechanismus in der Flipped SU(5)
eine sehr elegante Lösung des Problems ermöglicht.
Zum Abschluß dieser Diskussion werfen wir einen Blick auf die experimentellen Daten zur SU(5).
Tatsächlich ist die minimale nichtsupersymmetrische Version schon seit längerem ausgeschlossen.
Da hier die Skala bei nur O(10 15 GeV) liegt, geschieht der dominate Beitrag zum Protonenzerfall
über den Austausch von Eichbosonen (was z. B. zu p → e + + π 0 führt). Die so vorhergesagten
Zerfallsraten wurden nicht beobachtet. In der supersymmetrischen Version mit einer Skala von
O(10 16 GeV) ist der dominante Beitrag auf den Austausch von Higgsinos aus den Farb-Triplets
zurückzuführen (z. B. p → ¯ν + K + ). Die entsprechende Zerfallsrate ist abhängig von deren Masse
und insbesondere vom verwendeten Mechanismus zum Doublet/Triplet-Splitting. Teilchen mit
Massen in der Nähe der Gut-Skala führen nun zu Korrekturen im Renormierungsgruppenfluß
der Kopplungskonstanten, die sich aus den Quantenzahlen und Massen dieser Teilchen berechnen
lassen. Aus der Forderung nach dem exakten Treffen der Kopplungskonstanten lässt sich insbesondere
ein damit verträglicher Bereich der Massen der Farb-Triplets bestimmen. In der SU(5)
mit minimalem Teilchengehalt und dem angesprochenen Verfahren zum Doublet/Triplet-Splitting
reicht dieser Wert nicht aus, um die beobachtete niedrige Zerfallsrate des Protons zu erklären. Diese
minimale supersymmetrische SU(5) lässt sich somit mit großer Wahrscheinlichkeit ausschließen
[9]. Anders verhält es sich mit möglichen Modifikationen, wie z. B. mit dem Missing-Partner-
Mechanismus, die noch mit den Beobachtungen verträglich sein können.
Wie im letzten Abschnitt bereits beschrieben wurde, werden zwar die drei freien Kopplungskonstanten
des Standardmodells auf der Skala der SU(5) durch eine einzige festgelegt. Da man aber
immer zwei der Konstanten des Standardmodells braucht, um die Skala m G und die Kopplungskonstante
g 5 der SU(5) zu bestimmen, kann nur ein vorhergesagter Wert mit dem Experiment
verglichen werden. Bis vor einigen Jahren wurden so α EM (m w ) und α s (m w ) benutzt, um m G und
g 5 zu bestimmen und daraus sin 2 θ w (m w ) zu berechnen. Mittlerweile verwendet man bevorzugt
α EM (m w ) und sin 2 θ w (m w ) und ermittelt daraus eine Vorhersage für α s (m w ). In beiden Fällen
erhält man keine Übereinstimmung mit den Vorhersagen der nichtsupersymmetrischen SU(5). In
einer supersymmetrischen Theorie verbessert sich die Übereinstimmung. Dennoch liegt der vorhergesagte
Wert für α s (m w ) an der oberen Grenze des gemessenen Wertes samt Fehlerintervall.
2.3 Flipped SU(5)
Die Symmetriebrechung der Gruppe SO(10) in das Standardmodell läuft über einen Zwischenschritt.
Häufig betrachtete Ketten sind:
SO(10) −→ SU(5) G-G −→ G S
SO(10) −→ SU(5) G-G × U(1) −→ G S
(2.22)
SO(10) −→ SU(4) C × SU(2) L × SU(2) R −→ G S
SO(10) −→ SU(3) C × SU(2) L × SU(2) R × U(1) B−L −→ G S
Dabei ist SU(5) G-G die im letzten Abschnitt besprochene Georgi-Glashow-Gruppe und G S bezeichnet
die Gruppe des Standardmodells.
Neben der SU(4) × SU(2) × SU(2) ist auch die SU(5) × U(1) eine maximale Untergruppe der
SO(10). Es ist deswegen interessant, sich diese Gruppe näher anzuschauen. In Abschnitt 2.1 wurde
bereits angesprochen, daß eine vollständige Generation des Standardmodells mit rechtshändigem
Neutrino in einer 16dimensionalen Spinordarstellung der SO(10) Platz finden. Bezüglich der Un-

tergruppe SU(5) × U(1) X 8 zerlegt sich diese nach
16 = (10, 1) ⊕ (¯5, −3) ⊕ (1, 1), (2.23)
wobei (a, b) die a der SU(5) mit der Ladung b unter der U(1) X bezeichnet. Die SU(5) enthält
bekanntlich eine Untergruppe SU(3) × SU(2) × U(1) Z . Will man nun das Standardmodell in
die Gruppe SU(5) × U(1) X einbetten, so muß die U(1) Y der Hyperladung offensichtlich eine
Linearkombination der U(1) X und der U(1) Z sein. Da wir von der SO(10) kommen, versuchen
wir, die Standardmodellteilchen in den Darstellungen in (2.23) unterzubringen. Bezeichnen X, Y
und Z die jeweiligen Ladungen, so muß man Koeffizienten α und β derart finden, daß folgende
Gleichung für alle Teilchen einer Generation erfüllt ist:
Es gibt zwei Lösungen:
(A) (α, β) = (1, 0)
(B) (α, β) = (− 1 5 , 1 5 )
Y = αZ + βX (2.24)
Lösung (A) entspricht der Gruppe SU(5) G-G × U(1), wobei das Standardmodell vollständig in
der SU(5) G-G liegt. Diese Gruppe unterscheidet sich nicht wesentlich von der im letzten Abschnitt
besprochenen. Lösung (B) dagegen entspricht einer neuen Gruppe, die man als Flipped SU(5) bezeichnet.
Das Standardmodell ist nicht mehr Untergruppe nur der SU(5) sondern der vollständigen
Gruppe SU(5) × U(1). Vorgeschlagen wurde sie zuerst von S. M. Barr als neuer Zwischenschritt
der Brechung der SO(10) in das Standardmodell [10].
Um die richtige Zuordnung der Standardmodellteilchen in die SU(5)×U(1) X -Multipletts in (2.23)
zu finden, schreiben wir in die Vektor- bzw. Matrizenform der Darstellungen ¯5, 10 und 1 der SU(5)
die Ladungen bezüglich ihrer U(1) Z -Untergruppe:
⎛ ⎞ ⎛
1
3
/ − 2 3
− 2 ⎞
1 1
3 6 6
1
3
¯5 :
1
⎜ 3 ⎟
⎝− 1 ⎠
10 : − 2 3
/ − 2 1 1
3 6 6
⎜− 2 3
− 2 1 1
3
/ 6 6⎟
⎝ 1 1 1
2
− 1 6 6 6
/ 1⎠ 1 : 0 (2.25)
1 1 1
2
6 6 6
1 /
Formel (2.24) für den Fall (B) ergibt dann für die SU(5) × U(1) X -Darstellungen folgende Hyperladungen
bezüglich der U(1) Y :
⎛
− 2 ⎞ ⎛
⎞
3
/ 1 1 1 1
− 2 3 3 6 6
1
3
(¯5, −3) :
⎜− 2 3⎟
⎝− 1 ⎠
(10, 1) : 3
/ 1 1 1
3 6 6
1 1
⎜ 3 3
/ 1 1
6 6⎟
(1, 5) : 1 (2.26)
⎝ 1 1 1
2
− 1 6 6 6
/ 0⎠ 1 1 1
2
6 6 6
0 /
Im Vergleich zu den Zuordnungen (2.4) in der SU(5) müssen in der Flipped SU(5) insbesondere
die d c aus der ¯5 mit den u c aus der 10 tauschen: u c ↔ d c . Weiterhin muß das e c aus der 10
mit dem Singlet ν c tauschen: e c ↔ ν c . Um schließlich die richtigen Zuordnungen der elektrischen
Ladung zu haben, müssen auch die u mit den d und das ν mit dem e tauschen: u ↔ d und e ↔ ν.
Insgesamt haben wir dann folgende Einordnungen der Standardmodellteilchen in die Multipletts
der Flipped SU(5):
⎛ ⎞
⎛
⎞
u c 1
0 d c u c 3 −d c 2 d 1 u 1
2
¯f ≡ (¯5, −3) =
⎜u c 3⎟
⎝ ν ⎠ F ≡ (10, 1) = −d c 3 0 d c 1 d 2 u 2
⎜ d c 2 −d c 1 0 d 3 u 3
⎟
⎝−d 1 −d 2 −d 3 0 ν c ⎠ (1, 5) = ec (2.27)
e
−u 1 −u 2 −u 3 −ν c 0
8 Die Indizes X und Z an den U(1) dienen lediglich der Unterscheidung. Der Generator der U(1) Z sei bereits
wie derjenige der Hyperladungs-U(1) Y normiert, also mit der Ersetzung (2.10).

Aus den Vertauschungen der Multiplett-Zuordnungen in der Flipped SU(5) im Vergleich zu denen
in der Georgi-Glashow-SU(5) ergibt sich auch der Namenszusatz Flipped“. Man kann wiederum
”
zeigen, daß die gewählte Darstellung (¯5, −3) ⊕ (10, 1) ⊕ (1, 5) frei von Anomalien ist [11], wobei
sich die Anomalien der einzelnen Summanden gegenseitig wegkürzen. Dies ist zunächst ähnlich
mysteriös wie die Kürzung im Fall der SU(5). Wir werden aber in Abschnitt 2.5 eine Erklärung
dafür geben.
Da der letzte Summand kein vollständiges Singlet der Flipped SU(5) ist, trägt er Anomalien und
wird deshalb zu ihrer Kürzung benötigt. Man kann die (1, 5) aber ohnehin nicht fortlassen, da sie
das rechtshändige Elektron enthält. Dies führt uns zu dem bemerkenswerten Umstand, daß das
rechtshändige Neutrino bzw. genauer das linkshändige Antineutrino nun in der (10, 1) enthalten
ist und man es deswegen zu den Teilchen des Standardmodells hinzunehmen muß.
Am Beispiel der Flipped SU(5) kann man sehen, warum Gruppen der Art G × U(1) die Ladungsquantisierung
im Allgemeinen nicht erklären. In (2.23) haben wir Darstellungen der SU(5) × U(1)
gewählt, die sich aus einer 16 der SO(10) ergeben. Weil die SO(10) eine einfache Gruppe ist, sind
die U(1)-Ladungen bezüglich der Untergruppe SU(5) × U(1) festgelegt und insbesondere quantisiert.
Dies ist ein Grund, warum wir in Abschnitt 2.5 die Einbettung der Flipped SU(5) in die
SO(10) untersuchen werden. Betrachtet man die SU(5) × U(1) dagegen nicht als Untergruppe
einer einfachen Gruppe, so sind die Ladungen unter der äußeren U(1) a priori nicht eingeschränkt.
Im Fall der SU(5) G-G × U(1) ist die elektrische Ladung dennoch zwangsläufig quantisiert, da das
Standardmodell eine Untergruppe der Georgi-Glashow-Gruppe ist. Bei der Flipped SU(5) dagegen
ist das Standardmodell die Untergruppe der gesamten SU(5) × U(1) und man hat keinen zwingenderen
Grund für die Ladungszuordnungen als die Übereinstimmung mit den Beobachtungen.
Aus dem rechtshändigen Neutrino im Multiplett F folgt eine andere wichtige Eigenschaft der
Flipped SU(5). In Abschnitt 2.2 haben wir gezeigt, daß man mindestens eine 24 zur passenden
Symmetriebrechung der Georgi-Glashow-SU(5) braucht, da in den Darstellungen 5 und 10
kein vollständiges Singlet (1, 1, 0) der Standardmodellgruppe enthalten ist. In der Flipped SU(5)
ist ein solches Singlet offensichtlich in der (10, 1) enthalten, da sich in dieser Darstellung das
rechtshändige Neutrino befindet. Deswegen ist es in der Flipped SU(5) möglich, die Brechung
zum Standardmodell mit Higgs in der 10 ⊕ 10 ¯ zu erreichen. Die konjugierte 10 wird dabei zur
Kürzung der Anomalien benötigt, ganz analog zum zweiten Higgs-Doublet im Mssm. Die beiden
Higgs-Multipletts seien also H ≡ (10, 1) und ¯H ≡ ( 10, ¯ −1). Da wir sie noch oft benötigen, schreiben
wir H explizit hin. Wir wählen dazu dieselben Bezeichnungen wie beim Multiplett F mit dem
zusätzlichen Index H. Beim Multiplett ¯H ist dies entsprechend der Index ¯H.
⎛
⎞
0 d c H3 −d c H2 d H1 u H1
−d c H3 0 d c H1 d H2 u H2
H ≡ (10, 1) =
⎜ d c H2 −d c H1 0 d H3 u H3
⎟
(2.28)
⎝−d H1 −d H2 −d H3 0 νH
c ⎠
−u H1 −u H2 −u H3 −νH c 0
Wie wir in Kürze sehen werden, ermöglicht diese Wahl der Higgs-Multipletts insbesondere eine
sehr elegante Form des Missing-Partner-Mechanismus. Im Rahmen der Superstringtheorie hat der
Verzicht auf die adjungierte Darstellung noch einen weiteren Vorteil. Superstringtheorien lassen
sich nur in 10 Raumzeit-Dimensionen konsistent formulieren. Da wir nur 4 Raumzeit-Dimensionen
beobachten, macht man die Annahme, daß die restlichen 6 Dimensionen aufgerollt“ oder kompaktifiziert
seien. In der einfachsten sogenannten Level I Kompaktifizierung treten nun keine Teilchen
”
in der adjungierten Darstellung auf. Mit der Eichgruppe SU(5) hat man speziell nur die 1, 5, ¯5,
10 und 10 ¯ zur Verfügung. Im Gegensatz zur Georgi-Glashow-SU(5) kommt man bei der Flipped
SU(5) mit diesen Darstellungen aus. Deswegen ist es möglich, Flipped SU(5)-Modelle aus Superstringtheorien
bereits mit der Level I Kompaktifizierung zu erhalten [12]. Andererseits werden wir
in Abschnitt 2.5 sehen, daß man statt des Higgs-Mechanismus auch die Kompaktifizierung von
Extra-Dimensionen zur Symmetriebrechung nutzen kann. Insofern kann man auch bei der SU(5)
auf die adjungierte Darstellung verzichten.
Die elektroschwachen Higgs sind wieder in einer 5 und einer ¯5 der SU(5) untergebracht. Unter der
zusätzlichen U(1) tragen sie aber die Ladung −2 bzw. 2 (wohingegen das Multiplett ¯f die Ladung

−3 hat). Nur so sind die relevanten Yukawa-Kopplungen im Superpotential erlaubt, wie wir bald
sehen. Die Farb-Triplets haben andere Hyperladungen als im Fall der Georgi-Glashow-SU(5), wir
wählen für sie dennoch dieselben Bezeichnungen. Damit ist:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
D 1
¯D 1
D 2
¯D 2
h ≡ (5, −2) = ⎜ ⎟ ¯h ≡ (¯5, 2) = ⎜ ⎟
(2.29)
⎜
⎝
D 3
h − d
h 0 d
⎟
⎠
⎜
¯D 3 ⎟
⎝h + ⎠
u
h 0 u
Als nächsten Schritt brauchen wir das Superpotential. Analog zur Georgi-Glashow-SU(5) ((2.14)
und (2.17)) werden die Yukawa-Kopplungen durch folgende Terme gegeben:
W ⊃ λ ij
d F i F j h + λ ij
u F i ¯f
j¯h + λ
ij
e e ci ¯f j h (2.30)
Im Gegensatz zum letzten Abschnitt bestimmt der Term F F h nun die Massen der d, s, und b,
wohingegen der Term F ¯f¯h die Massen der u, c und t sowie der Neutrinos bestimmt. Die letzteren
erhalten also eine Dirac-Masse in der Größenordnung der anderen Massen und es bedarf des
Seesaw-Mechanismus, um die Masse der linkshändigen Neutrinos auf das beobachtete Niveau zu
senken. Wir kommen darauf gleich noch zu sprechen. Der Term e ci ¯f j h schließlich bestimmt die
Masse der e, µ und τ. Alle diese Terme sind wieder in Anhang C explizit angegeben.
Da die Yukawa-Matrix λ d nun die Massen der Teilchen u, c und t sowie der Neutrinos bestimmt,
ändern sich auch die Beziehungen (2.15) aus dem letzten Abschnitt in
λ mu = λ mν e
λ mc = λ mν µ
(2.31)
λ mt = λ mντ
auf der Vereinheitlichungsskala. Damit ändert sich die problematische Relation m d
m s
= m e
m µ
aus dem
letzten Abschnitt in m u
m c
= mν e
m νµ
. Dies stellt kein Problem mehr dar, da m νe und m νµ die Dirac-
Massen der Neutrinos sind und wir die Masse des linkshändigen Neutrinos ohnehin mit dem
Seesaw-Mechanismus senken müssen. Die Flipped SU(5) hat also eine einfache Lösung für dieses
Problem der Georgi-Glashow-SU(5).
Noch eleganter ist allerdings die Form des Doublet/Triplet-Splittings, auf die wir nun zu sprechen
kommen. Dazu schreiben wir die folgenden Terme in das Superpotential:
W ⊃ λ H HH h + λ ¯H ¯H ¯H ¯h (2.32)
Auch diese Terme werden in Anhang C ausgerechnet. Das Ergebnis lautet:
λ H HH h = 8 λ H [D i d c Hi ν c H + ɛ ijk D i u Hj d Hk − h − d dc Hi u Hi + h 0 d d c Hi d Hi ]
λ ¯H ¯H ¯H ¯h = 8 λ ¯H [ ¯D i d c¯Hi ν c¯H + ɛ ijk ¯Di u ¯Hj d ¯Hk − h − u d c¯Hi u ¯Hi + h 0 u d c¯Hi d ¯Hi ]
(2.33)
Die Indizes i, j, k sind Farbindizes und es gilt die Summenkonvention. Da die ν c H und νc¯H Singlets
(1, 1, 0) bezüglich der Standardmodellgruppe sind, können nur sie zur spontanen Symmetriebrechung
einen Vakuumerwartungswert annehmen. Man hat anschließend insbesondere die Terme:
λ H HH h ⊃ 8 λ H D i d c Hi 〈ν c H〉
λ ¯H ¯H ¯H ¯h ⊃ 8 λ ¯H ¯Di d c¯Hi 〈ν c¯H〉
(2.34)
Dies führt in der Lagrangedichte zu
L ⊃ −m 2 H |D i | 2 − m 2 H |d c Hi| 2 − m 2¯H | ¯D i | 2 − m 2¯H |d c¯Hi | 2
− [ m H Ψ Di Ψ d c
Hi
+ m ¯H Ψ ¯Di Ψ d c¯Hi
+ h.c. ] (2.35)

mit m H = 8 λ H 〈ν c H 〉 und m ¯H = 8 λ ¯H 〈ν c¯H〉. Man sieht, daß insbesondere die skalaren Farb-Triplets
D i und ¯D i sehr große Massen erhalten, da 〈ν c H 〉 und 〈νc¯H〉 von der Ordnung 10 16 GeV sind. Außerdem
paaren die elektroschwachen Higgsinos Ψ Di und Ψ ¯Di mit den Ψ d c
Hi
bzw. Ψ d c¯Hi
zu sehr
schweren Dirac-Teilchen. Die skalaren und fermionischen Superpartner in den Higgs-Doublets des
Mssm bleiben dagegen masselos, weil sie im Superpotential (2.33) keine Beiträge proportional dem
ν c H oder νc¯H haben. Insbesondere gibt es für die elektroschwachen Higgsinos in den Doublets keinen
Partner, mit dem sie ein massives Dirac-Teilchen bilden könnten. Deswegen nennt man diese Art
des Doublet/Triplet-Splittings auch Missing-Partner-Mechanismus.
Im Gegensatz zur Georgi-Glashow-SU(5) ist hier kein Fine-Tuning erforderlich. Zwar gibt es auch
in der Georgi-Glashow-SU(5) einen Missing-Partner-Mechanismus, bei dem man ohne Fine-Tuning
auskommt. Wie bereits erwähnt wurde, erfordert dieser aber die Einführung von Higgs in der
75, 50 und ¯50. In der Flipped SU(5) kommt man dagegen mit den ohnehin benötigten Higgs-
Multipletts aus. Die relevanten Terme (2.32) sind durch die Eichsymmetrie erlaubt und sollten
deswegen auch auftreten. Außerdem geben sie auch den d c Hi und den dc¯Hi sowie ihren fermionischen
Superpartnern sehr schwere Massen. Wie wir in Kürze bei der Besprechung der spontanen
Symmetriebrechung der Flipped SU(5) sehen, sind dies die einzigen Beiträge zu den Massen dieser
Teilchen. Auch deswegen braucht man die Terme (2.32). Diese Doppelfunktion macht den Missing-
Partner-Mechanismus in der Flipped SU(5) besonders elegant.
Schließlich bleiben noch die Terme im Superpotential zu besprechen, die für die spontane Symmetriebrechung,
den µ-Term sowie den Seesaw-Mechanismus verantwortlich sind. Wir beschreiben
hier zunächst das entsprechende Superpotential aus dem ersten vollständigen supersymmetrischen
Modell[13], weil es einige schöne Eigenschaften hat und uns auch für die weitere Diskussion nützlich
sein wird. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit weichen wir aber davon ab, aus Gründen die wir
gleich erläutern. Für dieses Modell brauchen wir zusätzlich vier Singlets der Flipped SU(5), die
wir mit φ i für i = 0, 1, 2, 3 bezeichnen. Das Superpotential enthält dann zusätzlich zu den oben
besprochenen noch die folgenden Terme:
W ⊃ λ N F i ¯Hφ j + λ i µ¯hhφ i + λ ijk
φ φi φ j φ k (2.36)
Das Superpotential mit den Teilen (2.30), (2.32) und (2.36) ist das allgemeinste trilinearer Kopplungen,
wenn man die zusätzliche Z 2 -Symmetrie H → −H fordert. Diese verbietet die Terme
F Hh und H ¯f¯h, die eine zu große Quark-Higgsino- bzw. Lepton-Higgsino-Mischung hervorrufen
würden. Diese sowie andere möglicherweise gefährliche Terme, die erst auf nichtrenormierbarem
Niveau auftauchen, besprechen wir in Abschnitt 2.4 noch genauer.
Wie oben bereits erwähnt wurde, sind die ν c H und νc¯H aus den Higgs-Multipletts vollständige
Singlets bezüglich der Standardmodellgruppe. Die beiden Higgs-Multipletts müssen deswegen in
dieser Richtung ihren Vakuumerwartungswert annehmen. Nun kann man die Multipletts H und
¯H immer in diese Richtungen drehen [13]. In Anhang D.1 wird des weiteren gezeigt, daß in der
Richtung 〈ν c H 〉 = 〈νc¯H〉 die D-Term-Beiträge zum Skalarpotential verschwinden. Für die weitere
Diskussion werden wir uns auf diese Richtung beschränken. Darüberhinaus verschwinden für ν c H
und ν c¯H auch die F-Term-Beiträge zum Skalarpotential. Nun wird in [13] die Annahme gemacht,
daß Supersymmetrie dynamisch in der Nähe der Skala m G der Flipped SU(5) gebrochen werde
und außerdem, daß die beobachtbare Quelle dieser Brechung eine gleichförmige Gaugino-Masse
sei. Durch die zweite Annahme treten dann insbesondere keine Supersymmetrie-brechenden Skalarmassen
auf und das Potential bleibt in der Richtung 〈ν c H 〉 = 〈νc¯H〉 flach.
Die Form des Potentials wird deswegen durch Strahlungskorrekturen bestimmt, die mit der Coleman-
Weinberg-Formel berechnet werden können. Man findet, daß das effektive Potential zur Skala der
Supersymmetrie-Brechung hin steil abfällt. Gleichzeitig kann man annehmen, daß das Potential
oberhalb dieser Skala wieder flach wird, da dort die Supersymmetrie ungebrochen ist und das
Nichtrenormierungstheorem greift. Man erwartet deswegen ein Minimum im Potential für ν c H und
ν c¯H in der Nähe von m G und die beiden Felder sollten einen entsprechenden Vakuumerwartungswert
erhalten. Dies bricht die Flipped SU(5) zum Standardmodell.
Bekanntermaßen erzeugen die Terme der ”
soften“ Supersymmetrie-Brechung ein Potential, das
zur Brechung der elektroschwachen Gruppe führen kann. Eine genaue Analyse zeigt nun große

Bereiche im Parameterraum, in denen eins der vier Singlets φ i (oBdA φ 0 ) sowie die beiden elektroschwachen
Higgs-Doublets einen Vakuumerwartungswert in der Größe der elektroschwachen
Skala annehmen. Dies bricht die Gruppe SU(3) C × SU(2) L × U(1) Y zu SU(3) C × U(1) EM . Der
Vakuumerwartungswert des Singlets 〈φ 0 〉 sorgt insbesondere für einen µ-Term in der richtigen
Größenordnung: 〈φ 0 〉¯hh. Die anderen drei Singlets bleiben ohne Vakuumerwartungswert und ergeben
zusammen mit den Neutrinos über die Terme λ ij N F i ¯Hφ j , λ 0ij
φ
〈φ0 〉φ i φ j und λ ij
u F i ¯f j¯h einen
erweiterten Seesaw-Mechanismus:
⎛
0 λ
( )
ji
⎞ ⎛ ⎞
u O(m w ) 0 ν j
νi νi c φ i
⎝λ ij
u O(m w ) 0 λ ij N O(m G) ⎠ ⎝ν c ⎠
0 λ ji
N O(m G) λ 0ij
j
(2.37)
φ O(m w) φ j
Man erhält insbesondere drei leichte Eigenzustände ν i + O( m w
m G
)φ j mit Massen O( m3 w
).
m 2 G
Obwohl das Superpotential (2.36) interessante Eigenschaften hat, werden wir es nicht verwenden.
Wir wollen zum einen die sogenannte Hybrid-Inflation im Rahmen der Flipped SU(5) realisieren.
Was genau man darunter versteht, wird erst im nächsten Kapitel erklärt. Es sei aber bereits jetzt
erwähnt, daß man dazu den folgenden Term im Superpotential benötigt:
W ⊃ κ S( ¯HH + m 2 G) (2.38)
Dabei ist S ein neues Singlet, das sogenannte Inflaton. Dieses Superpotential führt am Ende
der Inflation zur spontanen Symmetriebrechung der Flipped SU(5). Deswegen benötigen wir den
obigen Mechanismus zur Symmetriebrechung durch Strahlungskorrekturen nicht mehr. Darüberhinaus
lässt sich der Seesaw-Mechanismus auch ohne zusätzliche Singlets realisieren, wenn man
den nichtrenormierbaren Term λij ν
M S
F i j ¯HF ¯H hinzunimmt, wobei MS den Cutoff bezeichne. Es gilt
nämlich:
λ ij
ν
F i j λ
¯HF ¯H ij
⊃ 4
ν
〈ν c¯H〉〈ν c¯H〉ν i c νj c (2.39)
M S M S
Daraus folgen in der Lagrangedichte sehr hohe Majorana-Massen für die rechtshändigen Neutrinos:
L ⊃ −4 λij ν
〈ν c¯H〉〈ν c¯H〉 Ψ ν c
M i
Ψ ν c
j
(2.40)
S
Zusammen mit den Dirac-Massen der Neutrinos funktioniert der Seesaw-Mechanismus dann wie
in Abschnitt 2.1 beschrieben. Schließlich schreiben wir auch den µ-Term explizit in das Superpotential:
µ¯hh mit µ = O(m w ). Die Größe des Parameters µ sollten wir noch begründen. Zusammen
mit den Teilen (2.30) und (2.32) haben wir folgendes Superpotential:
W = κ S( ¯HH + m 2 G) + λ ij
d F i F j h + λ ij
u F i ¯f
j¯h + λ
ij
e e ci ¯f j h
λ
+ λ H HH h + λ ¯H ¯H ¯H ¯h ij
+
ν
F i j ¯HF ¯H + µ¯hh (2.41)
M S
Viele weitere nichtrenormierbare Terme sind durch die Eichsymmetrie erlaubt, und man muß
zusätzliche Symmetrien finden, die das Superpotential auf die obige Form einschränken. Wir werden
diese Frage im nächsten Abschnitt genauer untersuchen und dort feststellen, daß es nicht
möglich ist, dies mit globalen Z n - und U(1)-Symmetrien zu erreichen. Dennoch werden wir insbesondere
bei der Diskussion der Baryogenese das obige Superpotential verwenden und die Frage
der zusätzlichen Symmetrien dann offenlassen.
Eine genaue Untersuchung der spontanen Symmetriebrechung befindet sich in Anhang D. Wir
geben hier nur die Ergebnisse wieder. Durch die spontane Symmetriebrechung werden die Eichbosonen
der Flipped SU(5) massiv, die den gebrochenen Generatoren (2.8) sowie einer U(1)-
Linearkombination entsprechen. Die Eichbosonen des Standardmodells, die bis auf eine U(1)-
Linearkombination den Generatoren (2.7) entsprechen, bleiben dagegen masselos. Die Massenterme
in der Lagrangedichte entstehen dabei durch die Kopplung der kovarianten Ableitung an die
Higgs-Multipletts. Von den 2·(10+10) = 40 reellen skalaren Komponenten der Higgs-Multipletts H

und ¯H werden 13 von den Eichbosonen gefressen. Weitere 13 erhalten durch die D-Term-Beiträge
zum Skalarpotential Massen von O(m G ). Die zu den massiven Eichbosonen gehörenden 13 Gauginos
kombinieren mit 13 Higgsinos aus den Multipletts H und ¯H zu sehr schweren Dirac-Teilchen.
Durch die F-Term-Beiträge der Terme (2.32) im Superpotential werden wie oben berechnet weitere
2 · 6 = 12 reelle skalare Komponenten der Higgs-Multipletts massiv. Außerdem kombinieren
6 Higgsinos mit den elektroschwachen Farb-Tripletts zu sehr schweren Dirac-Teilchen. Auch für
die spontane Symmetriebrechung benötigt man deswegen die Terme (2.32) im Superpotential.
Wie bereits angesprochen wurde, macht diese Doppelfunktion das Doublet/Triplet-Splitting in
der Flipped SU(5) so elegant.
Bis jetzt haben von den 10 + 10 = 20 Higgsinos aus den Multipletts H und ¯H 13 + 6 = 19 sehr
schwere Massen. Von den 40 reellen skalaren Komponenten sind es 13 + 12 = 25, die eine Masse
erhalten, und 13, die gefressen werden. Es bleiben also noch 1 Higgsino und 1 komplexes skalares
Higgs masselos. Da sie nicht beobachtet wurden, sollten auch diese Teilchen sehr hohe Massen erhalten.
Interessanterweise bewirkt dies der Hybrid-Inflations-Term (2.38): Das skalare Higgs und
das skalare Inflaton erhalten durch ihn Massenterme, wohingegen ihre fermionischen Superpartner
zu einem schweren Dirac-Teilchen kombinieren. Dies ist ein Grund, nicht die oben beschriebene
Symmetriebrechung durch Strahlungskorrekturen, sondern stattdessen die Hybrid-Inflation zu bevorzugen.
Zum Abschluß diese Abschnitts werfen wir erneut einen Blick auf experimentelle Daten, diesmal
zur Flipped SU(5). Wegen des sehr effektiven Doublet/Triplet-Splittings in der Flipped SU(5)
sind die Higgs- und Higgsino-vermittelten Protonenzerfälle mit 1/m 2 G bzw. µ/m2 G stark unterdrückt.
Dies kann man sich leicht überlegen, wenn man die betreffenden effektiven Operatoren
betrachtet. Insbesondere stammt der µ-Beitrag im Higgsino-Fall aus dem benötigten Übergang
Ψ D ↔ Ψ ¯D während des Zerfalls. Der hierfür relevante Term ist µ ¯h h. Andererseits erwartet man
eine etwas niedrigere Vereinheitlichungsskala als in der Georgi-Glashow-SU(5) [14]. In der Flipped
SU(5) wird diese nämlich durch den Treffpunkt der Eichkopplungen der SU(3) C und der SU(2) L
gegeben. Gleichheit aller drei Eichkopplungen (wie bei der SU(5) G−G ) sollte sich auf einer höheren
Skala ereignen, möglicherweise wenn die Flipped SU(5) in eine SO(10) übergeht. Aus diesen
Gründen wird in der Flipped SU(5) der durch Eichbosonen vermittelte Protonenzerfall wieder
relevant. Eine genaue Untersuchung zeigt [9], daß die vorhergesagten Zerfallsraten des Protons in
einem experimentell bald zugänglichen Bereich liegen, die Flipped SU(5) mit den jetzigen Daten
aber nicht in Widerspruch liegt.
Wie gerade angesprochen wurde, sind auf der Vereinheitlichungsskala a priori nur die Kopplungskonstanten
der SU(3) C und SU(2) L gleich. Der Weinberg-Winkel auf der Gut-Skala läßt sich
deswegen nicht wie in der Georgi-Glashow-SU(5) ohne Kenntnis der Eichkopplungen auf der Skala
m w vorhersagen. Allerdings kann man ähnlich wie in der Georgi-Glashow-SU(5) aus den experimentellen
Daten von α EM (m w ) und sin 2 θ w (m w ) eine Vorhersage für α s (m w ) erhalten. Eine
genaue Analyse zeigt [14], daß sich die Vorhersage im Vergleich zur SU(5) G−G verbessert und nicht
mehr am Rande des Fehlerintervalls liegt. Auch hier bevorzugt das Experiment also die Flipped
SU(5).
2.4 Zusätzliche Symmetrien
Wie in Abschnitt 2.1 erwähnt wurde, generiert Supersymmetrie eine Fülle neuer Terme in der
Lagrangedichte. Dies führt bereits im Mssm zu expliziten B- und L-verletzenden Termen. Glücklicherweise
werden diese durch eine einfache Z 2 -Symmetrie, die sogenannte Matter-Parität, verboten.
Die zugehörige Quantenzahl für ein einzelnes Feld ist gegeben durch:
P M = (−1) 3(B−L) (2.42)
Es sind dann nur die Terme im Superpotential erlaubt, deren Produkt aus P M -Quantenzahlen der
einzelnen Felder positiv ist. In einer Gut erwartet man entsprechende B- und L-verletzende Kopplungen.
Zusätzliche B- und L-verletzende Beiträge gibt es, wenn man nichtrenormierbare Terme

zulässt. Diese sowie andere unerwünschte Terme im Superpotential besprechen wir im folgenden
für die Flipped SU(5). Zusätzlich zu (2.41) sind folgende renormierbare Terme im Superpotential
erlaubt:
(a)
(b)
F Hh
H ¯f¯h
(c) ¯HH
(e) S 3
(d) S 2 (f) S¯hh
(g)
(h)
F ¯H
SF ¯H
Die Kopplungskonstanten lassen wir fort, sie müssen aber die passende Massendimension haben.
Außerdem lassen wir die Familienindizes weg. Wie im letzten Abschnitt bereits angesprochen
wurde, führen die Terme (a) F Hh ⊃ 8 〈νH c 〉 dc D und (b) H ¯f¯h ⊃ 〈νH c 〉 ν h0 u−〈νH c 〉 e h+ u zu inakzeptabel
großer Higgsino-Quark- bzw. Higgsino-Lepton-Mischung. Der erste Term würde insbesondere
zu neuen B- und L-verletzenden effektiven Kopplungen führen, mit den Higgsinos Ψ D und Ψ ¯D als
Austauschteilchen. Der zweite Term würde außerdem das elektroschwache Higgs-Doublet um einiges
zu schwer machen. Entsprechend kann der Term (g) F ¯H = 2 ( d c i dc¯Hi +d i d ¯Hi +u i u ¯Hi +ν c ν c¯H )
bei einer großen massenbehafteten Kopplungskonstante zu inakzeptabel großer Mischung zwischen
Standardmodellteilchen und Gut-Higgsinos führen. In Abschnitt 3.2 wird sich darüberhinaus herausstellen,
daß die Terme (c), (d) und (e) zumindest stark zu unterdrücken sind, um die Inflation
zu realisieren und mit den Meßdaten verträglich zu machen.
Die Terme (a), (b) und (c) lassen sich zwar mit der Symmetrie H → −H verbieten, doch ist
dann auch der Term S ¯HH aus (2.41) nicht mehr erlaubt. Fordert man dagegen Symmetrie unter
S, H → −S, −H, so ist der Term Sm 2 G verboten. Stattdessen kann man auch die Symmetrie
¯H, H → − ¯H, −H einführen, die aber den Term (c) nicht verbietet. In der Literatur verwendet man
oft eine U(1) R -Symmetrie (siehe beispielsweise [18]), um die Terme (c), (d) und (e) zu verbieten.
Hat ein Multiplett M bezüglich dieser Symmetrie die Ladung n, so transformieren die skalaren
Superpartner im Multiplett gemäß:
M −→ e inα M (2.43)
Die fermionischen Superpartner dagegen transformieren mit einem zusätzlichen Faktor e −iα . Damit
die Lagrangedichte neutral unter der U(1) R ist, muß das Superpotential gemäß
W −→ e 2iα W (2.44)
transformieren. Ein Term im Superpotential ist gemäß (2.44) nur dann durch die U(1) R -Symmetrie
erlaubt, wenn der Term als Funktion der skalaren Felder aufgefasst die Gesamtladung 2 trägt. Wir
untersuchen im folgenden, welche Terme aus (2.41) durch eine U(1) R -Symmetrie erlaubt sind und
bezeichnen die Ladung der skalaren Superpartner in einem Multiplett M mit dem Symbol des
Multipletts selbst. Wählt man S = 2 sowie ¯H = −H, so ist der Term S( ¯HH + m 2 G ) mit der
Ladung 2 erlaubt. Die Terme (c), (d) und (e) sind dagegen verboten, da sie die Ladungen 0, 4 und
6 tragen. Die Terme HHh und ¯H ¯H¯h sind erlaubt, wenn gilt:
2 · H + h = 2
2 · ¯H + ¯h = 2
(2.45)
Da wir ¯H = −H angenommen haben, folgt daraus ¯h + h = 4. Der Term µ¯hh aus (2.41) ist also
durch eine U(1) R -Symmetrie verboten, wenn man die Terme S( ¯HH + m 2 G ), HHh und ¯H ¯H¯h
zulassen will. Die letzten beiden Terme führen zum Doublet/Triplet-Splitting, eine der interessantesten
Eigenschaften der Flipped SU(5). Eher kann man auf den Term µ¯hh verzichten und ihn
beispielsweise durch φ¯hh ersetzen, wenn das Singlet φ durch einen geeigneten Mechanismus einen
Vakuumerwartungswert 〈φ〉 = O(m w ) erhält. Der Term F F h ist im Superpotential erlaubt, wenn
gilt:
2 · F + h = 2 (2.46)
Mit ¯h+h = 4 folgt, wenn man (2.46) sowie die zweite Bedingung aus (2.45) addiert, die Beziehung
2 · F + 2 · ¯H = 0. Der Term F ¯HF ¯H, der zu den Majorana-Massen der rechtshändigen Neutrinos
führt, ist also auch durch eine U(1) R -Symmetrie verboten, wenn man zusätzlich zu den oberen

Termen auch F F h zulassen will. Da man auf diesen Term sicher nicht verzichten kann, sollte man
einen anderen Mechanismus suchen, der die linkshändigen Neutrinos leicht macht. Die beiden noch
nicht angesprochenen Terme aus (2.41) bleiben zusätzlich zu S( ¯HH +m 2 G ), HHh, ¯H ¯H¯h und F F h
erlaubt, wenn man z. B. eine der beiden folgenden Ladungszuweisungen wählt:
S = 2 ¯H = 0 H = 0 ¯h = 2 h = 2 F = 0 ¯f = 0 e c = 0
oder
S = 2 ¯H = −1 H = 1 ¯h = 4 h = 0 F = 1 ¯f = −3 e c = 5
(2.47)
Macht man außerdem die Zuordnungen φ 0 = −2 und φ i = 2 für i = 1, 2, 3 für die U(1) R -Ladungen
der Singlets aus (2.36), so sind auch die Terme F ¯Hφ i , φ 0 φ i φ j und φ 0¯hh aus (2.36) erlaubt. Erhält
das Singlet φ 0 nun einen Vakuumerwartungswert von der Ordnung m w , so hat man einen µ-Term
in der richtigen Größenordnung sowie mit dem Seesaw-Mechanismus aus (2.37) kleine Majorana-
Massen für die linkshändigen Neutrinos. Dennoch ist es a priori nicht klar, ob das Singlet φ 0 mit
dem im Vergleich zu (2.36) reduzierten Superpotential einen geeigneten Vakuumerwartungswert
annimmt. In jedem Fall sind die Massen der linkshändigen Neutrinos mit m 3 w/m 2 G ∼ 10−14 eV
deutlich kleiner, als die Meßdaten zu den Neutrinooszillationen andeuten.
Statt einer U(1) R kann man auch versuchen, eine Z n R-Symmetrie zu verwenden. Unter dieser
transformieren die skalaren Superpartner in einem Multiplett M mit einer Ladung m gemäß:
M −→ e 2πi m n M (2.48)
Die fermionischen Superpartner aus M transformieren entsprechend mit einem zusätzlichen Faktor
e − 2πi
n . Eine neutrale Lagrangedichte erhält man dann, wenn das Superpotential gemäß
W −→ e 4πi
n W (2.49)
transformiert. Folglich ist ein Term im Superpotential erlaubt, wenn die Gesamtladung modulo
n des Terms, als Funktion der skalaren Felder aufgefasst, 2 beträgt. Wieder bezeichnen wir die
Ladung der skalaren Superpartner eines Multipletts mit dem Symbol des Multipletts selbst. Sollen
die Terme S( ¯HH + m 2 G ), ¯H ¯H¯h und HHh durch die Zn R-Symmetrie erlaubt sein, so muß gelten:
(S ≡ 2) mod n
( ¯H + H ≡ 0) mod n
(2 · ¯H + ¯h ≡ 2) mod n
(2 · H + h ≡ 2) mod n
(2.50)
Addiert man die dritte und vierte Gleichung und benutzt die zweite Bedingung, so folgt (¯h + h ≡
4) mod n. Für n ≠ 2 ist der Term ¯hh damit verboten. Aus der Forderung, daß die Terme c, d und
e durch die Z n R-Symmetrie verboten sein sollen, folgen andererseits die Bedingungen:
(2 · S ≡/ 2) mod n
(3 · S ≡/ 2) mod n
( ¯H + H ≡/ 2) mod n
(2.51)
Dies schliesst die Fälle n = 2 und n = 4 aus. Der Term F F h ist erlaubt, wenn gilt:
(2 · F + h ≡ 2) mod n (2.52)
Addiert man diese Gleichung mit der dritten Gleichung aus (2.50) und benutzt (¯h+h ≡ 4) mod n,
so folgt (2 · F + 2 · ¯H ≡ 0) mod n. Dies verbietet den Term F ¯HF ¯H für n ≠ 2. Die Situation mit
der Z n R-Symmetrie ist also eine ähnliche wie mit der U(1) R .
Lassen sich die durch die Eichsymmetrie erlaubten renormierbaren Terme noch gut systematisch
von Hand gewinnen, so bemüht man für die nichtrenormierbaren besser einen Computer. Kombinationen
der Multipletts sind eichinvariant, wenn sich alle oberen mit unteren Indizes oder fünf obere

oder untere Indizes mit dem ɛ-Tensor kontrahieren lassen 9 . Zusätzlich muß natürlich die Summe
der Ladungen bezüglich der U(1) aus der Flipped SU(5) verschwinden. Man findet folgende Terme
vierter Ordnung in den Feldern (den erwünschten Term F ¯HF ¯H lassen wir weg):
(A) HF F ¯f
(E) HHF ¯f
(I) ¯H ¯f¯h¯h
(M) ¯HH¯hh
(D) F ¯f ¯fe c (H) ¯HH ¯HF (L) ¯HH ¯HH
(B)
c
H ¯f ¯fe (F)
c ¯H ¯H ¯fe (J) ¯HF ¯hh
(N) ¯hh¯hh
(C) F F F ¯f
(G) HHH ¯f (K)
c ¯Hhhe
Zusätzlich gibt es noch zahlreiche Terme, die das Singlet S beinhalten. Wieder lassen wir
1
Kopplungskonstanten und Familienindizes weg. Alle Terme sind mit
M S
unterdrückt, wobei M S
den Cutoff bezeichne. Wie zuvor nehmen wir M S ∼ 50 m G an. Die Kontraktion der SU(5)-Indizes
ist nicht immer eindeutig. So lässt sich der Term (A) auf die folgenden zwei Arten auffassen (die
griechischen Buchstaben bezeichnen SU(5)-Indizes und laufen von 1 bis 5):
ɛ αβγδµ ν
H αβ F γδ F µν ¯f und ɛ αβγδµ ν
F αβ F γδ H µν ¯f
Dies führt insbesondere zu folgenden Termen im Superpotential:
(2.53)
W ⊃ ∝ 〈νc H 〉
M S
(νdd c + eud c ) und W ⊃ ∝ 〈νc H 〉
M S
u c d c d c (2.54)
Die Kopplungskonsante des ersten Terms bezeichnet man in der Literatur auch mit λ ′ , die des
zweiten Terms mit λ ′′ . Die Terme sind offensichtlich B- und L-verletzend. Dazu sind sie kaum
unterdrückt, da 〈νc H 〉
M S
∼ 1 50
. Der Term (B) ist eindeutig und enthält insbesondere den folgenden
L-verletzenden Beitrag, der wiederum nur mit ∼ 1 50
unterdrückt ist:
W ⊃ ∝ 〈νc H 〉
M S
ν e e c (2.55)
Die Kopplungskonstante dieses Terms bezeichnet man in der Literatur auch mit λ. Es handelt sich
bei den Beiträgen (2.54) und (2.55) um dieselben, die schon im Mssm zu B- und L-Verletzung
führen, wenn man sie nicht mit der Matter-Parität verbietet. Man prüft leicht nach, daß sich (2.54)
und (2.55) tatsächlich mit der Matter-Parität verbieten lassen, wenn man den Flipped SU(5)-Higgs
P M = 1 zuordnet. Für die R-verletzenden Kopplungen 10 λ, λ ′ und λ ′′ gibt es aus verschiedenen
Meßdaten (insbesondere dem Protonenzerfall in verschiedene Kanäle) strenge Grenzen (siehe beispielsweise
[15]). Will man keine Matter-Parität einführen, so muß man diese Kopplungen zumindest
stark unterdrücken. Wir werden am Ende dieses Abschnitts eine Möglichkeit erwähnen, eine
solche Unterdrückung zu erreichen.
Die Terme (C) und (D) lassen sich nicht mit der Matter-Parität verbieten. Sie führen zu folgenden
B- und L-verletzenden Beiträgen im Superpotential:
W ⊃ ∼ λ 1
M S
(u d d ν + u u d e + u c d c d c ν c ) und W ⊃ ∼ λ 2
M S
(u c u c d c e c ) (2.56)
1
Obwohl diese Terme mit
M S
stark unterdrückt sind, setzen Meßdaten zu Baryonen-Zerfällen strenge
Grenzen für die Yukawa-Kopplungen λ 1 und λ 2 . So braucht man insbesondere λ 1 < 10 −7 für
Operatoren mit leichten Quarks [15]. Wir versuchen nun eine Symmetrie zu finden, die diese Terme
verbietet, alle Terme aus (2.41) dagegen erlaubt. Wie wir gerade gesehen haben, verbieten globale
U(1) R - und Z n R-Symmetrien immer einige der erwünschten Terme aus (2.41). Wir versuchen es
9 Man erinnere sich: Multipletts in den Darstellungen 5 und 10 tragen einen bzw. zwei untere Indizes, diejenigen
in den dazugehörigen komplex konjugierten Darstellungen tragen die entsprechende Zahl oberer Indizes.
10 R-Parität ist eine Umformulierung der Matter-Parität. In der Literatur ist der Begriff ”
R-verletzende Kopplung“
für Kopplungen üblich, die sich durch die R- bzw. Matter-Parität verbieten lassen.

deswegen mit einer globalen U(1)-Symmetrie und fordern, daß alle Terme aus (2.41) erlaubt seien.
Dies führt zu folgender Liste an Bedingungen:
S = 0 (2.57)
H + ¯H = 0 (2.58)
2 · F + h = 0 (2.59)
F + ¯f + ¯h = 0 (2.60)
e c + ¯f + h = 0 (2.61)
2 · ¯H + ¯h = 0 (2.62)
2 · H + h = 0 (2.63)
2 · F + 2 · ¯H = 0 (2.64)
¯h + h = 0 (2.65)
Addiert man (2.59) und (2.60), so folgt mit (2.65) ¯f = −3·F und damit aus (2.60) ¯h = −h = 2·F .
Aus (2.64) folgt mit (2.58) H = − ¯H = F . Schließlich folgt mit dem bisher hergeleiteten aus (2.61)
e c = 5 · F . Wählt man oBdA F = 1, so folgen die Ladungszuweisungen:
F = 1 ¯f = −3 e c = 5 ¯h = 2 h = −2 ¯H = −1 H = 1 S = 0 (2.66)
Dies sind gerade die Ladungszuweisungen der äußeren U(1) der Flipped SU(5). Diese aber erlaubt
die Terme, die wir verbieten wollen, so daß eine globale U(1) nicht weiterhilft. Stattdessen kann
man versuchen, eine Z n -Symmetrie zu verwenden. Ein Multiplett M mit der Ladung m verhält
sich unter einer Z n -Transformation folgendermaßen:
M −→ e 2πi m n M (2.67)
Aus der Forderung, daß die Terme ¯hh, F ¯f¯h und F F h im Superpotential erlaubt sind, folgt als
Bedingung an die Ladungen der Multipletts:
(¯h + h ≡ 0) mod n
(F + ¯f + ¯h ≡ 0) mod n
(2 · F + h ≡ 0) mod n
(2.68)
Addiert man die letzten beiden Bedingungen, so folgt (3 · F + ¯f + ¯h + h ≡ 0) mod n und daraus
mit der ersten Bedingung (3 · F + ¯f ≡ 0) mod n. Will man also die drei Terme ¯hh, F ¯f¯h und
F F h durch die Z n -Symmetrie nicht verbieten, so ist auch der Term F F F ¯f erlaubt. Wie oben
bereits angesprochen wurde, sollte man die Terme F ¯f¯h, F F h, e c ¯fh, HHh und ¯H ¯H¯h in jedem
Fall zulassen, da sie wichtige phänomenologische Aufgaben erfüllen und sich auch kein adäquater
Ersatz finden lässt. Stattdessen kann man wieder den µ¯hh durch den Term φ¯hh ersetzen, wenn das
Feld φ durch einen geeigneten Mechanismus einen Vakuumerwartungswert von der Ordnung m w
erhält. Will man weiterhin den Term F ¯HF ¯H für Majorana-Massen der rechtshändigen Neutrinos
erlauben, so folgt die Bedingung:
(2 · F + 2 · ¯H ≡ 0) mod n (2.69)
Zusätzlich muß folgende Bedingung erfüllt sein, wenn der Term ¯H ¯H¯h erlaubt sein soll:
(2 · ¯H + ¯h ≡ 0) mod n (2.70)
Aus (2.69) und (2.70) folgt (2 · F − ¯h ≡ 0) mod n und daraus mit der zweiten Bedingung aus
(2.68) wiederum (3 · F + ¯f ≡ 0) mod n. Schließlich kann man auch den Term F ¯HF ¯H verbieten
und einen anderen Mechanismus zur Generierung leichter Neutrino-Massen benutzen. Will man
dennoch den Term S( ¯HH + m 2 G ) behalten, so ist zunächst (S ≡ 0) mod n und daraus folgend
( ¯H + H ≡ 0) mod n. (2.71)

Aus (2.70) und der entsprechenden Bedingung für den Term HHh folgt (2·( ¯H+H)+¯h+h) mod n =
0 und daraus mit (2.71) (¯h + h ≡ 0) mod n. Dies ist wieder dieselbe Situation wie in (2.68) und
erneut lässt sich der Term F F F ¯f nicht verbieten.
Entsprechende Betrachtungen kann man für den Term F ¯f ¯fe c anstellen. So folgt aus der Forderung,
daß die Terme ¯hh, F ¯f¯h und e c ¯fh im Superpotential vorkommen:
(¯h + h ≡ 0) mod n
(F + ¯f + ¯h ≡ 0) mod n
(e c + ¯f + h ≡ 0) mod n
(2.72)
Aus der zweiten und dritten Bedingung folgt (F +2· ¯f + e c + ¯h + h ≡ 0) mod n und daraus mit der
ersten Bedingung (F + 2 · ¯f + e c c
≡ 0) mod n. Analog kann man zeigen, daß sich der Term F ¯f ¯fe
auch nicht verbieten lässt, wenn man einen der Terme F ¯HF ¯H und S( ¯HH + m 2 G ) zulassen will.
Wir betrachten nun die restlichen Terme (E) bis (N). Der Term (E) lässt sich wiederum auf zwei
Arten auffassen:
ɛ αβγδµ ν
H αβ H γδ F µν ¯f und ɛ αβγδµ ν
F αβ H γδ H µν ¯f (2.73)
Dies führt zu folgenden dominanten Beiträgen im Superpotential:
W ⊃ ∼ 〈νc H 〉 (d c
M
Hu c d c + d c Hν d + d c He u)+ ∼ 〈νc H 〉 (u c d c d c H + ν d c d H + ν d d c H + e d c u H + e u d c
S M
H)
S
(2.74)
Zerfälle über diese Kopplungen beinhalten immer ein Teilchen aus dem Multiplett H mit sehr
großer Masse. Deswegen ist der Beitrag (E) weniger kritisch als die zuvor besprochenen. Dasselbe
(mit einem Teilchen aus ¯H statt aus H) gilt für den Term (F), der zu folgendem dominanten
Beitrag führt:
W ⊃ ∼ 〈νc¯H〉
M S
e c u c d c¯H (2.75)
Noch unkritischer ist der Term (G), da er immer zwei sehr schwere Teilchen aus dem Multiplett
H enthält. Die dominanten Beiträge des Terms (G) zum Superpotential lauten:
W ⊃ ∼ 〈νc H 〉
M S
( d c Hd c Hu c + d c Hd H ν + d c Hu H e ) (2.76)
Da die Farb-Triplets aus ¯h durch den Missing-Partner-Mechanismus sehr schwere Massen bekommen,
gilt dasselbe auch für den Term (I), dessen dominanter Beitrag folgendermaßen lautet:
W ⊃ ∼ 〈νc¯H〉
M S
u c ¯D ¯D (2.77)
Weitere Beiträge enthalten neben einem Feld aus ¯f sowie den Felder h 0 d und h− d
immer auch
ein Feld aus ¯H 1
und sind außerdem mit
M S
unterdrückt. Der Term (H) führt insbesondere zu
folgendem Beitrag im Superpotential und hat damit ähnliche phänomenologische Konsequenzen
wie der bereits besprochene Term (g):
Die Terme (J) und (K) haben die folgenden dominanten Beiträge:
W ⊃ 2 〈νc H 〉〈νc¯H〉
M S
F ¯H (2.78)
W ⊃ ∼ 〈νc¯H〉
M S
( ν c h + u h − d + νc h 0 u h 0 d )+ ∼ 〈νc¯H〉
M S
e c h 0 d h − d
(2.79)
Schließlich führen die Terme (L), (M) und (N) nach der Symmetriebrechung der Flipped SU(5)
und der elektroschwachen Symmetriebrechung zu Beiträgen zu den Termen ¯HH und ¯hh. Besonders
relevant sind die Beiträge
¯HH¯hh ⊃ 2 〈νc¯H〉〈ν c H 〉
M S
¯hh und ¯HH ¯HH ⊃ 2
〈ν c¯H〉〈ν c H 〉
M S
¯HH (2.80)

zum µ-Term bzw. zum Term (c). Ein zu großer µ-Term würde das elektroschwache Higgs zu
schwer machen, wohingegen der Term (c) problematisch bei der Realisierung der Hybrid-Inflation
sein kann.
Wir haben somit gesehen, daß zahlreiche Terme im Superpotential durch die Eichsymmetrie erlaubt
sind, die von der Phänomenologie her nicht zulässig sind. Dies gilt bereits auf renormierbarem
Niveau, umso mehr aber, wenn man nichtrenormierbare Terme zulässt. Darüberhinaus gelingt es
nicht, diese Terme mit globalen Z n und U(1)-Symmetrien (und entsprechenden R-Symmetrien)
zu verbieten und gleichzeitig alle Terme aus (2.41) zu erlauben. Insbesondere stößt man immer
wieder auf Schwierigkeiten im Zusammenhang mit den Termen S( ¯HH + m 2 G ), F ¯HF ¯H und µ¯hh.
Dies kann ein Argument sein, stattdessen den Teil (2.36) des Superpotentials und den dort beschriebenen
Mechanismus zur Symmetriebrechung durch Strahlungskorrekturen zu bevorzugen.
Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet möglicherweise eine anomale U(1)-Familiensymmetrie.
Die aus Stringtheorien konstruierten Flipped SU(5)-Modelle [12] enthalten neben der SU(5)×U(1)
und einer Eichgruppe im verborgenen Sektor auch mehrerere geeichte U(1)-Faktoren, von denen eine
Linearkombination U(1) A Anomalien trägt. Der sogenannte Green-Schwarz-Mechanismus kann
diese Anomalien kürzen, generiert aber einen Fayet-Iliopoulos-Term, der Supersymmetrie brechen
würde. Dies kann vermieden werden, wenn eines oder mehrere der unter U(1) A geladenen skalaren
Felder einen Vakuumerwartungswert annehmen, so daß der Fayet-Iliopoulos-Term weggekürzt
wird.
Diesen Umstand kann man nutzen, um die Hierarchie in den Massenmatrizen der Standardmodellteilchen
zu erklären. Dazu nehmen wir an, es gebe zwei Felder φ und ¯φ mit Ladung 1 bzw.
−1 unter der U(1) A , die einen Vakuumerwartungswert annehmen. Diese Vakkumerwartungswerte
liegen natürlicherweise eine Größenordnung unter der Stringskala M S , mit der auch nichtrenormierbare
Terme unterdrückt werden. Trägt nun ein Term T im Superpotential die Ladung n unter
der U(1) A , wobei n positiv und ganzzahlig sei, und ist damit auf Tree-Level verboten, so ist die
folgende Kombination erlaubt:
W ⊃
( ¯φ
M S
) n
T ≈ 10 −n · T (2.81)
Entsprechend ist ein Term mit Ladung −n erlaubt, wenn statt ¯φ das Feld φ auftritt. Indem man
nun den einzelnen Generationen des Standardmodells unterschiedliche Ladungen unter der U(1) A
gibt, werden die für die Massen verantwortlichen Yukawa-Kopplungen unterschiedlich stark unterdrückt.
Auf diese Weise werden hierarchische Massenmatrizen erzeugt.
Wir haben nun gesehen, daß die Felder der Flipped SU(5) unter einer globalen U(1) dieselben
Ladungszuweisungen tragen müssen wie unter der äußeren U(1) der Flipped SU(5), wenn alle
Terme in (2.41) erlaubt sein sollen. Eine anomale U(1) A bietet hier einen eleganten Ausweg, da
Terme im Superpotential nicht mehr nur erlaubt sind, wenn ihre Ladung unter der U(1) A verschwindet,
sondern mit Hilfe der Felder φ und ¯φ als nichtrenormierbare Terme auch auftreten
können, wenn sie eine ganzzahlige Ladung tragen. In [15] werden die Möglichkeiten einer solchen
anomalen U(1) A -Symmetrie in der Flipped SU(5) untersucht. Insbesondere werden Ladungszuweisungen
gesucht, die die in diesem Abschnitt beschriebenen gefährlichen Terme im Superpotential
ausreichend unterdrücken. Darüberhinaus wird neben hierarchischen Massenmatrizen auch ein µ-
Term in der richtigen Größenordnung erzeugt. Dazu weist man dem Term ¯hh im Superpotential
eine sehr große Ladung unter der U(1) A zu, so daß er erst als nichtrenormierbarer Term in hoher
Ordnung auftaucht und entsprechend unterdrückt ist.
2.5 Einbettung der Flipped SU(5) in die SO(10)
In Abschnitt 2.3 haben wir die Flipped SU(5) als eine Untergruppe der SO(10) eingeführt. Insbesondere
haben wir die Standardmodellteilchen in Darstellungen untergebracht, die sich ergeben,
wenn man eine 16 der SO(10) nach Darstellungen der SU(5) × U(1) zerlegt. Insofern ist es naheliegend,
die Einbettung der Flipped SU(5) in die SO(10) zu untersuchen. Wie wir in Abschnitt 2.3

eschrieben haben, führt die Flipped SU(5) nicht zu einer Vereinigung der Eichkopplungen des
Standardmodells, da sie die zwei Eichkopplungen der SU(5) und U(1) hat. Darüberhinaus erzwingt
die Flipped SU(5) auch die Quantisierung der elektrischen Ladung der Quarks und Leptonen nicht,
da die Ladungszuordnungen bezüglich der äußeren U(1) a priori nicht eingeschränkt sind. Aus diesen
Gründen ist eine Einbettung der Flipped SU(5) in eine einfache Gruppe wünschenswert.
Die SO(10) hat die schöne Eigenschaft, alle Standardmodellteilchen einer Generation in einer
16dimensionalen Spinordarstellung zu vereinen. Darüberhinaus sind die Darstellungen der SO(10)
frei von Anomalien. Da sich die (10, 1)⊕(¯5, −3)⊕(1, 1) der Flipped SU(5) aus einer 16 der SO(10)
ergibt, wird verständlich, warum sich die Anomalien der einzelnen Summanden in der Flipped
SU(5) gegenseitig wegheben. Entsprechend ergibt sich auch die 10 ⊕ ¯5 ⊕ 1 der SU(5) aus der 16
der SO(10). Da das Singlet 1 keine Anomalien trägt, wird insbesondere verständlich, warum sich
in der Darstellung 10 ⊕ ¯5 der SU(5) die Anomalien der Summanden gegenseitig wegheben.
Bei der Einbettung der Flipped SU(5) in die SO(10) stößt man nun leider auf eine Schwierigkeit
bei der Umsetzung des Missing-Partner-Mechanismus. Die dazu im Superpotential benötigten Terme
HHh und ¯H ¯H¯h lassen sich auf der Ebene der SO(10) durch die Terme 16 16 10 und ¯16 ¯16 10 ¯
realisieren. Dabei enthält die 10 = h ⊕ ¯h die (5, −2) und (¯5, 2) der Flipped SU(5), in denen sich
auch die elektroschwachen Higgs-Doublets befinden. Des weiteren enthalten 16 = H ⊕ ¯h ′ ⊕ (1, 5)
und 16 ¯ = ¯H ⊕ h ′ ⊕ (1, −5) die Higgs-Multipletts der Flipped SU(5) sowie h ′ = (5, −2), ¯h ′ = (¯5, 2)
und zwei Singlets, die alle in der minimalen Flipped SU(5) nicht auftreten. Aus 16 16 10 und
16 ¯ ¯16 10 ¯ folgen nun neben den Termen HHh und ¯H ¯H¯h auch die Terme H¯h ¯h ′ und ¯Hhh ′ , die nach
der spontanen Symmetriebrechung der Flipped SU(5) wiederum zu folgendem führen:
H¯h ¯h ′ ⊃ 〈νH〉 c (h ′ 0
u h 0 u − h ′ +
u h + u )
¯Hhh ′ ⊃ 〈ν c¯H〉 (h ′ 0
d h 0 d − h ′ −
d h− d ), (2.82)
Dabei haben wir für die Felder aus h ′ und ¯h ′ analoge Bezeichnungen gewählt wie für die Feldern
aus h und ¯h. Wie man sieht, erhalten die elektroschwachen Higgs-Doublets insbesondere
sehr schwere Massen, weswegen sich der Missing-Partner-Mechanismus so nicht umsetzen läßt.
Anschaulich formuliert schlägt der Missing-Partner-Mechanismus fehl, da die auf der Ebene der
Flipped SU(5) fehlenden Partner in den vollen SO(10)-Multipletts vorhanden sind. Man kann
nun versuchen, h und ¯h in verschiedenen 10s der SO(10) unterzubringen. Wir wählen die Bezeichnungen
10 1 = h 1 ⊕ ¯h 1 und 10 2 = h 2 ⊕ ¯h 2 , wobei die elektroschwachen Higgs-Doublets sich
in den Multipletts h 1 und ¯h 2 befinden sollen. Die Terme, die zuvor zu den Problemen geführt
haben, lauten nun H¯h 1 ¯h′ und ¯Hh 2 h ′ und geben somit nicht den elektroschwachen Higgs-Doublets
sondern den Doublets in ¯h 1 und h 2 sehr große Massen. Jedoch tritt ein neues Problem auf, da nun
die Triplets in ¯h 1 und h 2 masselos bleiben. Insofern führt auch dieser Versuch nicht weiter.
In [17] wird dieses Problem durch die Einbettung der Flipped SU(5) in eine SO(10) in fünf Raumzeitdimensionen
gelöst. Zusätzliche Raumzeitdimensionen sind ein hochinteressantes Gebiet, insbesondere
auch, weil sich Superstringtheorien nur in 10 Raumzeitdimensionen konsistent formulieren
lassen. Wie wir bereits angesprochen haben, nimmt man an, daß die zusätzlichen 6 Raumzeitdimensionen
kompaktifiziert seien. Ein vielversprechender Mechanismus ist die Kompaktifizierung
auf sogenannten Orbifolds. In [17] wird dazu speziell die Orbifold S 1 /Z 2 × Z ′ 2 verwendet, d. h.
der Einheitskreis mit Radius R modulo dem Produkt zweier diskreter Z 2 -Symmetrien. Von der
Skala der Kompaktifizierung R −1 ≡ M C nimmt man an, daß sie sich in der Nähe der Gut-Skala
befindet. Bezeichnen wir mit y die Koordinate des Einheitskreises, so bewirkt Z 2 die Reflektion
y → −y, wohingegen Z ′ 2 die Reflektion y ′ → −y ′ bewirkt mit y ′ ≡ y + Rπ/2. Die physikalische
Region entspricht nach dem Ausmoden dieser Symmetrien dann dem Intervall y ∈ [−πR/2, 0] mit
den zwei Fixpunkten y = 0 und y ′ = 0 bezüglich Z 2 bzw. Z ′ 2.
Wir wählen φ(x µ , y) als generische Bezeichnung für ein Feld, wobei x µ die vier bekannten Raumzeitdimensionen
und y die kompaktifizierte Extradimension bezeichne. Außerdem bezeichnen wir
die Eigenwerte des Feldes φ bezüglich Z 2 und Z ′ 2 mit P = ±1 bzw. P ′ = ±1 und ein Feld φ mit
Eigenwerten P und P ′ mit φ P P ′ (x µ , y). Der entscheidende Punkt ist nun, daß in der effektiven
Theorie in vier Raumzeitdimensionen alle Felder bis auf die Kaluza-Klein-Nullmode Massen in der
Größenordnung der Kompaktifizierungsskala M C erhalten und nur das Feld φ ++ (x µ , y) eine solche

Nullmode hat. Durch geeignete Paritätszuweisungen erhalten also einige Felder sehr große Massen
während andere masselos bleiben. Auf diese Weise wird die Z ′ 2 dazu benutzt, die Supersymmetrie
von N = 2 zu N = 1 in vier Raumzeitdimensionen zu brechen. (N = 1)-Supersymmetrie in fünf
Raumzeitdimensionen entspricht nämlich (N = 2)-Supersymmetrie in vier Raumzeitdimensionen.
Die Z ′ 2-Symmetrie wird dagegen benutzt, um die SO(10) zur Flipped SU(5) zu brechen, indem
die zusätzlichen Eichbosonen der SO(10) eine negative Parität unter Z ′ 2 erhalten.
Indem nur die Multipletts h 1 und ¯h 2 die Paritäten ++ erhalten, nicht aber h 2 und ¯h 1 , wird nun
auch das zuletzt aufgetretene Problem gelöst. Es erhalten dann die vollständigen Multipletts ¯h 1
und h 2 Massen der Ordnung M C , insbesondere also auch die Triplets, die zuvor masselos geblieben
sind. Die so konstruierte Einbettung der Flipped SU(5) in die SO(10) in fünf Raumzeitdimensionen
behält viele Vorteile einer Einbettung in vier Raumzeitdimensionen, insbesondere Vereinigung
der Eichkopplungen (allerdings mit kleinen Korrekturen) und zusätzliche Relationen zwischen den
Yukawa-Kopplungen auf der Vereinheitlichungsskala.

Kapitel 3
Inflation
3.1 Dynamik des Inflatons
Die Standard-Kosmologie kann einige Beobachtungen nicht erklären. Ein Beispiel ist die Isotropie
auf großen Skalen der kosmischen Hintergrundstrahlung (Cmb für Cosmic Microwave Background).
Dieses sowie andere Probleme beschreiben wir ausführlich in Anhang B.2. Wie wir dort
erläutern, lassen sie sich lösen, wenn man eine Phase der Inflation im frühen Universum animmt.
Darunter versteht man eine Phase, in der sich das Universum durch Dominanz einer Vakuumenergiedichte
quasiexponentiell ausgedehnt hat. Einen Mechanismus, der während der Inflation die
Vakuumenergiedichte bereitstellt und diese am Ende der Inflation in Materie transferiert, werden
wir nun vorstellen. Zuvor sei der Leser noch auf Anhang B.1 verwiesen, wo wir zahlreiche im
folgenden benötigte Formeln aus der Standard-Kosmologie gesammelt haben.
Wir führen ein skalares Feld φ ein, das sogenannte Inflaton. Der Einfachheit halber beschränken wir
uns auf ein reelles Feld, die Verallgemeinerung auf ein komplexes Feld ist naheliegend. Wichtiger
ist, daß wir von einer Raumzeit mit Robertson-Walker-Metrik ausgehen. Das mag wie eine Tautologie
erscheinen, da Inflation auch die Homogenität und Isotropie des Universums erklären soll,
die Rw-Raumzeit diese aber voraussetzt. Man kann jedoch zeigen, daß die Raumzeit sich schnell
dem Rw-Modell annähert. Aus demselben Grund werden wir uns auf den Fall k = 0 beschränken.
Die Lagrangedichte hat dann die Form (B.27):
√ −gL =
1
2 a3 η µν ∂ µ φ ∂ µ φ − a 3 V (φ) (3.1)
Dabei ist g die Determinate der Rw-Metrik und η µν = diag(1, −1, −1, −1) die Minkowski-Metrik.
Das Potential V (φ) habe ein langsam abfallendes Plateau und eine anschließende Senke. Wechselwirkungen
mit anderen Teilchen werden zunachst vernachlässigt. Für den Energie-Impuls-Tensor
folgt nach dem Noether-Theorem:
Die Energiedichte ρ und den Druck p kann man ablesen zu:
T µν = ∂ µ φ ∂ ν φ − g µν L (3.2)
ρ = T 00 = 1 2 ˙φ 2 + 1
2 a 2 (∇φ)2 + V (φ)
p = T ii = 1 2 ˙φ 2 + 1
6 a 2 (∇φ)2 − V (φ)
Der Punkt bezeichnet die Ableitung nach der Zeit t, der Operator ∇ die Ableitungen nach der
comoving“ Koordinate r sowie den Winkelkoordinaten θ und φ. Sitze nun das Feld φ am Anfang
”
des Plateaus, wo es eine positive potentielle Energie V (φ) hat, und sei räumlich relativ homogen
sowie zeitlich langsam variierend. Da der Skalenfaktor zunimmt, werden die Terme ∝ (∇φ) 2
rasch vernachlässigbar. Das Potential hat eine leichte Neigung, weswegen φ beginnt, langsam in
(3.3)
33

Richtung der Senke zu rollen. Ist diese Bewegung nicht zu schnell, so sind auch die Terme ∝ ˙φ
vernachlässigbar. Die beiden obigen Gleichungen nehmen dann die Form ρ ≃ V (φ) und p ≃ −V (φ)
an, womit insbesondere ρ ≃ −p gilt. Dies ist die Zustandsgleichung einer Vakuumenergiedichte!
Die potentielle Energie eines skalaren Feldes φ kann unter den obigen Bedingungen also als Vakuumenergiedichte
fungieren und zu einer Phase der Inflation im Universum führen.
Wir bestimmen nun die Bewegungsgleichung durch Variation der Lagrangedichte nach φ:
¨φ + 3H ˙φ − a −2 ∇ 2 φ + V ′ (φ) = 0 (3.4)
Dabei bedeutet V ′ (φ) die erste Ableitung des Potentials V nach φ. Wenn das Feld konstant langsam
rollt, ist der Term ¨φ gegenüber dem Term 3H ˙φ zu vernachlässigen. Wie oben begründet wurde,
ist zusätzlich auch der Term ∝ ∇ 2 φ vernachlässigbar. Deswegen nimmt die Bewegungsgleichung
während der Inflation die folgende Slow-Roll-Form an:
3H ˙φ ≃ −V ′ (φ) (3.5)
Die Inflation endet, wenn diese Näherung nicht mehr gilt. Dies passiert typischerweise kurz bevor
das Inflaton φ im Potential in die Senke fällt. Der Term ¨φ wird wieder wichtig, wohingegen wir
den Term ∝ ∇ 2 φ weiter vernachlässigen können. Ein Blick auf (3.4) zeigt, daß das Inflaton anschließend
gedämpfte Oszillationen in der Senke durchführt. Die Oszillationen kann man als eine
kohärente Überlagerung ruhender Inflaton-Teilchen auffassen. Zerfallen diese nun über die bisher
vernachlässigten Wechselwirkungen in andere Teilchen, so führen sie zum Reheating des Universums.
Die Vakuumenergiedichte wird in gewöhnliche Teilchen umgesetzt. Um diesen Prozess
beschreiben zu können, führen wir einen Dämpfungsterm Γ ˙φ in (3.4) ein, wobei Γ die Zerfallsbreite
des Inflatons sei. Dieser ergänzt den Term 3H ˙φ, der aus der Ausdehnung des Universums
resultiert. Insgesamt haben wir dann die folgende Bewegungsgleichung:
¨φ + 3H ˙φ + Γ ˙φ + V ′ (φ) = 0 (3.6)
Wie wir in Abschnitt 3.3 sehen werden, ist diese Beschreibung des Reheatings eine Vereinfachung.
Dennoch wollen wir versuchen, eine Abschätzung für die dabei erreichte Reheat-Temperatur zu
erhalten. Da die Oszillationen des Inflatons einer kohärenten Überlagerung ruhender Teilchen
entsprechen, verhält sich die Energiedichte des Inflatons wie (nichtrelativistische) Materie mit
ρ ∝ a −3 . Die ultrarelativistischen Teilchen, in die das Inflaton zerfällt, verhalten sich dagegen
wie Strahlung mit ρ ∝ a −4 . Ihre Energiedichte nimmt deswegen zunächst schneller ab als die des
Inflatons. Erst wenn die Hubble-Zahl H = ȧ
a
kleiner wird als die Zerfallsrate Γ, beginnt sie, die
Energiedichte des Inflatons zu übertreffen und das Reheating wird beendet. Die Energiedichte im
Universum zum Zeitpunkt der Gleichheit H = Γ folgt aus der Friedmann-Gleichung (B.4) mit
k = 0 zu:
ρ = 3 m2 p
8 π Γ2 (3.7)
Setzt das thermodynamische Gleichgewicht rasch nach dem Zerfall ein, so gilt nach Gleichung
(B.21) für die Energiedichte in Abhängigkeit von der Reheat-Temperatur T RH :
ρ = π2
30 g ∗ T 4 RH (3.8)
Aus den beiden vorhergehenden Gleichungen folgt die gesuchte Abschätzung der Reheat-Temperatur
zu:
( ) 1
45
4 √
T RH =
Γ mp (3.9)
4πg ∗
Bei welchen Werten startet das Feld und wie ist die genaue Form seines Potentials? Für einen
Überblick über verschiedene Inflationsmodelle und deren historische Entwicklung sei der interessierte
Leser auf [20] verwiesen. Dort wird insbesondere auf die ersten Modelle der sogenannten Old
Inflation, New Inflation und chaotischen Inflation eingegangen. Ein gravierender Nachteil beispielsweise
des älteren Szenarios der chaotischen Inflation ist es, sehr kleine Kopplungskonstanten zu

erfordern, um Vorhersagen über Anisotropien im Cmb in Übereinstimmung mit den gemessenen
Werten zu erhalten. Wir werden deswegen mit einem neueren Modell beginnen, der sogenannten
Hybrid-Inflation [21]. Dazu führt man zusätzlich zum langsam rollenden Feld φ ein weiteres
skalares Feld χ ein. Das gemeinsame Potential lautet:
V (φ, χ) = 1 4 κ (χ2 − M 2 ) 2 + 1 2 m2 φ 2 + 1 2 λ φ2 χ 2 (3.10)
Dabei sind M > m Massenparameter und κ und λ dimensionslos. In Abbildung 3.1 ist das Potential
für m = 0 dargestellt. Zur Planck-Zeit t ∼ m −1
p ist nun die Energiedichte und damit V (φ)
aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation nur mit einer Genauigkeit von O(m 4 p) gegeben.
Da es keinen Grund für die Annahme V (φ) ≪ m 4 p gibt, erwarten wir V (φ) ∼ m 4 p und folglich bei
nicht zu kleinen Kopplungskonstanten φ ∼ m p und χ ∼ m p . Das Potential für χ ist in diesem
Fall sehr steil, weswegen es schnell sein Minimum χ = 0 annimmt. Sein effektives Massenquadrat
m 2 eff = − 1 2 κ M 2 + 1 2 λ φ2 hält χ für φ > φ c = √ κ/λ M in diesem Minimum. Das Potential nimmt
währenddessen die Form
V (φ, 0) = 1 2 m2 φ 2 + 1 4 κ M 4 (3.11)
an, so daß φ langsam hinabrollen kann, wenn m nicht zu groß ist. Der dominante Teil der Vakuumenergiedichte
stammt aus dem Term ∝ M 4 und damit indirekt vom Feld χ. Diese Aufgabenteilung
der beiden Felder φ und χ ermöglicht passende Vorhersagen der Cmb-Anisotropien mit natürlichen
Kopplungskonstanten und ist auch der Grund für den Namenszusatz Hybrid“. ”
Passiert φ den Punkt φ c , so wird das effektive Massenquadrat m 2 eff
von χ negativ. Daher beginnt
χ, in das Minimum mit χ = ±M zu stürzen. Die Slow-Roll-Näherung ist nicht mehr gültig, die
Inflation wird beendet und auch φ nimmt sein Minimum φ = 0 an. Zunächst erwartet man, daß
wiederum beide Felder gedämpfte Oszillationen um ihr Minimum ausführen und dadurch das Universum
wiederaufheizen. Tatsächlich ist die Situation in der Hybrid-Inflation jedoch wesentlich
komplizierter. Hierauf wird in Abschnitt 3.3 noch genauer eingegangen.
3.2 Hybrid-Inflation in der Flipped SU(5)
Hybrid-Inflation lässt sich in supersymmetrischen Guts besonders elegant umsetzen. Erinnern
wir uns dazu an den Term, den wir bereits in Abschnitt 2.3 ohne nähere Begründung in das
Superpotential geschrieben haben:
W ⊃ κ S ( ¯HH + m 2 G) (3.12)
S ist ein Singlet und H und ¯H sind die Higgs-Multipletts der Flipped SU(5). Insgesamt habe unser
Superpotential die Form (2.41). A priori sind alle Kopplungskonstanten komplex. Betrachten wir,
welche Parameter wir durch Redefinition der Felder reell wählen können und untersuchen dazu
den folgenden Teil des Superpotentials:
W ⊃ κ S ¯HH + κ m 2 G S + λ H HHh + λ ¯H ¯H ¯H¯h + µ ¯hh (3.13)
Zunächst können wir die Phase von µ = |µ|e iφ in h absorbieren: h → e −iφ h. Die Phase von
λ H = |λ H |e iθ können wir dann in H absorbieren: H → e −i(θ−φ)/2 H. Daneben können wir die
Phase des Produkts κ m 2 G = |κ m2 G |eiψ mit S → e −iψ S absorbieren und anschließend diejenige
von κ = |κ|e iρ durch ¯H → e −i(ρ−ψ+(φ−θ)/2) ¯H. Als einziger Parameter mit einer komplexen Phase
bleibt λ ¯H übrig.
Insbesondere können wir also die Parameter κ und κ m 2 G in (3.12) reell wählen. Man kann jeden
Vakuumerwartungswert der Higgs-Multipletts H und ¯H in die Richtung νH c bzw. νc¯H drehen [13].
Wir beschränken uns deswegen auf diese Richtungen:
W ⊃ 2 κ S ν c Hν c¯H + κ m 2 G S (3.14)

Aus diesem Teil des Superpotentials folgt nach (A.4) ein F-Term-Beitrag zum Skalarpotential.
Außerdem gibt es nach (A.5) auch einen D-Term-Beitrag, den wir in Anhang D.1 berechnen.
Zusammen gilt:
V ⊃ |2 κ ν c¯Hν c H + κ m 2 G| 2 + 4 κ 2 |S| 2 |ν c H| 2 + 4 κ 2 |S| 2 |ν c¯H| 2 + ( 6 5 g2 5 + 2 g 2 1) (|ν c¯H| 2 − |ν c H| 2 ) 2 (3.15)
g 5 und g 1 sind die Kopplungskonstanten der SU(5) bzw. der U(1) in der Flipped SU(5). Wiederum
erwarten wir auf der Planck-Skala Anfangsbedingungen mit S, ν c H , νc¯H ∼ m p . Mit ν c H = |νc H |eiθ
und ν c¯H = |ν c¯H|e i¯θ lautet das Potential:
V ⊃ 4 κ 2 |ν c¯H| 2 |ν c H| 2 + 4 κ 2 m 2 G |ν c H| |ν c¯H| cos(θ + ¯θ) + κ 2 m 4 G
+ 4 κ 2 |S| 2 |ν c H| 2 + 4 κ 2 |S| 2 |ν c¯H| 2 + ( 3
10 g2 5 + 2 g 2 1) (|ν c¯H| 2 − |ν c H| 2 ) 2 (3.16)
Das Potential erzwingt schnell θ + ¯θ = ±π. Dagegen ist das Potential unabhängig von der relativen
Phase θ − ¯θ. In einem homogenen Bereich können wir diese durch eine U(1)-Transformation zu
Null wählen. Vereinfachend wählen wir zusätzlich S = |S| reell. Durch S ∼ m p ist das Potential für
|νH c | und |νc¯H| sehr steil, weswegen diese rasch ein Minimum bei |νH c | = 0 und |νc¯H| = 0 einnehmen.
Das Potential wird nun durch die Vakuumenergiedichte κ 2 m 4 G bestimmt und führt zu einer Phase
der Inflation.
Allerdings ist es flach für S. Deswegen erscheint es, als ob S an seiner Ausgangsposition verharrt
und es keinen Mechanismus zur Beendigung der Inflation gibt. Tatsächlich erhält das Potential
aber durch Strahlungskorrekturen eine Neigung für S, das dann langsam hinabrollen kann. Dazu
beachte man, daß wegen V ≠ 0 Supersymmetrie während der Inflation gebrochen ist. Dies kann
man explizit an den Massen der Superpartner in den Higgs-Multipletts H und ¯H sehen. Seien
dazu A und Ā generische Bezeichnungen für die dc H und dc¯H, u H und u ¯H, d H und d ¯H sowie νH
c
und ν c¯H aus den Higgs-Multipletts. Das Superpotential (3.12) führt dann zu folgenden Beiträgen
in der Lagrangedichte für A ± = √ 1 2
(A ∗ ± Ā) und Ψ A sowie Ψ Ā :
L ⊃ −m 2 + |A + | 2 − m 2 − |A − | 2 − m Ψ Ā Ψ A − m Ψ ∗ Ā Ψ∗ A (3.17)
An den unterschiedlichen Massen m 2 ± = 4 κ 2 |S| 2 ± 2 κ 2 m 2 G und m = 2 κ S der Superpartner kann
man die Brechung der Supersymmetrie direkt ablesen. Die Superpartner in den Higgs H und ¯H
sind während der Inflation die einzigen mit einer Massendifferenz. Da nun die Voraussetzungen des
Nichtrenormierungstheorems nicht mehr gegeben sind, erhält das Potential Strahlungskorrekturen.
Die 1-Loop-Korrekturen werden durch die Coleman-Weinberg-Formel gegeben:
∆V = 1 ∑
64 π 2 (−1) Fi m 4 i ln m2 i
Λ 2 (3.18)
i
Die Summe läuft über alle Teilchen der Theorie, wobei (−1) F i
bedeutet, daß fermionische und
bosonische Superpartner mit entgegengesetztem Vorzeichen eingehen. Weiter bezeichnet m i die
Masse der Teilchen. Folglich ist die Summe nur für diejenigen Supermultipletts von Null verschieden,
bei denen ein Massensplit wie oben auftritt. Schließlich ist Λ eine Renormierungsskala. Man
kann zeigen, daß die Neigung des Potentials in S-Richtung von dieser Skala unabhängig ist [22].
Um die weitere Entwicklung für kleinere Werte von S zu verfolgen, schreiben wir das Potential
um. Mit N = √ 1 2
(|νH c | + |νc¯H|) und ¯N = √ 1
2
(|νH c | − |νc¯H|) erhält man:
V ⊃ κ 2 (N 4 + ¯N 4 − 2 N 2 ¯N 2 − 2 m 2 GN 2 + 2 m 2 G ¯N 2 + m 4 G)
+ 4 κ 2 |S| 2 (N 2 + ¯N 2 ) + D-Term-Beiträge (3.19)
Man sieht, daß das Feld ¯N ein großes positives Massenquadrat hat, das es auch in der weiteren
Entwicklung bei ¯N = 0 hält. Wiederum ändern die D-Term-Beiträge daran nichts, weswegen sie

4
2
1
0
-1
0
N
-0.5
0
S
0.5
-1
1
Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des Potentials (3.20) bzw. (3.10)
auch weiterhin verschwinden. Das Potential vereinfacht sich damit zu:
V ⊃ κ 2 (N 2 − m 2 G) 2 + 4 κ 2 |S| 2 N 2 (3.20)
Eine schematische Darstellung dieses Potentials ist in Abbildung 3.1 zu finden. Es ist gleich dem
Potential der Hybrid-Inflation (3.10), wenn man dort m = 0 setzt. Die weitere Entwicklung ist
folglich analog: Wenn S den Bifurkationspunkt S c = m G / √ 2 passiert, erhält N ein negatives
Massenquadrat und beginnt, in sein Minimum bei N = ± m G zu stürzen. Die Inflation wird beendet
und auch S nimmt sein Minimum S = 0 an. Da N die Summe der Beträge der νH c - und
ν c¯H-Komponenten von H bzw. ¯H ist, führt dies insbesondere zur spontanen Symmetriebrechung
der Flipped SU(5)! Das Superpotential (3.12) erfüllt also zwei Aufgaben: Inflation und Brechung
der Eichsymmetrie einer Gut.
Jedoch wird die Symmetrie der Gut erst am Ende der Inflation gebrochen. Bei der Brechung
einer halbeinfachen Gruppe zum Standardmodell entstehen dabei massenhaft Monopole und das
Monopol-Problem wird durch die Hybrid-Inflation nicht gelöst. In diesem Fall kann man die shifted“
Hybrid-Inflation betrachten. Dabei wird zum Superpotential (3.12) ein nichtrenormierbarer ”
Term hinzugenommen. Es gibt dann eine neue Trajektorie für das langsam rollende Feld, entlang
derer die Gut-Symmetrie bereits gebrochen ist. Auf diese Art wird das Monopol-Problem
vermieden. Der interessierte Leser sei erneut auf [6] verwiesen, wo ein solches Szenario mit der Pati-
Salam-Gruppe betrachtet wird. Glücklicherweise haben wir dieses Problem mit der Flipped SU(5)
nicht. Zunächst erscheint es aber so, als würden während der Symmetriebrechung Domänenwände
entstehen. Denn N hat zwei gleichwertige Minima bei N = ± m G und Regionen mit verschiedenen
Minima sollten durch Domänenwände getrennt sein. Dabei vergisst man aber, daß das Feld N Teil
einer Darstellung der Flipped SU(5) ist. Bei der Symmetriebrechung der Flipped SU(5) werden
keine topologischen Defekte gebildet.
Da m G / √ 2 der Vakuumerwartungswert der Flipped SU(5)-Higgs ist, sollte m G = O(10 16 GeV)
sein. Die Vakuumenergiedichte während der Inflation ist somit ρ = κ 2 m 4 G ∼ κ2 (10 16 GeV) 4 .
Dies ist der Grund, warum wir bei der Berechnung des Teilchenhorizonts in Anhang B.2 für die
Vakuumenergiedichte diesen Wert wählen. Aus dem Potential (3.20) und den Strahlungskorrekturen
gemäß (3.18) kann man eine Vorhersage der Anisotropien des Cmb in Abhängigkeit von
κ und m G berechnen, siehe [22]. Mit dem Meßergebnis beispielsweise der Quadrupol-Anisotropie
im CMB erhält man daraus κ als Funktion von m G . Mit m G = O(10 16 ) GeV ist insbesondere
κ = O(10 −3 ).
Um im weiteren Verlauf der Arbeit zwischen Vakuumerwartungswert der νH c und νc¯H und deren
Anregungen zu unterscheiden, zerlegen wir diese gemäß νH c = 〈νc H 〉 + δνc H und νc¯H = 〈ν c¯H〉 + δν c¯H.

Da S nach der Inflation keinen Vakuumerwartungswert mehr hat, ist bei diesem Feld eine solche
Unterscheidung nicht nötig. Die Massen von S und N = √ 1 2
(δνH c + δνc¯H) nach der Inflation werden
in Anhang D.2 zu m S = m N = 4 κ 2 m 2 G bestimmt. Um eine (grobe) Abschätzung der maximal
erreichten Reheat-Temperatur aus Formel (3.9) zu erhalten, müssen wir die Zerfallsbreiten dieser
Teilchen bestimmen. Wieder gehen wir vom Superpotential (2.41) aus und untersuchen zunächst
den Zerfall von N in skalare Teilchen.
W = κ S( ¯HH + m 2 G) + λ ij
d F i F j h + λ ij
u F i ¯f
j¯h + λ
ij
e e ci ¯f j h
λ
+ λ H HH h + λ ¯H ¯H ¯H ¯h ij
+
ν
F i j ¯HF ¯H + µ ¯hh (3.21)
M S
Kopplungen, über die Zerfälle in skalare Teilchen möglich sind, entstehen aus folgenden Beiträgen
zu der Lagrangedichte (die Symbole h, ¯h, H, ¯H und F stehen hier generisch für ein beliebiges Feld
aus dem Multiplett):
➀
∂W
∣ ∂S ∣
2
➁
∂W
∣ ∂h ∣
2
➂
∂W
∣ ∂¯h ∣
2
➃
∂W
∣ ∂H ∣
2
➄
∂W
∣ ∂ ¯H
∣
2
➅
∂W
∣ ∂F
Wir behandeln die Beiträge der Reihe nach. ➀ führt insbesondere zu folgenden Termen in der
Lagrangedichte:
L ⊃ −4 κ 2 (d c¯Hi d c Hi + d ¯Hi d Hi + u ¯Hi u Hi + m G N) × h.c. (3.22)
In Anhang D.1 werden die Massen der Teilchen d ¯Hi , d Hi , u ¯Hi und u Hi zu g 2 5 m 2 G bestimmt,
diejenigen der Teilchen d c¯Hi und d c Hi betragen 32 λ2 H m2 G bzw. 32 λ2¯H m 2 G . Es gilt α 5(m G ) ∼ 0.04,
woraus g 5 (m G ) ∼ 0.7 folgt. Nimmt man nun noch λ H , λ ¯H κ = O(10 −3 ) an, so sind sämtliche
Zerfälle in Teilchen der Higgs-Multipletts H und ¯H kinematisch verboten.
Betrachten wir nun die Beiträge ➁ und ➂ genauer. Die Terme, in denen die Multipletts h und ¯h
gemeinsam mit den Multipletts H und ¯H auftreten, lauten:
W ⊃ λ H HHh + λ ¯H ¯H ¯H¯h = 8 λH [ D i d c Hi ν c H + ɛ kij D k u Hi d Hj − h − d Hi u Hi + h 0 d c Hi d Hi ]
∣
+ entsprechend für ¯H ¯H¯h (3.23)
Terme mit δν c H und δνc¯H und damit N entstehen nur durch Ableitungen nach D i und ¯D i und nicht
durch Ableitungen nach anderen Komponenten der Multipletts h und ¯h. In der Lagrangedichte
folgen die Terme:
[
L ⊃ − 8 λ H (d c Hi νH c + ɛ ilm ∂(F F h)
u Hl d Hm ) + λ d
∂D i
+ λ e
∂(e c ¯fh)
∂D i
+ µ D i
]
× h.c.
[
− 8 λ ¯H (d c¯Hi ν c¯H + ɛ ilm ∂(F
u ¯Hl d ¯Hm ) + λ ¯f¯h) ]
u
∂ ¯D + µ ¯D i × h.c. (3.24)
i
Der Einfachheit halber lassen wir hier und im folgenden die Familienindizes weg. Sämtliche Zerfälle
der δν c H und δνc¯H hätten als ein Zerfallsprodukt ein d c Hi bzw. ein dc¯Hi und sind damit unter der
obigen Annahme kinematisch verboten. Entsprechend vereinfacht sich auch die Diskussion der
Beiträge ➃ und ➄. Die Terme im Superpotential, in denen H bzw. ¯H auftreten, lauten:
W ⊃ κ S ¯HH + λ ν
M S
F ¯HF ¯H + λ H HHh + λ ¯H ¯H ¯H¯h (3.25)
Kopplungen der N, die aus dem ersten oder den letzten beiden Termen entstehen, enthalten immer
die Felder S, D i und ¯D i . Deren Massen betragen 4 κ 2 m 2 G , 32 λ2 H m2 G bzw. 32 λ2¯H m 2 G , weswegen
entsprechende Zerfälle kinematisch verboten sind. Den zweiten Term schreiben wir genauer:
W ⊃
λ ν
M S
F ¯HF ¯H = 4 λ ν
M S
(d c id c¯Hi + d i d ¯Hi + u i u ¯Hi + ν c ν c¯H) (d c id c¯Hi + d i d ¯Hi + u i u ¯Hi + ν c ν c¯H) (3.26)
2

Durch Ableitungen nach den einzelnen Komponenten von ¯H entstehen insbesondere die folgenden
Kopplungen in der Lagrangedichte:
L ⊃ ∼ −32 λ 2 m G
ν
MS
2 (N + N ∗ ) ν c ν c∗ [ ( d c i + d i + u i + ν c ) × h.c. ] (3.27)
Entsprechende Zerfälle der N sind zwar erlaubt, weil die Squarks und Sleptonen nach der Inflation
noch masselos sind. Da es sich aber um Zerfälle in vier Teilchen handelt, gibt es Beiträge mit
einer wesentlich größeren Zerfallsbreite. Wir werden die obigen Zerfälle deswegen vernachlässigen.
Schließlich sind für den Beitrag ➅ folgende Terme im Superpotential relevant:
W ⊃
λ ν
M S
F ¯HF ¯H + λ d F F h + λ u F ¯f¯h (3.28)
Terme in der Lagrangedichte, die die letzten beiden Terme involvieren, führen zu Zerfällen in
mindestens drei Teilchen. Auch sie werden wir deswegen vernachlässigen. Durch Ableitung nach
der ν c -Komponente des Multipletts F ergibt der erste Terme in der Lagrangedichte:
L ⊃ ∼ −16 λ 2 ν
m 3 G
MS
2 (N + N ∗ ) ν c ν c∗ (3.29)
Sogar diesen Beitrag können wir vernachlässsigen, wie wir gleich bei der Behandlung des Zerfalls
in Fermionen sehen. Die dafür relevanten Terme im Superpotential sind dieselben wie in (3.25).
Aus dem ersten Term folgt eine Kopplung des δνH c an Ψ S und Ψ ν und entsprechend für δν c¯H. Da
c¯H
S und N gleiche Massen haben, gilt dasselbe wegen Supersymmetrie auch für die drei Teilchen
in den Kopplungen. Die entsprechenden Zerfälle sind damit verboten. Aus den letzten beiden
Termen in (3.25) folgt eine Kopplung zwischen δνH c , Ψ Di und Ψ d c
Hi
sowie entsprechend für δν c¯H.
Auch diese Zerfälle sind wegen der Massen verboten. Schließlich ergibt der zweite Term in (3.25)
in der Lagrangedichte:
L ⊃ −4 λ ij m G
ν N Ψ
M ν ci Ψ ν cj + h.c. (3.30)
S
Die obige Diskussion müssen wir nun für S wiederholen. Sie vereinfacht sich in diesem Fall glücklicherweise.
Die relevanten Terme im Superpotential sind erneut diejenigen aus (3.25). Die einzigen
Terme in der Lagrangedichte, in denen S zusammen mit Fermionen auftritt, sind solche mit Ψ ν c
H
und Ψ ν . Entsprechende Zerfälle sind wegen der beteiligten Massen sicherlich verboten. Kopplungen
an skalare Teilchen entstehen wie in ➃ und ➄ durch Ableitung nach Komponenten der H und
c¯H
¯H. Wir betrachten nur Ableitungen nach den νH c - bzw. νc¯H-Komponenten. Alle anderen Beiträge
involvieren nämlich immer auch ein Teilchen aus den Multipletts H und ¯H und entsprechende
Zerfälle sind wegen der Massen dieser Teilchen verboten. In der Lagrangedichte folgt daraus:
[ ]
4
L ⊃ −
(λ ij + λ ji ) (d ci
k d c¯Hk + d i
M
kd ¯Hk + u i ku ¯Hk + ν ci ν c¯H) ν cj + 8 λ ¯H ¯Dk d c¯Hk + 2 κ S νH
c
S
]
−
[
8 λ H D k d c Hk + 2 κ S ν c¯H
× h.c.
× h.c. (3.31)
Die Terme, die weder Komponenten aus H und ¯H (mit Ausnahme von ν c H und νc¯H, die wir durch
ihren Vakuumerwartungswert ersetzen) noch Farb-Triplets D k und ¯D k enthalten, sind folgende:
L ⊃ −4 κ m2 G
M S
(λ ij + λ ji
ν ) S ∗ ν ci ν cj + h.c. (3.32)
Die wichtigsten Beiträge sind also (3.30) und (3.32). N zerfällt nach der Inflation folglich hauptsächlich
in rechtshändige Neutrinos und S in deren skalare Superpartner. Dieses Ergebnis spielt bei der
Besprechung der Leptogenese noch eine wichtige Rolle. Nehmen wir nun an, daß die Masse des
rechtshändigen Neutrinos und seines Superpartners deutlich kleiner ist als diejenige des S und N.
Dann werden die Zerfallsbreiten durch folgende Ausdrücke gegeben:
Γ(N → Ψ ∗ ν c i
+ Ψ∗ ν c j ) = 4 π κ λij 2 m3 G
M 2 S
(3.33)

Γ(S → ν ci + ν cj ) = 1 π κ (λij ν + λ ji
ν ) 2 m3 G
MS
2
(3.34)
Ist die Matrix λ ij
ν symmetrisch, so sind die Zerfallsbreiten von S und N gleich. Aus (2.40) folgt
nun die Massenmatrix m ij M
der rechtshändigen Neutrinos zu:
m ij M ≡ 2 m 2
λij G
ν
(3.35)
M S
Für die weiteren Betrachtungen wählen wir eine Basis, in der die Matrix m ij M
diagonal ist. Außerdem
nehmen wir für die Eigenwerte oBdA m M1 < m M2 < m M3 an. Die Zerfallsbreiten (3.33)
und (3.34) gelten nur für rechtshändige Neutrinos Ψ ν c
i
bzw. Sneutrinos νi c mit 2 · m Mi ≪ m S,N .
Für größere Massen sind die Zerfallsbreiten durch den Phasenraumfaktor unterdrückt und für
2 · m Mi > m S,N ist kein Zerfall mehr möglich. Dominiert werden die Zerfallsbreiten durch das
schwerste rechtshändige Neutrino bzw. Sneutrino, in die S und N noch zerfallen können. Nehmen
wir an, das für dessen Masse tatsächlich 2 · m Mi ≪ m S,N gilt, so lautet der dominante Beitrag Γ
zur Zerfallsbreite:
Γ ≡ κ m 2 Mi
(3.36)
π m G
Setzt man diese Zerfallsbreite in Gleichung (3.9) ein, so erhält man die gesuchte Abschätzung der
Reheat-Temperatur zu:
( ) 1
45 κ
2
√ 4
m p
T RH =
4 π 3 m Mi (3.37)
g ∗ m G
Wählen wir insbesondere κ ≈ 10 −3 und m G ≈ 10 16 GeV, so folgt mit m p ≃ 10 19 GeV:
T RH ≈ 2 · 10 −1 · m Mi (3.38)
Da T RH ∝ √ κ/m G und κ = O(10 −3 ) sowie m G = O(10 16 GeV), ändert sich diese Abschätzung
in Abhängigkeit der genauen Werte von κ und m G um maximal eine Größenordnung nach oben
oder unten. Nehmen wir nun die maximale Reheat-Temperatur, die zur Vermeidung einer Überproduktion
von Gravitinos noch erreicht werden darf, zu 10 9 GeV an. Dann folgt für die Masse
des schwersten rechtshändigen Neutrinos Ψ ν c
i
und Sneutrinos νi c , in das N bzw. S noch zerfallen
können:
m Mi ≈ 10 10 GeV (3.39)
Mit κ ≈ 10 −3 und m G ≈ 10 16 GeV folgt die Masse der S und N dagegen zu m S,N = 2 κ m G ≈
2 · 10 13 GeV und die oben gemachte Voraussetzung 2 · m Mi ≪ m S,N ist für die meisten Werte
von κ und m G erfüllt. Die Reheat-Temperatur kann allerdings auch dann niedrig bleiben, wenn
die Majorana-Masse m Mi nur knapp unter 0.5 · m S,N liegt und der Phasenraumfaktor eine starke
Unterdrückung der Zerfallsbreite bewirkt. Wir werden diese Situation jedoch nicht weiter berücksichtigen.
3.3 Preheating und Reheating
Bei der Herleitung der Formel (3.9) sind wir von einem perturbativen Zerfall des Inflatons (im
Falle der Hybrid-Inflation S und N) nach der Inflation ausgegangen. Tatsächlich geht dieser Phase
meist eine Phase mit bedeutenden nichtperturbativen Effekten voraus, die man als Preheating
bezeichnet. Dabei führen die Bewegungen des Inflatons, solange seine Amplitude noch groß ist, zu
einer explosionsartigen Produktion von Teilchen. Insbesondere werden auch Teilchen produziert,
in die das Inflaton wegen zu hoher Massen perturbativ nicht zerfallen kann. Man kann diese Phase
als nichtperturbativen Zerfall des Inflatons interpretieren. Zuerst untersucht wurde das Preheating
für Bosonen [23]. Wegen der späteren Anwendung für die Leptogenese und Kohärente Baryogenese
werden wir aber ausschließlich das fermionische Preheating [24] behandeln. Dabei werden wir
insbesondere den Formalismus aus [26] verwenden.

Wesentlich für das Preheating ist ein zeitabhängiger Massenterm in den Bewegungsgleichungen
eines Feldes. Diese Situation tritt beispielsweise nach der Hybrid-Inflation auf. Wenn das Higgs
einen Vakuumerwartungswert annimmt und so zur Symmetriebrechung führt, werden einige Felder
massiv. Deren Massenterme variieren währenddessen natürlich von Null auf den Wert nach
der Symmetriebrechung. Im Fall der Flipped SU(5) gilt dies beispielsweise für das rechtshändige
Neutrino, das über den Term F ¯HF ¯H eine Majorana-Masse erhält. Wie wir in Abschnitt 4.2
erläutern werden, können die während des Preheatings produzierten rechtshändigen Neutrinos eine
Quelle der Baryonenasymmetrie darstellen. Daneben erhalten auch die Higgs-Multipletts H,
¯H sowie die Farb-Tripletts aus h und ¯h Massen bei der Symmetriebrechung der Flipped SU(5).
Insbesondere haben die aus Ψ Di und Ψ d c
Hi
sowie aus Ψ ¯Di und Ψ d c¯Hi
gebildeten Dirac-Fermionen,
die durch den Missing-Partner-Mechanismus entstehen, während der Symmetriebrechung eine variable
Masse. Darüberhinaus erhalten sie auch Massen durch den Vakuumerwartungswert von S,
weswegen es sogar eine zeitabhängige Massenmatrix gibt. Dies ist eine der Bedingungen für die
Kohärente Baryogenese, die in Kapitel ausführlich beschrieben wird. Dieser Mechanismus ist eine
andere Möglichkeit zur Generierung einer Baryonenasymmetrie.
Jedoch kann auch beispielsweise nach der chaotischen Inflation ein zeitabhängiger Massenterm
auftreten, wenn das Inflaton φ geeignet an das betreffende Feld koppelt. Im Falle eines Feldes
mit einer Masse m setzt sich der zeitabhängige Massenterm dann aus zwei Beiträgen zusammen
und oszilliert um m: m(t) = m + g φ(t) für ein Fermion mit der Kopplung ∝ g an das Inflaton.
Dies ist ein wichtiger Unterschied zur Situation nach der Hybrid-Inflation, bei der der Massenterm
von Null auf einen bestimmten Wert ansteigt und, wie wir bald sehen werden, anschließend kaum
oszilliert. Man vergleiche dazu die beiden Paper in Ref. [24].
Wir gehen von der Lagrangedichte (B.29) eines fermionischen Feldes in konform flacher Raumzeit
aus. Mit den Reskalierungen a 3 2 Ψ → Ψ und a m R,I → m R,I nimmt diese die Form der üblichen
Lagrangedichte in Minkowski-Raumzeit an. Wir werden von dieser Reskalierung im folgenden stillschweigend
ausgehen. Man beachte aber, daß bereits der Skalenfaktor a zu einem zeitabhängigen
Massenterm führt. Die daraus folgende Produktion von Teilchen wurde beispielsweise in [25] untersucht.
Allerdings variiert der Skalenfaktor während des Preheatings nach der Hybrid-Inflation
nur wenig, weswegen sein Einfluß in diesem Fall gering ist.
Aus der Lagrangedichte (B.29) mit den obigen Reskalierungen folgt die Dirac-Gleichung. Im Unterschied
zur üblichen Situation ist der Massenterm jedoch zeitabhängig. Die Zeitkoordinate ist
die konforme Zeit η und es ist ∂ 0 ≡ ∂ η . Die γ-Matrizen sind die üblichen Dirac-Matrizen und wir
wählen für sie die chirale Darstellung.
( i ∂/ − m R (η) − iγ 5 m I (η) ) Ψ(x) = 0 (3.40)
Nun suchen wir nach einer Zerlegung in die Fourier-Moden des Feldes Ψ. Da der Massenterm
zeitlich variiert, ist die Zeitabhängigkeit nicht dieselbe wie in der Minkowski-Raumzeit. Diese
schreiben
(
wir in die zu bestimmenden Moden-Funktionen v h ( ⃗ k, η) und u h ( ⃗ k, η) und wählen u h =
Lh
)
R h
⊗ ξh , wobei ξ h ein zweikomponentiger Eigenspinor des Helizitätsoperators ĥ sei: ĥ ξ = h ξ.
Die andere Modenfunktion ist dann durch v h ( ⃗ k, η) = 1 i γ2 u ∗ h (⃗ k, η) gegeben. Die zu bestimmenden
L h und R h sind Funktionen sowohl von ⃗ k als auch von η. Der Einfachheit halber lassen wir diese
Argumente im folgenden weg.
∫
d 3 k ∑
Ψ(x) =
(2π) 3 e −i⃗ k ⃗x [ u h ( ⃗ k, η) a h ( ⃗ k) + v h ( ⃗ k, η) b † h (−⃗ k) ] (3.41)
h=±1
Die Operatoren a h ( ⃗ k) und b † h (⃗ k) erfüllen die kanonischen Antikommutatorrelationen: {a h ( ⃗ k), a † h ′ ( ⃗ k ′ )}
= (2π) 3 δ( ⃗ k − ⃗ k ′ )δ h,h ′ und {b h ( ⃗ k), b † h ′ ( ⃗ k ′ )} = (2π) 3 δ( ⃗ k − ⃗ k ′ )δ h,h ′. Das Vakuum wird definiert durch
a|0〉 = b|0〉 = 0. Setzen wir die Zerlegung in die Dirac-Gleichung (3.40) ein, so erhalten wir
folgendes Gleichungssystem:
i∂ η L h − h| ⃗ k|L h = m R R h + im I R h
i∂ η R h + h| ⃗ k|R h = m R L h − im I L h
(3.42)

Ein komplexer Massenterm führt bekanntlich zu CP-Verletzung. Dies kann man an den Gleichungen
explizit sehen, wenn man sie unter CP konjugiert. Unter C transformieren L h → −hR ∗ h und
R h → hL ∗ h . Unter P transformieren entsprechend L h → R h , R h → L h sowie h → −h. Damit folgt
für das obige Gleichungssystem nach einer CP-Transformation, wenn man zusätzlich komplex
konjugiert:
i∂ η L h − h| ⃗ k|L h = m R R h − im I R h
i∂ η R h + h| ⃗ k|R h = m R L h + im I L h
(3.43)
Ist m I ≠ 0, so sind die Gleichungen nicht forminvariant und führen somit zu CP-Verletzung. Dieses
Ergebnis wird bei der Besprechung der Kohärenten Baryogenese noch eine wichtige Rolle spielen.
Nach diesem Abstecher bestimmen wir den Hamiltonoperator, der aus obiger Zerlegung folgt (N
steht für Normalordnung und ′ bedeutet Ableitung nach η):
∫
H = d 3 x N( Ψ † (x)i ∂
∫
= i
∫
=
mit
und
d 3 k
(2π) 3
d 3 k ∑
(2π) 3
∂η Ψ(x) )
∑
[ u † h 1
u ′ h 2
a † h 1
a h2 + u † h 1
v h ′ 2
a † h 1
b † h 2
+ v † h 1
u ′ h 2
b h1 a h2 − v † h 1
v h ′ 2
b † h 2
b h1 ]
h 1 ,h 2 =±1
h
[
Ω h ( ⃗ k, η)
(
a † h (⃗ k)a h ( ⃗ k) + b † h (−⃗ k)b h (− ⃗ ) (
k) + Λ h ( ⃗ k, η) b h (− ⃗ k)a h ( ⃗ ) ]
k) + h.c.
Ω h ( ⃗ k, η) = h| ⃗ k| ( |L h | 2 − |R h | 2) + mL ∗ hR h + m ∗ L h R ∗ h
Λ h ( ⃗ k, η) = 2| ⃗ k|L h R h − hm ∗ L 2 h + hmR 2 h
(3.44)
Es ist m ≡ m R + im I . Im letzten Schritt haben wir die obigen Ausdrücke für u h ( ⃗ k, η) und v h ( ⃗ k, η)
eingesetzt und (3.42) sowie ξ † h ξ h = 1 und ξ † −h ξ h = 0 benutzt. Ist zu einem Zeitpunkt η für ein ⃗ k
Λ( ⃗ k, η) ≠ 0, so ist der Hamiltonoperator offensichtlich nicht diagonal. Um ihn zu diagonalisieren,
führen wir eine Bogolyubov-Transformation zu neuen Erzeugern und Vernichtern durch:
(
â h ( ⃗ ) (
k)
ˆb†
h (−⃗ =
k)
α h ( ⃗ k) β h ( ⃗ k)
−β ∗ h (⃗ k) α ∗ h (⃗ k)
) (
a h ( ⃗ k)
b † h (−⃗ k)
)
(3.45)
Die â und ˆb erfüllen wiederum die kanonischen Antikommutatorrelationen, woraus insbesondere
|α h ( ⃗ k)| 2 +|β h ( ⃗ k)| 2 = 1 folgt. Sie definieren ein neues Vakuum durch â|0〉 ˆ = ˆb |0〉 ˆ = 0. Man kann sich
leicht davon überzeugen, daß der Hamilton-Operator diagonalisiert wird, wenn für die Koeffizienten
α und β der Bogolyubov-Transformation gilt:
(∣
1 ∣∣∣∣
α h ( ⃗ ∣
k)
∣∣∣∣ 2 β h ( ⃗ k) ∣ − β h ( ⃗ )
k)
α h ( ⃗ = Ω h( ⃗ k, η)
k) ∣ |Λ h ( ⃗ und arg(α h ( ⃗ k)) − arg(β h ( ⃗ k)) = arg(Λ h ( ⃗ k, η)) (3.46)
k, η)|
Die Zeitabhängigkeit der Koeffizienten α und β haben wir nicht explizit ausgeschrieben. Der Massenterm
verschwindet nun lange vor der Symmetriebrechung und ist insbesondere zeitlich konstant.
Der Hamiltonoperator sei durch die Operatoren a und b diagonalisiert, die das Vakuum |0〉 definieren.
Während der Symmetriebrechung nimmt der Massenterm einen nichtverschwindenden Wert
an und ist lange danach wiederum zeitlich konstant. Nach einer Bogolyubov-Transformation wird
der Hamiltonoperator nun durch die Operatoren â und ˆb diagonalisiert, die ein neues Vakuum |0〉 ˆ
definieren. Wendet man in dieser Situation den neuen Teilchenzahloperator N = â † â auf das alte
Vakuum |0〉 an, so erhält man:
〈0|â † â|0〉 = |α| 2 〈0|a † a|0〉 + β ∗ α 〈0|b a|0〉 + α ∗ β 〈0|a † b|0〉 + |β| 2 〈0|b b † |0〉 = |β| 2 (3.47)
Ist |β| 2 ≠ 0, so wurden Teilchen produziert! Dasselbe Ergebnis folgt, wenn man stattdessen ˆb †ˆb
einsetzt. Es werden folglich immer genausoviele Teilchen wie Antiteilchen produziert. Dem entspricht,
daß die Gleichungen (3.42) invariant unter einer C-Transformation sind, wie man leicht

nachprüfen kann. Für die Leptogenese spielt das keine Rolle, da die rechtshändigen Majorana-
Neutrinos ihre eigenen Antiteilchen sind. Will man jedoch Baryogenese über die Produktion von
Teilchen während des Preheatings erreichen, die nicht ihre eigenen Antiteilchen sind, so benötigt
man C-Verletzung. Wie wir noch sehen werden, gelingt dies in der Kohärenten Baryogenese mit
Hilfe einer geeigneten Massenmatrix.
Natürlich ist das Pauli-Prinzip erfüllt, was man durch 0 ≤ n h ( ⃗ k) ≡ |β h ( ⃗ k)| 2 = 1 − |α h ( ⃗ k)| 2 ≤ 1
leicht nachprüft. Unter Benutzung der ersten Gleichung in (3.46) kann man schließlich zeigen, daß
n h ( ⃗ k) = |β( ⃗ k)| 2 = 1 2 − Ω h( ⃗ k)
2ω( ⃗ k) , (3.48)
√
⃗ k2 + |m| 2 . Da wir die Gleichungen (3.42) später integrieren wollen, benötigen
wobei ω( ⃗ k) =
wir geeignete Anfangsbedingungen. Die folgenden Funktionen entsprechen einem Anfangszustand
mit verschwindender Teilchenzahl n h ( ⃗ k) = 0 und diagonalem Hamiltonoperator mit Ω h ( ⃗ k) = ω( ⃗ k)
(dies ist äquivalent zu n h ( ⃗ k) = 0) und Λ h ( ⃗ k) = 0, wie man leicht nachprüft:
L h ( ⃗ k) =
√
ω( ⃗ k) + h| ⃗ k|
2 ω( ⃗ k)
R h ( ⃗ k) =
m ∗
√
2 ω( ⃗ k) ( ω( ⃗ k) + h| ⃗ k| )
(3.49)
Nach der Hybrid-Inflation tritt noch eine andere Form des Preheatings auf, die man als tachyonisches
Preheating bezeichnet [27]. Wie wir im letzten Abschnitt beschrieben haben, wird der
effektive Massenterm des Feldes N negativ, wenn das langsam rollende Feld S den Bifurkationspunkt
S c = m G / √ 2 passiert. Das Feld N sitzt dann plötzlich auf einem Potentialberg und rollt
anschließend in eines der beiden Minima bei N = ±m G . Bei der Berechnung für Abbildung haben
wir ein Minimum ausgewählt, indem wir dem Feld N eine kleine Auslenkung in eine der beiden
Richtungen gegeben haben. Da die gesamte Entwicklung gemäß (3.6) nur für ein homogenes Feld
gilt, setzen wir insbesondere eine homogene Auslenkung voraus. Dies kann nur eine Näherung sein
und in Wirklichkeit wird das Feld durch Quantenfluktuationen in verschiedenen Bereichen des
Raumes mal in das eine und mal in das andere Minimum fallen.
Wir machen die vereinfachenden Annahmen, daß das Feld S bereits sein Minimum bei S = 0
eingenommen hat und daß außerdem das Feld N ein Singlet und reell ist. Das Wachstum der
Quantenfluktuationen von N kann man leicht verstehen, wenn man die Bewegungsgleichung für
ein skalares Feld mit negativem (tachyonischem) Massenterm hinschreibt. In einem flachen Raum
und bei Vernachlässigung der Ausdehnung des Universums gilt:
□ φ − m 2 φ = 0 (3.50)
Man findet als Lösung √ statt der ebenen Welle φ k ∝ exp(ikx) bei positivem Massenterm die Modenfunktion
φ k ∝ exp(t m 2 − | ⃗ k| 2 − i ⃗ k⃗x). Dies bedeutet, daß Fluktuationen mit | ⃗ k| < m exponentiell
anwachsen, wenn das Feld N sich auf dem Potentialberg befindet. Ist die Gesamtamplitude der
Fluktuationen bis auf den Wert m G angestiegen, so erreicht das Feld N sein Minimum. In der
Umgebung des Minimums ist der effektive Massenterm wieder positiv, so daß das Wachstum beendet
wird und die Fluktuationen beginnen, um das Minimum zu oszillieren.
Da alle Moden mit | ⃗ k| < m und damit Wellenlängen | ⃗ k| −1 > m −1 wachsen, ist das Feld zunächst
nur auf einer Skala etwas größer als m −1 relativ homogen, auf größeren dagegen inhomogen. Dazu
betrachten wir eine sinusoidale Welle im eindimensionalem Raum δφ k = A(t) sin(kx) mit k ∼ m.
Deren Amplitude wächst exponentiell an, bis der effektive Massenterm sein Vorzeichen wechselt,
was in der Nähe des Minimums v des Potentials geschieht. Das Universum teilt sich dann auf in
Domänen der Größe O(m −1 ), in denen der Wert des Feldes von O(v) zu −O(v) wechselt. Entsprechend
wird auch der Wert des Feldes N von einem Bereich der Größe O(m −1 ) zu einem anderen
zwischen O(m G ) und −O(m G ) wechseln. Getrennt werden diese Bereiche durch Domänenwände.
Im weiteren Verlauf wachsen die Domänen dann und fressen“ sich gegenseitig auf, weswegen die
”
Verteilung auch auf größeren Skalen homogen wird.
Tatsächlich verläuft die Entwicklung etwas anders, wenn man zusätzlich die Bewegung des Feldes
S berücksichtigt. Im übrigen werden bei der Symmetriebrechung der Flipped SU(5) weder

Domänenwände noch andere topologische Defekte erzeugt. Die wesentliche Eigenschaft bleibt aber
bestehen, daß man es statt einer homogenen Verteilung mit einer Überlagerung verschiedener Moden
zu tun hat. Die Inhomogenitäten entziehen dem Feld einen Teil seiner Energie, weswegen die
Amplitude der Oszillationen von N schnell abnimmt. Die bei der Besprechung des Reheatings
angenommene lange Phase der Inflatonoszillationen existiert deswegen nach der Hybrid-Inflation
nicht. Da nicht nur die Nullmode sondern alle Moden mit | ⃗ k| < m wachsen, hat man außerdem
keine kohärente Überlagerung ruhender Inflaton-Quanten, sondern ein Gemisch aus Quanten des
Feldes N mit Impulsen | ⃗ k| < m. Diese Produktion von Teilchen durch die tachyonische Masse
ist der Grund für die Bezeichnung ”
Tachyonisches Preheating“. Wie das homogen oszillierende
Inflaton zerfallen auch diese Teilchen weiter. Da die Teilchen in guter Näherung nichtrelativistisch
sind, kann man die Formel (3.9) als Abschätzung der Reheat-Temperatur weiter verwenden. Statt
des oszillierenden Inflatons, das sich wie nichtrelativistische Materie verhält, hat man nun ein Gemisch
aus Quanten des Feldes N, das sich in guter Näherung in genau dieser Weise verhält. Davon
ausgehend kann man die Herleitung der Formel (3.9) wiederholen.
Dennoch ist die Trennung in eine Phase des nichtperturbativen Zerfalls des Inflatons während
des Preheatings (insbesondere des tachyonischen Preheatings) und eine anschließende Phase des
perturbativen Zerfalls natürlich nur eine Näherung. Insbesondere sind wir bei der Besprechung des
Preheatings von klassischen Gleichungen ((3.40) und (3.50)) für ein Feld ausgegangen und haben
keine Loop-Effekte und mit Ausnahme des zeitabhängigen Massenterms auch keine Wechselwirkungen
mit anderen Feldern berücksichtigt. Wichtig ist in diesem Zusammenhang die Rückreaktion
der erzeugten Teilchen χ auf das Inflaton φ, besonders durch Streuung χφ → χφ. Bei der Herleitung
der Formel (3.9) für die Reheat-Temperatur haben wir außerdem eine sehr schnelle Thermalisierung
der Zerfallsprodukte des Inflatons vorausgesetzt. Für eine vollständigere Beschreibung muß
man über diese Näherungen hinausgehen. In [27] wurde dazu davon Gebrauch gemacht, daß sich
bosonische Quantenfelder mit großen Besetzungszahlen als klassische Wellen interpretieren lassen.
Deren Dynamik lässt sich durch relativistische Wellengleichungen auf einem Gitter simulieren. Die
oben wiedergegebenen Ergebnisse bezüglich des tachyonischen Preheatings wurden auf diese Art
gewonnen.
In [28] wurde mit der gleichen Methode Preheating, Reheating sowie die anschließende Thermalisierung
von Bosonen in verschiedenen Modellen untersucht. Unter anderem wurde ein Szenario
der chaotischen Inflation betrachtet, mit dem langsam rollenden Feld φ, einem an φ gekoppelten
Feld χ sowie mehreren an χ gekoppelten Feldern σ i . Ein anderes untersuchtes Szenario war das
der Hybrid-Inflation mit einem Potential aus dem Superpotentialterm ∝ Φ(¯ΣΣ − v 2 ) sowie einer
Kopplung eines weiteren Feldes χ an Σ. Zwar sind die Ergebnisse modellabhängig, dennoch konnte
aus diesen und anderen Modellen ein Satz von Regeln abgeleitet werden, der in allen untersuchten
Fällen zutraf. Diese Regeln gebe ich nun (in freier Übersetzung) wider:
1. In vielen, wenn nicht allen Modellen der Inflation existiert ein Mechanismus, um Fluktuationen
zumindest eines Feldes χ exponentiell zu verstärken. Diese Mechanismen regen
hauptsächlich langwellige Fluktuationen an und erzeugen somit ein Spektrum im infraroten
Bereich.
Zwei solche Mechanismen haben wir oben besprochen: Zum einen das Preheating, das durch
einen zeitabhängigen Massenterm verursacht wird, und zum anderen das tachyonische Preheating,
das durch einen negativen Massenterm entsteht.
2. Das Feld χ anzuregen ist ausreichend, um schnell andere leichte Felder, mit denen χ wechselwirkt,
in einen ähnlich angeregten Zustand zu versetzen.
Je nach Modell kann man dies als Preheating oder auch als Reheating interpretieren. Ein
Indikator ist die Teilchenzahl des Feldes χ. Nimmt diese ab, wenn die der anderen Felder
zunimmt, so kann man dies als direkten Zerfall deuten.
3. Die angeregten Felder gruppieren sich abhängig von der Stärke der Kopplungen in Untergruppen
mit identischen Charakteristiken (Spektren, Besetzungszahlen, effektive Temperaturen).
Es wurde insbesondere die Beobachtung gemacht, daß Felder innerhalb einer Untergruppe
schneller thermalisieren, wahrscheinlich weil sie mehr Möglichleiten zur Interaktion haben.

4. Sobald die Felder angeregt sind, nähern sie sich dem thermischen Gleichgewicht durch Streuung
von Energie in Moden mit höherem Impuls.
Dies kann man sehr gut am Spektrum der Besetzungszahlen n( ⃗ k) beobachten. Da hauptsächlich
langwellige Flutuationen angeregt werden, entsteht ein Spektrum mit hohen Besetzungszahlen
im Infraroten und einem Cutoff zum Ultravioletten hin. Durch Streuung kombinieren
Teilchen mit niedrigen Impulsen zu solchen mit höheren. Dadurch verschiebt sich der Cutoff
mehr und mehr ins Ultraviolette, wohingegen die Besetzungszahlen im Infraroten abnehmen
und das Spektrum sich dem einer thermischen Verteilung annähert.
Ähnliche Ergebnisse werden in Ref. [29] auch durch Anwendung der kinetischen Wellentheorie
erzielt. Die bisherigen klassischen Methoden sind auf Bosonen beschränkt und nur bei hohen Besetzungszahlen
anwendbar. Zu einer allgemeingültigeren Beschreibung kommt man mit Hilfe der
Nichtgleichgewichts-Quantenfeldtheorie (für eine Einführung siehe beispielsweise [30]). Aus der
2PI effektiven Wirkung Γ[φ, G] erhält man Entwicklungsgleichungen für die Ein- und Zweipunkt-
Funktionen von bosonischen und fermionischen Feldern sowie Eichfeldern. Diese Entwicklungsgleichungen
sind exakt, jedoch benötigt man für praktische Rechnungen eine Trunkierung. Geeigneter
als eine Entwicklung in den Kopplungskonstanten ist meist eine Entwicklung in 1/N, wobei N die
Zahl der Felder ist. Mit dieser Methode konnte jüngst das Preheating über Parametrische Resonanz
1 [31] sowie das Tachyonische Preheating [32] in einem skalaren O(N)-symmetrischen Modell
untersucht werden.
1 Entscheidend für die Parametrische Resonanz ist ein oszillierender Massenterm. Dies ist die in der Literatur
wohl am häufigsten untersuchte Form des Preheatings. Da der Massenterm nach der Hybrid-Inflation jedoch nur
wenig oszilliert, ist die Parametrische Resonanz in diesem Fall nicht sehr effektiv. Man vergleiche dazu wieder die
beiden Paper aus Ref. [24].

Kapitel 4
Baryogenese
4.1 Überblick
Auf der Erde gibt es keine Antimaterie, sieht man von kleinsten Mengen aus Teilchenbeschleunigern,
kosmischer Strahlung usw. ab. Die Entstehung der Antimaterie in der kosmischen Strahlung
wiederum lässt sich durch Hochenergiestöße erklären, die diese auf dem Weg zu uns ausführt. Deswegen
kann man bedeutende Mengen an Antimaterie auch in unserem Sonnensystem und darüber
hinaus in unserer Galaxie ausschliessen. Selbst auf wesentlich größeren Skalen scheint es keine
Antimaterie zu geben. Würden beispielsweise Galaxien aus Materie und Antimaterie gemeinsam
in Galaxienhaufen vorkommen, so müsste man γ-Strahlung wahrnehmen können, die durch Annihilation
von Teilchen und Antiteilchen aus dem intergalaktischen Gas entsteht. Aus diesen und
anderen Gründen (siehe [33]) kann man die Existenz bedeutender Mengen an Antimaterie im
sichtbaren Universum mit großer Sicherheit ausschließen.
Unabhängig davon kann man den Grad der Asymmetrie zwischen Baryonen und Antibaryonen
auch quantitativ bestimmen. Man erinnere sich dazu an die Definition (B.26) der Baryonenasymmetrie
η B . Wie wir in Anhang B.1 zeigen, bleibt diese Größe erhalten, solange keine die Baryonenzahl
verletzenden Prozesse auftreten und keine Entropie produziert wird. Ist dies insbesondere seit
der Phase der Nukleosynthese der Fall gewesen, so ist η B seitdem konstant geblieben. Die Theorie
der Nukleosynthese macht nun präzise Vorhersagen über das Vorkommen der leichten Elemente
H, Deuterium, 3 He, 4 He, B und 7 Li im Universum, die von η B abhängen. Insbesondere sind die
gemessenen Vorkommen an Deuterium und 3 He mit folgendem Wert von η B verträglich:
7.2 · 10 −11 < η B < 1.7 · 10 −10 (4.1)
Einen ähnlichen Wert erwartet man auch für die Leptonenasymmetrie η L . Da das Universum keine
elektrische Nettoladung aufzuweisen scheint, sollte insbesondere die Asymmetrie zwischen Elektronen
und Positronen von gleicher Größe sein wie diejenige zwischen Protonen und Antiprotonen.
Begann das Universum mit η B = 0, was eine natürliche Anfangsbedingung ist, so muss die Baryonenasymmetrie
im frühen Universum erzeugt worden sein. A. Sakharov wies 1967 darauf hin[34],
daß dies möglich war, wenn zeitweise die folgenden drei Bedingungen erfüllt waren:
• Verletzung der Baryonenzahl B
• Verletzung von C (Ladungskonjugation) und CP (kombinierte Ladungskonjugation und Paritätstransformation)
• Abweichung vom thermischen Gleichgewicht
Die erste Forderung ist offensichtlich. Wir haben bereits in Abschnitt B.1 gezeigt, daß η B erhalten
bleibt, solange keine B-verletzenden Prozesse auftreten. Entsprechend bedarf es L-verletzender
Prozesse, um eine Leptonenasymmetrie η L zu generieren. Ist weiterhin C erhalten, so bleibt die
Wahrscheinlichkeit einer Reaktion i → f gleich, wenn man alle Teilchen durch ihre Antiteilchen
46

ersetzt. Generiert die eine Reaktion eine positive B-Asymmetrie, dann generiert die andere mit
gleicher Wahrscheinlichkeit eine negative B-Asymmetrie und die Summe bleibt konstant. Aus
der Erhaltung von CP folgt andererseits wegen des CPT-Theorems die Erhaltung von T. Die
Wahrscheinlichkeit einer Reaktion i → f ist dann genauso groß wie die der inversen Reaktion
f → i und wieder wird keine B-Asymmetrie erzeugt. Anders formuliert transformiert B ungerade
unter C und CP:
B −→ −B (4.2)
C,CP
Sind C oder CP erhalten, ist folglich B = 0. Entsprechend kann man auch die letzte Forderung
verstehen, wenn man den Erwartungswert von B im thermischen Gleichgewicht berechnet. Es gilt:
〈B〉 T = tr(e −βH B) = tr( (CPT)(CPT) −1 e −βH B)
= tr(e −βH (CPT) −1 B (CPT)) = − tr(e −βH B) = −〈B〉 T (4.3)
Dabei haben wir die Zyklizität der Spur benutzt, sowie daß der Hamilton-Operator H mit CPT
kommutiert und außerdem, daß B gerade unter einer T-Transformation ist. Im Gleichgewicht wird
anders formuliert jede Asymmetrie durch inverse Reaktionen wieder ”
ausgewaschen“.
Die einzelnen Sakharov-Kriterien können auf verschiedene Art erfüllt werden. Wie wir in Abschnitt
2.1 erläutert haben, treten B- und L-verletzende Prozesse in Vereinheitlichungstheorien auf. Eine
andere Möglichkeit zur Verletzung der Leptonenzahl ist eine Majorana-Masse für das rechtshändige
Neutrino (oder auch das linkshändige, siehe Fussnote 2), die nicht zwangsläufig aus einer Gut
resultieren muss. Doch schon im Standardmodell treten durch Anomalien Prozesse auf, die die
Kombination B+L verletzen, die Kombination B−L jedoch erhalten. Die Wahrscheinlichkeit dieser
sogenannten Sphaleronen ist zwar bei verschwindender Temperatur mit e −4π/α w
stark unterdrückt.
Mit der Temperatur steigt jedoch die Wahrscheinlichkeit, die schließlich bei 100 GeV nicht mehr
exponentiell unterdrückt ist. Jeder Sphaleronen-Übergang erzeugt 9 linkshändige Quarks (in 3
Farben für jede Generation) und 3 linkshändige Leptonen (eines pro Generation). Eine genaue
Analyse zeigt [35], daß dies bei höheren Temperaturen als 100 GeV (wenn die elektroschwache
Symmetrie ungebrochen ist), und wenn die Sphaleronen im Gleichgewicht sind, rasch zu einer
Umverteilung einer (B − L)-Asymmetrie in folgende B- und L-Asymmetrien führt:
B = 32 (B − L) L = −60(B − L) (4.4)
92 92
Dabei haben wir drei Generationen und zwei komplexe elektroschwache Higgs-Doublets angenommen.
Insbesondere bleibt die Kombination B − L erhalten. Wird nun bei hohen Temperaturen
durch einem Mechanismus eine Asymmetrie B = L erzeugt, so daß B − L = 0, dann wird diese
Asymmetrie durch die Sphaleronen rasch wieder ”
ausgewaschen“. Die erste Sakharov-Bedingung
sollte man deswegen bei Temperaturen über der elektroschwachen Skala durch die Forderung nach
(B − L)-Verletzung ersetzen.
Die CKM-Matrix hat bekanntlich eine komplexe Phase, die zu CP-Verletzung führt. Entsprechend
können auch in allgemeineren Situationen Yukawa-Kopplungen, deren Phasen man durch
Redefinition der Felder nicht absorbieren kann, zu CP-Verletzung führen. Weiterhin ist C im Standardmodell
verletzt, da nur linkshändige Teilchen an die SU(2) L koppeln. In Abschnitt 2.2 haben
wir erläutert, daß man die Standardmodellteilchen in komplexe Darstellungen einer Gut einbetten
muss. Aus diesem Grund ist C-Verletzung auch bei einer Gut gegeben.
Schließlich gibt es auch verschiedene Arten, eine Abweichung vom thermischen Gleichgewicht zu
erhalten. Einigen davon werden wir gleich bei der Besprechung der Leptogenese begegnen.
4.2 Leptogenese
In diesem Abschnitt verwenden wir einige Resultate aus einer Doktorarbeit von K. Hamaguchi
[36]. Insbesondere die Formeln (4.14), (4.15) und (4.18) sind dieser Arbeit entnommen. Außerdem
sei darauf verwiesen, daß wir des öfteren Formeln aus dem Anhang B.1 verwenden. Wir gehen

vom Mssm 1 aus und erweitern es lediglich um rechtshändige Neutrinos mit einer sehr großen
Majorana-Masse m M . Im Superpotential stehen dann die Terme
W ⊃ λ ij
ν (l i · h u ) ν c j + 1 2 m Miν c i ν c i , (4.5)
Die Indizes i, j = 1, 2, 3 bezeichnen die drei Familien und l und h u sind das Lepton- bzw. eines der
beiden elektroschwachen Higgs-Doublets, deren SU(2) L -Indizes wir weglassen. Für die rechtshändigen
Neutrinos wählen wir eine Basis, in der die Majorana-Massenmatrix bereits diagonal ist mit
reellen Eigenwerten. In der Lagrangedichte folgen aus diesem Superpotential insbesondere die
Terme:
L ⊃ −λ ij
ν (Ψ li · h u ) Ψ ν c
j
− λ ij
ν (l i · Ψ hu ) Ψ ν c
j
− 1 2 m MiΨ ν c
i
Ψ ν c
i
+ h.c. (4.6)
Da das rechtshändige Neutrino überwiegend Majorana-Charakter hat, trägt es die Leptonenzahl
0. Indem der Majorana-Massenterm Übergänge Ψ ν c
i
↔ Ψ ν c∗ ermöglicht, entstehen zwei mögliche
i
Zerfallskanäle für das rechtshändige Neutrino
Ψ ν c
i
−→ l ∗ j + h ∗ u
−→ l j + h u ,
(4.7)
wobei auf der rechten Seite jeweils ein Teilchen skalar und das andere fermionisch ist. Wie
man sieht, ist die Leptonenzahl bei diesen Zerfällen verletzt und damit eine der drei Sakharov-
Bedingungen erfüllt. Genauer formuliert hat der Eigenzustand bezüglich des Majorana-Massenterms,
nämlich der 4-Spinor
)
χ i ≡
(
Ψν c
i
Ψ † ν c i
die beiden eben aufgeführten Zerfallskanäle. Da deren Wahrscheinlichkeit auf Tree-Level gleich
ist, wird in erster Ordnung keine Leptonenasymmetrie erzeugt. Auf Loop-Ebene jedoch treten
CP-verletzende Beiträge auf, wenn die relevanten Yukawa-Kopplungen komplexwertig sind, und
führen zu der Erzeugung einer Leptonenasymmetrie. Auf Ein-Loop-Ebene sind dies Vertex- und
Selbstenergie-Korrekturen. Die wegen der CP-Verletzung aus dem Zerfall von χ i folgende Leptonenasymmetrie
wird durch den folgenden Parameter gegeben:
,
ɛ i ≡ Γ(χ i → l + h u ) − Γ(χ i → l ∗ + h ∗ u)
Γ(χ i → l + h u ) + Γ(χ i → l ∗ + h ∗ u)
(4.8)
Die Zerfallsbreiten Γ seien bereits über die drei Lepton-Familien l i sowie über die beiden möglichen
Zerfälle (Ψ l + h u und l + Ψ hu ) summiert. Addiert man die Ein-Loop-Korrekturen, so hat ɛ i
folgende Form [37]:
ɛ i = − 1
8π
1 ∑
(λ ν λ † ν) ii
j≠i
I [ {(λ ν λ † ν) ij } 2] [ f V (
m
2
Mj
m 2 Mi
mit f V (x) = √ x ln(1 + 1 x ) und f S (x) = 2√ x
x − 1
)
+ f S (
m
2
Mj
m 2 Mi
für Susy
Für nicht-Susy haben die Funktionen eine etwas andere Form [37]. Wir nehmen nun eine Massenhierarchie
m M1 ≪ m M2 , m M3 an und beschränken uns auf den Zerfall des χ 1 . Die Gleichung
für ɛ 1 vereinfacht sich damit wegen x ≫ 1 in den Funktionen f V und f S zu:
ɛ 1 ≃ − 3
8π
1 ∑
(λ ν λ † ν) 11
i=2,3
)]
(4.9)
I [ {(λ ν λ † ν) 1i } 2] m M1
m Mi
(4.10)
1 Das Mssm ist für die Leptogenese nicht entscheidend und man kann auch das Standardmodell nehmen. Da
wir die Ergebnisse später auf die supersymmetrische Flipped SU(5) anwenden wollen, setzen wir von vornherein
Supersymmetrie voraus.

Wir werden diese Formel nun so umformen, daß sie die leichten Neutrinomassen enthält, die durch
Daten aus den Neutrinooszillationen eingeschränkt werden können. Durch die elektroschwachen
Symmetriebrechung nimmt eine Komponente von h u den Vakuumerwartungswert v an und die
Neutrinos erhalten Dirac-Massen. Nehmen wir sehr große Majorana-Massen der rechtshändigen
Neutrinos an, so kann man diese ausintegrieren. Die Majorana-Massen der linkshändigen Neutrinos
lauten dann mit der Notation m M ≡ diag(m M1, m M2 , m M3 ) und m ν sowie λ ν ebenfalls Matrizen:
m ν = −v 2 λ T ν m −1
M λ ν (4.11)
Mit dieser Gleichung und wenn man außerdem I [ {(λ ν λ † ν) 11 } 2] = 0 benutzt, kann man (4.10)
weiter umformen:
ɛ 1 ≃ − 3
8π
m M1
(λ ν λ † ν) 11
I [ (λ ν λ † ν m −1
M λ∗ ν λ T ν ) 11
]
=
3
8π
1
v 2
m M1
(λ ν λ † I [ (λ ν m ∗ ν λ T ]
ν ) 11
ν) 11
(4.12)
Die Massenmatrix m ν kann man mit der unitären MNS-Matrix U gemäß m ν = U ˜m ν U T diagonalisieren,
wobei ˜m ν = diag(m ν1 , m ν2 , m ν3 ) die diagonale Massenmatrix ist mit Eigenwerten oBdA
m ν1 < m ν2 < m ν3 . Definieren wir noch die rotierte Matrix ˜λ ν = λ ν U ∗ , so können wir (4.12)
weiter umformen zu:
ɛ 1 ≃ 3 m I M1
8π v 2
mit δ eff =
[
(˜λ ν ˜m ∗ ν ˜λ T ν ) 11
]
= 3 m M1
(˜λ ν˜λ† ν ) 11
8π v 2 m ν3 δ eff
[
]
(4.13)
I {(˜λ ν ) 13 } 2 + m ν2
m ν3
{(˜λ ν ) 12 } 2 + m ν1
m ν3
{(˜λ ν ) 11 } 2
|(˜λ ν ) 13 | 2 + |(˜λ ν ) 12 | 2 + |(˜λ ν ) 11 | 2
Wie man dem Ausdruck entnimmt, ist δ eff immer ≤ 1 und im allgemeinen O(1). Setzt man den
Vakuumerwartungswert v ≈ 170 GeV ein, so erhält man für ɛ 1 die Beziehung:
(
ɛ 1 ≃ 2.1 · 10 −10 m
) (
M1 mν3
)
10 6 δ eff (4.14)
GeV 0.05 eV
Nun haben wir die ersten beiden Sakharov-Bedingungen erfüllt. Die Umsetzung der dritten Bedingung,
Abweichung vom thermischen Gleichgewicht, ist abhängig vom Mechanismus, mit dem
die rechtshändigen Neutrinos erzeugt werden.
Thermische Produktion Dies ist das ursprüngliche Szenario der Leptogenese [38] und hat
den Vorteil, nur wenige zusätzliche Annahmen zu erfordern. Das rechtshändige Neutrino χ entsteht
bei hohen Temperaturen T ≥ m M im thermischen Gleichgewicht. Sei nun die Zerfallsbreite
Γ χ von χ kleiner als die Hubble-Zahl H, wenn die Temperatur unter m M fällt: Γ χ < H(T = m M ).
Dann dehnt sich das Universum schneller aus, als die χ zerfallen können, und bis zu ihrem Zerfall
sind mehr χ vorhanden, als man im Gleichgewicht erwarten würde. Dies ist die Abweichung
vom Gleichgewicht und die anschließend zerfallenden χ führen zu einer Leptonenasymmetrie. Wir
werden uns im folgenden auf den Zerfall des leichtesten rechtshändigen Neutrinos χ 1 beschränken.
Die schwereren χ 2 und χ 3 zerfallen nämlich bereits vor dem χ 1 in eine Leptonenasymmetrie. Man
kann zeigen, daß diese Leptonenasymmetrie in den meisten Fällen durch die χ 1 wieder ausgewaschen
wird, weswegen nur der Zerfall der χ 1 einen Beitrag leistet. Mit den Gleichungen (B.22) und
(B.23) gilt für den Gleichgewichtswert n eq
χ 1
/s:
n eq
χ 1
s = 3 4
45ζ(3) g χ1
2π 4 ≃ 1
g ∗ 560
(4.15)
Dabei ist g χ1 = 2 die Zahl der Spinfreiheitsgrade von χ 1 . Multipliziert man (4.15) mit ɛ 1 , so
erhält man die maximal durch den Zerfall erzeugte Leptonenasymmetrie. Tatsächlich aber wird
die Asymmetrie durch die Zerfälle teilweise wieder ausgewaschen. Diesen Effekt berücksichtigen wir

durch einen Faktor ξ ≤ 1. Den genauen Wert von ξ bestimmt man durch die Integration gekoppelter
Boltzmann-Gleichungen, die die Entwicklung der Teilchenzahldichten n χ1 und n L beschreiben
und die verschiedenen Zerfälle und inversen Zerfälle berücksichtigen. Die Leptonenasymmetrie
wird durch die Sphaleronen nach (4.4) teilweise zu einer Baryonenasymmetrie transformiert und
insgesamt gilt:
η B = n B
s
≃ ɛ 1 ξ
(
1600 ≃ 1.3 · mM1
) ( mν3
)
10−10 ξ δ eff
10 9 (4.16)
GeV 0.05 eV
Dieses Szenarium hat den Nachteil, daß dafür die Temperatur T in der Entwicklung des Universums
einmal m M1 überstiegen haben muss: T > m M1 . Dies ist in supersymmetrischen Theorien
mit Inflation meist nicht der Fall, da die Reheat-Temperatur zur Vermeidung des Gravitino-
Problems nicht zu hoch sein darf. Im Fall der Flipped SU(5) entnehmen wir (3.38) mit κ ≈ 10 −3 ,
m G ≈ 10 16 GeV und m p ≃ 10 19 GeV die Beziehung m M ≈ 5 · T RH für die Masse des schwersten
rechtshändigen Neutrinos, in das das Inflaton noch zerfallen kann. Nehmen wir nun an, daß es
sich dabei um das leichteste rechtshändige Neutrino handelt und also m S,N < 2 m M2 , 2 m M3 gilt,
dann ist die thermische Produktion nach der Inflation nicht möglich. Wir werden deswegen dieses
Szenarium nicht weiter untersuchen. Nach einer Phase der Inflation gibt es aber zwei andere Mechanismen
zur Erzeugung einer großen Menge an rechtshändigen Neutrinos, die wir jetzt vorstellen.
Produktion durch Reheating Wie in Kapitel 3 beschrieben wurde, zerfällt das Inflaton
nach der Inflation in andere Teilchen und heizt das Universum wieder auf. Koppelt das Inflaton
φ an das rechtshändige Neutrino χ und ist der Zerfall kinematisch erlaubt (m φ > 2 m M ), so
entstehen auch rechtshändige Neutrinos durch das Reheating. Für die Flipped SU(5) mit Hybrid-
Inflation haben wir gesehen, daß das Higgs beim Reheating sogar hauptsächlich in rechtshändige
Neutrinos zerfällt und auch die Abschätzung der Reheat-Temperatur (3.9) dadurch bestimmt wird.
Setzen wir im folgenden wieder voraus, daß nur der Zerfall in das leichteste rechtshändige Neutrino
kinematisch erlaubt ist (m φ < 2 m M2 , 2 m M3 ) und die Reheat-Temperatur zu klein ist, um
rechtshändige Neutrinos thermisch zu erzeugen (T RH < m M1 ). Wie wir oben gesehen haben, ist die
letzte Annahme in der Flipped SU(5) erfüllt. Die durch Inflaton-Zerfall entstandenen χ sind dann
ausserhalb des Gleichgewichts und die dritte Sakharov-Bedingung ist erfüllt. Eine Abschätzung
des dabei entstehenden Verhältnisses n χ1 /s erhält man durch
n χ1
s
≃ ρ rad
s
· nφ
ρ φ
· nχ 1
n φ
, (4.17)
wobei ρ rad die Energiedichte der Strahlung direkt nach dem Inflaton-Zerfall ist, n φ und ρ φ die
Teilchenzahldichte bzw. Energiedichte des Inflatons direkt vor dem Inflaton-Zerfall sind und wir
ρ rad ≃ ρ φ benutzt haben. Führen wir nun das Verzweigungsverhältnis B r ≡ B r (φ → χ 1 χ 1 ) des
Zerfalls des Inflatons in χ 1 ein und benutzen ρ φ = n φ m φ sowie die Gleichungen (B.21) und (B.22),
so folgt:
n χ1
s ≃ 3 T RH
B r (4.18)
2 m φ
Für die Berechnung der Leptonen- und der daraus folgenden Baryonenasymmetrie ist es wichtig
zu wissen, wie schnell die Neutrinos nach dem Reheating zerfallen. Zerfallen sie sehr schnell,
so ergibt sich die Leptonenasymmetrie durch Multiplikation von (4.18) mit ɛ 1 und anschließend
die Baryonenasymmetrie durch Multiplikation mit dem Faktor aus (4.4). Zerfallen sie dagegen
nur langsam und insbesondere erst, nachdem sie nichtrelativistisch geworden sind, so kann ihre
Energiedichte diejenige des Universums dominieren. In diesem Fall muss man die Entwicklung der
Energiedichten genauer verfolgen. Da wir die Ergebnisse auf die Flipped SU(5) anwenden wollen,
untersuchen wir diese Frage für die Flipped SU(5). Die folgenden Terme im Superpotential (2.41)
sind für den Zerfall des rechtshändigen Neutrinos relevant:
W ⊃ λij ν
F i j ¯HF ¯H + λ
ij
M u F i ¯f
j¯h + λ
ij
d F i F j h (4.19)
S
Aus dem ersten Term folgende Zerfälle hätten als Zerfallsprodukt immer auch zwei Teilchen aus
den Multipletts H bzw. ¯H. Die Massen der Teilchen aus den Multipletts H und ¯H betragen

g 5 m G , 2κm G und √ 32λ H m G bzw. √ 32λ ¯Hm G . Wie wir bei der Diskussion des Inflaton-Zerfalls
in Abschnitt 3.2 gesehen haben, darf das leichteste rechtshändige Neutrino wegen der Reheat-
Temperatur höchstens eine Masse von 10 10 GeV haben. Sind die Kopplungskonstanten λ H und
λ ¯H nicht unnatürlich klein, so sind Zerfälle des leichtesten rechtshändigen Neutrinos in Teilchen
aus den Multipletts H und ¯H kinematisch verboten. Der zweite Term enthält das rechtshändige
Neutrino in folgender Kombination:
λ ij
d F i F j h ⊃ 4 λ ij
d D k d ci
k ν cj + i ↔ j (4.20)
Zerfälle über diesen Beitrag würden ein Teilchen aus dem Farb-Triplet D i beinhalten, dessen Masse
√
32λH m G beträgt. Unter der gerade gemachten Voraussetzung an die Kopplungskonstante λ H
sind auch diese Zerfälle verboten. Der zweite Term schließlich enthält folgende Beiträge ∝ ν c :
λ ij
u F i ¯f
j¯h ⊃ λ
ij
u [ ν j h 0 u − e j h + u ] ν ci (4.21)
Die Zerfallsbreite des rechtshändigen Neutrinos wird durch diesen Beitrag bestimmt und beträgt,
Γ(ν ci → ν j + h 0 u) = Γ(ν ci → e j + h + u ) = 1
4π λij u
2
λ
ii m 2 G
ν = 1
M S
8π λij u
2
mMi (4.22)
wobei auf der rechten Seite der Pfeile jeweils ein Teilchen skalar und das andere fermionisch ist.
Diese Zerfallsbreite muss man mit derjenigen der S und N vergleichen. Nach (3.36) ist sie durch
Γ(N → Ψ ∗ ν ci + Ψ∗ ν ci) = Γ(S → νci + ν ci ) = κ π
m 2 Mi
m G
(4.23)
gegeben. Da nun der größte Eintrag der Matrix λ ij
u von der Ordnung 1 sein sollte und außerdem
m G ≫ m Mi und κ = O(10 −3 ) gilt, ist die Zerfallsbreite der χ deutlich größer als diejenige der S
und N. In der Flipped SU(5) zerfallen die rechtshändigen Neutrinos also sehr schnell während des
Reheatings und für die Baryonenasymmetrie gilt:
η B = n B
s ≃ 3 4 · 32 ɛ 1
92 κ
T RH
m G
( )( )( )
B r ≃ 5.5 · 10 −10 TRH mM1 mν3
κm G 10 7 B r δ eff
GeV 0.05 eV
(
)( )( (4.24)
≃ 2.8 · 10 −10 T
√ RH TRH mν3
)B
κ3 m p m G 10 6 r δ eff
GeV 0.05 eV
Im letzten Schritt haben wir (3.37) für die Reheat-Temperatur benutzt. Wie in Abschnitt 3.3
erläutert wurde, entstehen durch das Tachyonische Preheating hauptsächlich Quanten des Feldes
N, die wiederum hauptsächlich in rechtshändige Neutrinos zerfallen. Für das Verzweigungsverhältnis
B r gilt deswegen B r ≃ 1. Den Daten zu den Neutrinooszillationen entnimmt man, daß das
Verhältnis m ν3 / 0.05 eV ungefähr 1 ist. Mit κ ≈ 10 −3 , m G ≈ 10 16 GeV und m p ≃ 10 19 GeV folgt:
η B = n ( ) 2
B
s ≃ 2.5 · TRH
10−11
10 9 δ eff (4.25)
GeV
Selbst für δ eff ≃ 10 −1 kann die Leptogenese die Baryonenasymmetrie bei einer Reheat-Temperatur
T RH ≃ 2 · 10 9 GeV noch erklären. Das Ergebnis ist aber abhängig vom genauen Wert von κ, da
η B ∝ κ −3/2 . Die Abhängigkeit vom genauen Wert der Vereinheitlichungsskala m G ist weniger ausgeprägt,
da η B ∝ m −1/2
G
.
Produktion durch Preheating Rechtshändige Neutrinos können in großer Zahl auch durch
die dem (perturbativen) Reheating vorausgehende nichtperturbative Phase des Preheatings produziert
werden. Nehmen wir an, daß die durch das Preheating produzierten rechtshändigen Neutrinos
vor dem Reheating zerfallen. Ist dies nicht der Fall, so dominieren die rechtshändigen Neutrinos
bei ihrem Zerfall unter Umständen die Energiedichte des Universums. Eine genauere Untersuchung
der Entwicklung der Energiedichten ist dann notwendig. Wie wir gerade gesehen haben, ist in der

Tabelle 4.1: Majorana-Massen und Teilchenzahldichten
m M 8.3 · 10 10 GeV 1.8 · 10 14 GeV 9.1 · 10 14 GeV
n (0)
χ 1.0 · 10 −15 · m 3 G 3.9 · 10 −9 · m 3 G 8.2 · 10 −10 · m 3 G
Flipped SU(5) die Zerfallsbreite der χ wesentlich größer als diejenige der S und N, weswegen die
Voraussetzung in der Flipped SU(5) erfüllt ist. Durch das Preheating wird die Teilchenzahldichte
n (0)
χ an rechtshändigen Neutrinos erzeugt. Diese wiederum zerfallen in eine Leptonenasymmetrie,
was wir durch Multiplikation mit ɛ berücksichtigen. Die Leptonenasymmetrie schließlich wird
durch die Sphaleronen gemäß (4.4) teilweise zu einer Baryonenasymmetrie transformiert. Sei n (0)
B
das Produkt dieser drei Faktoren:
≡ ɛ32 χ (4.26)
n (0)
B
92 n(0)
Der dominante Anteil der Entropiedichte s entsteht beim Reheating, weswegen zur Berechnung von
n/s der Wert der Teilchenzahldichte beim Reheating entscheidend ist. Nach der Hybrid-Inflation
dehnt sich das Universum während des Preheatings nur wenig aus. Der Skalenfaktor bleibt folglich
währenddessen nahezu konstant und wir können ihn mit demjenigen beim Ende der Inflation
gleichsetzen. Bezeichnen wir diesen Skalenfaktor mit R 0 sowie denjenigen beim Reheating mit
R R , so gilt wegen n ∝ R −3 :
η B = n B
s
= n(0) B
s
(
R0
R R
) 3
(4.27)
Zwischen dem Ende der Inflation und dem Reheating dehnt sich das Universum materiedominiert
aus. Aus R ∝ t 2/3 folgt dann H = 2/3t und daraus wiederum H ∝ R −3/2 . Sei nun ρ 0 die
Energiedichte des Universums am Ende der Inflation sowie ρ R diejenige beim Reheating und H 0
und H R die entsprechenden Hubble-Parameter. Da die Energiedichte durch Materie dominiert
wird, folgt aus (B.11) ρ ∝ R −3 und daraus H 2 ∝ ρ. Benutzt man nun noch (B.21) und (B.22), so
erhält man:
η B = n B
s
= n(0) B
s
(
HR
n (0)
B
T RH
) 2
= n(0) B
ρ R
H 0 ρ 0 s = 3 T RH ≃ 0.26 · ɛ n(0) χ
(4.28)
4 ρ 0 ρ 0
Wieder setzen wir voraus, daß nur der Zerfall in das leichteste rechtshändige Neutrino kinematisch
erlaubt ist (m φ < 2 m M2 , 2 m M3 ). Da durch das Preheating auch wesentlich schwerere
Teilchen als das Inflaton selbst produziert werden, können wir uns nicht mehr auf Produktion
und Zerfall des leichtesten rechtshändigen Neutrinos beschränken. Wir werden stattdessen für
die Majorana-Massen m M1 , m M2 und m M3 in der Flipped SU(5) konkrete Werte annehmen
und einzeln untersuchen, wobei die Werte natürlich den Majorana-Massen nach dem Preheating
entsprechen. Die gewählten Werte sind in Tabelle 4.1 angegeben und zusätzlich benutzen wir
κ = 0.007 und m G = 2.3 · 10 16 GeV. Daraus folgt m S,N ≃ 3.2 · 10 14 GeV und die Voraussetzung
m S,N < 2 m M2 , 2 m M3 ist erfüllt. Des weiteren ist die Energiedichte am Ende der Inflation
ρ 0 = κ 2 m 4 G ≃ (1.9 · 1015 GeV) 4 . Aus dem gewählten Wert m M1 folgt aus (3.37) eine relativ hohe
Reheat-Temperatur von T RH ≃ 2.8 · 10 10 GeV. Man kann diesem Zahlenbeispiel entnehmen, daß
man im allgemeinen eine relativ große Hierarchie zwischen den Majorana-Massen der rechtshändigen
Neutrinos benötigt, um eine niedrige Reheat-Temperatur zu erhalten. In unserem Beispiel
reicht die Hierarchie zwischen m M1 = 8.3 · 10 10 GeV und m M2 = 1.8 · 10 14 GeV nicht aus,
um die Reheat-Temperatur auf die bisher immer angenommene Höchstgrenze von 10 9 GeV zu
beschränken. Dennoch ist auch 10 10 GeV in einigen Szenarien ein akzeptabler Wert, um Überproduktion
von Gravitinos zu vermeiden.
Um die Differentialgleichungen (3.42) mit Hilfe eines Computers zu integrieren 2 , machen wir
die vorkommenden Parameter und Variablen dimensionslos. Dies erreicht man durch Reskalierung
mit m G gemäß:
m R,I → m G m R,I | ⃗ k| → m G | ⃗ k| η → m −1
G η (4.29)
2 Das dazu verwendete numerische Verfahren wird in Abschnitt 5.4 erläutert.

Nun muss man sich andererseits wieder der Reskalierungen erinnern, die wir zu Beginn der Herleitung
von (3.42) gemacht haben: am R,I → m R,I und a 3/2 Ψ → Ψ. Die Rücktransformation zu der
ursprünglichen Basis wird in (3.42) durch m R,I → a m R,I bewirkt [26]. Die Differentialgleichungen
(3.42) lauten dann:
i∂ η L h − h| ⃗ k|L h = a m R R h + i a m I R h
i∂ η R h + h| ⃗ k|R h = a m R L h − i a m I L h
(4.30)
Die Masse der rechtshändigen Neutrinos während des Preheatings ist nach Gleichung (3.35) durch
m Mi (η) = 4 λ i ν N(η) 2 /M S gegeben, wobei wir der Einfachheit halber das Feld N mit seinem Vakuumerwartungswert
identifizieren. Entsprechend verfahren wir für das Feld S. Um die Bewegungsgleichungen
für diese Felder zu integrieren, machen wir auch diese dimensionslos und reskalieren
gemäß:
S → m G S N → m G N m S → m G m S (4.31)
Die Majorana-Masse ist reell, so daß m R (η) = m Mi (η) und m I (η) = 0 gilt. In einem räumlich
hinreichend homogenen Bereich, in dem wir die Ableitungen ∇ vernachlässigen können 3 , gilt für
die Entwicklung von N in konform flacher Raumzeit (Gleichung (3.6) nach einer Transformation
zu konformer Zeit):
N ′′ + 2 a′
a N ′ + aΓN ′ 2 ∂V (S, N)
+ a = 0 (4.32)
∂N
Eine entsprechende Gleichung gilt für S und wir benutzen das Potential (3.20). Die Dämpfungskonstante
Γ wählen wir zu Γ = 0.012·m G . Die Entwicklung des Skalenfaktors a berechnen wir mit
der Friedmann-Gleichung für a ′′ (B.8). Für die dort auftauchende Energiedichte ρ und den Druck
p des Feldes N gilt in konform flacher Raumzeit und in einem räumlich hinreichend homogenen
Bereich (Gleichung (3.3) nach einer Transformation zu konformer Zeit):
ρ = 1 2 a−2 N ′ 2 + V (N)
p = 1 2 a−2 N ′ 2 − V (N)
(4.33)
Eine entsprechende Gleichung gilt für die Energiedichte und den Druck von S. Wir berücksichtigen
keine Rückkopplung des Preheatings auf die Entwicklung von a, S und N. Ihre Bewegungsgleichungen
entkoppeln daher vollständig von (4.30) und können unabhängig integriert werden. Mit
der so erhaltenen Zeitentwicklung von a, S und N integrieren wir anschließend die Differentialgleichungen
(4.30). In den Anfangsbedingungen (3.49) und bei der Berechnung der Teilchenzahldichte
aus (3.48) müssen wir vorher noch die Rückskalierung m → a m vornehmen. Das Ergebnis der
Integration in Abhängigkeit vom Impuls | ⃗ k| ist für die drei verschiedenen Majorana-Massen aus
Tabelle 4.1 in den Abildungen 4.2, 4.3 und 4.4 zu sehen, wobei wir die Teilchenzahldichten n (c) (| ⃗ k|)
bereits über die beiden Helizitäten h = 1 und h = −1 summiert haben. Die Zeitentwicklung der
Felder S und N für die gewählten Parameter ist darüberhinaus in Abbildung 4.1 zu sehen. Diese
Teilchenzahldichten beziehen sich auf eine comoving“ Volumeneinheit. Die physikalische Teilchenzahldichte
n (0) (| ⃗ k|) erhalten wir durch Multiplikation mit a −3 und den Gesamtwert n (0) der
”
produzierten Teilchenzahldichte durch Integration über d 3 k. Da wir zuvor | ⃗ k| mit m G dimensionslos
gemacht haben, erhält man durch die Rückskalierung einen zusätzlichen Faktor m 3 G . Insgesamt
gilt:
∫
n (0) =
m3 G
2 π 2 a 3 dk | ⃗ k| 2 n (c) (| ⃗ k|) (4.34)
Die produzierten Teilchenzahldichten n (0) für die einzelnen Majorana-Massen sind in Tabelle 4.1
aufgeführt, wobei in unserer Rechnung a ≃ 100. Im Fall des leichtesten Neutrinos χ 1 können wir
3 Wie wir in Abschnitt 3.3 gesehen haben, ist dies nach der Hybrid-Inflation nur in kleinen Bereichen der Fall.
Die Berechnung der Entwicklung von a, S und N kann deswegen nur eine Näherung sein. Die Ergebnisse zeigen
aber die gleichen Charakteristika wie eine Berechnung auf dem Gitter, siehe das zweite Paper in Ref. [24].

1
0.8
S
N
0.6
S, N
0.4
0.2
0
-0.2
10 20 30 40 50
η
Abbildung 4.1: Zeitentwicklung der Felder S und N
wieder die Formel (4.14) für ɛ 1 verwenden. Setzt man sie mit den obigen Werten für m M1 und
T RH in (4.28) ein und nimmt wiederum m ν3 ≈ 0.05 eV an, so erhält man für den Beitrag des
leichtesten Neutrinos zur Baryonenasymmetrie:
η B ≃ 6 · 10 −8 n (0)
χ δ eff (4.35)
Da n (0)
χ1 ≃ 1.0 · 10−15 , ist der Beitrag von χ 1 zu vernachlässigen. Für die Berechnung der Beiträge
von χ 2 und χ 3 können wir die Formel (4.14) nicht mehr verwenden. Stattdessen greifen wir auf
eine Abschätzung zurück, derzufolge ɛ ≃ 10 −4 schon recht groß ist [24]. Des weiteren können wir
uns auf den Beitrag des χ beschränken, das die größere Teilchenzahldichte n (0)
χ hat. Dies ist χ 2
und wir erhalten für dessen Beitrag zu η B :
η B 1.3 · 10 −15 (4.36)
Auch die Beiträge von χ 2 und χ 3 zur Baryonenasymmetrie sind damit zu vernachlässigen. Zwar
scheint die produzierte Teilchenzahldichte n (0)
χ mit κ zu steigen, wie wir in zahlreichen Testläufen
feststellten. Jedoch wird dieser Effekt wieder aufgehoben durch die Abhängigkeit von η B von κ:
η B ∝ κ −2 . Des weiteren scheint n (0)
χ auch mit abnehmender Dämpfungskonstante Γ zu steigen.
Allerdings haben wir in Abschnitt 3.3 gesehen, daß die Oszillationen der Inflaton-Felder S und N
der Flipped SU(5) nach der Hybrid-Inflation durch das Tachyonische Preheating rasch gedämpft
werden. Für die Dämpfungskonstante haben wir in diesem Beispiel einen Wert gewählt, der eine
solche Dämpfung gut reproduziert.
Einen Punkt haben wir bei der Berechnung von n (0)
χ bisher nicht berücksichtigt. Da die Besetzungszahlen
wegen des Pauli-Prinzips auf maximal 1 beschränkt sind, kann eine große Zerfallsbreite
der rechtshändigen Neutrinos sich positiv auf die Produktion auswirken [24]. Zerfallen diese
nämlich schnell nach ihrer Produktion wieder, so können die Besetzungszahlen immer wieder von
neuem saturiert werden. Da die Oszilltationen nach der Hybrid-Inflation rasch gedämpft werden,
ist die Zeitskala des Preheatings durch die Dauer einer Inflaton-Oszillation gegeben und damit
(siehe (3.6)) durch m −1
S,N = (2 κ m G) −1 . Dies vergleicht man mit der mittleren Lebensdauer der
rechtshändigen Neutrinos (dem Inversen von (4.22)), also mit π m G /κ m 2 Mi . Da in unserem Fall
immer m G ≫ m Mi gilt, zerfallen die rechtshändigen Neutrinos erst lange nach dem Preheating.
Auch hiervon ist also keine Erhöhung der produzierten n (0)
χ zu erwarten.

1
0.8
n (c)
χ
0.6
0.4
0.2
0
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002
k
Abbildung 4.2: Spektrum für χ 1 mit m M1 = 8.3 · 10 10 GeV
1
0.8
n (c)
χ
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
k
Abbildung 4.3: Spektrum für χ 2 mit m M2 = 1.8 · 10 14 GeV
1
0.8
n (c)
χ
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
k
Abbildung 4.4: Spektrum für χ 3 mit m M3 = 9.1 · 10 14 GeV

Kapitel 5
Kohärente Baryogenese
5.1 Preheating mit mehreren beteiligten Feldern
In Abschnitt 3.3 wurde das Preheating von Fermionen untersucht. In einem Exkurs wurde gezeigt,
daß eine komplexwertige Masse in (3.42) zu CP-Verletzung führt. Man kann nun fragen, ob ähnliche
oder andere Effekte für den Fall auftreten, daß mehrere Felder an dem Prozess beteiligt sind.
In der Tat werden wir im folgenden zeigen, daß C-Verletzung auftritt, sofern die Massenmatrix
dieser Felder nichtsymmetrisch ist. Der Ausgangspunkt ist wiederum die Lagrangedichte (B.29)
in konform flacher Raumzeit mit den Reskalierungen a 3/2 Ψ → Ψ und a m R,I → m R,I , diesmal
allerdings für mehrere Felder. Die Massen seien wie zuvor zeitabhängig. Durch Variation nach den
Feldern erhält man die Dirac-Gleichung für mehrere Felder:
(
i∂x / − M H (t) − iγ 5 M A (t) ) ij Ψ j(x) = 0 (5.1)
Die Summe läuft über alle beteiligten Felder und M H = 1 2 (M + M † ) ist der hermitesche Teil der
Massenmatrix und i M A = 1 2 (M −M † ) der antihermitesche Teil. Wie im Fall eines Feldes benötigt
man für das weitere Vorgehen die Entwicklung der Felder nach den Modenfunktionen:
∫
d 3 k ∑
{
}
Ψ i (x) =
(2π) 3 e −i⃗ k⃗x
U hij ( ⃗ k, t)a hj ( ⃗ k) + V hij ( ⃗ k, t)b † hj (−⃗ k)
(5.2)
h,j
Die Summe läuft über die beiden Helizitäten h = ±1 sowie die beteiligten Felder. Des weiteren ist
U hij = ( L hij
)
R hij
⊗ ξh die Verallgemeinerung des entsprechenden Ausdrucks für den Fall eines Feldes.
Entsprechend gilt:
( ) −hR
V hij = −iγ 2 Uhij ∗ = C U hij C −1 ∗
= hij
⊗ ξ −h (5.3)
hL ∗ hij
Setzt man die Zerlegung (5.2) in die Dirac-Gleichung (5.1) ein, so findet man mit den Modenfunktionen
U hij folgendes Gleichungssystem :
(∂ t − h| ⃗ k|) L hij = M Hik R hkj + iM Aik R hkj
(∂ t + h| ⃗ k|) R hij = M Hik L hkj − iM Aik L hkj
(5.4)
Dagegen erhält man mit den Modenfunktionen V hij das folgende System:
(∂ t − h| ⃗ k|) L hij = M ∗ Hik R hkj + iM ∗ Aik R hkj
(∂ t + h| ⃗ k|) R hij = M ∗ Hik L hkj − iM ∗ Aik L hkj
(5.5)
Die Matrizen M H und M A sind per Konstruktion hermitesch. Die Konjugation in den beiden
vorangehenden Gleichungen ist deshalb gleichbedeutend mit dem Transponieren der Matrizen.
56

Folglich sind (5.4) und (5.5) inkonsistent, wenn die beteiligte Massenmatrix nichtsymmetrisch ist:
Es liegt C-Verletzung vor! Ganz analog zum Fall nur eines Feldes kann man außerdem zeigen, daß
CP verletzt ist, wenn die Massenmatrix komplexwertig ist.
Erinnere man sich an die Sakharov-Bedingungen zur Baryogenese. Mit der C und CP-Verletzung ist
eine der drei Bedingungen bereits erfüllt. Eine weitere Bedingung ist automatisch gegeben, da daß
Preheating außerhalb des Gleichgewichts stattfindet und insbesondere die produzierten Teilchen
kein thermisches Spektrum aufweisen. Dies zeigen für den Fall eines Feldes die Spektren in den
Abbildungen 4.2, 4.3 und 4.4. Ist nun in der einen oder anderen Form auch noch die Verletzung
der Baryonenzahl gegeben, so kann mit diesem Mechanismus eine Baryonenasymmetrie erzeugt
werden! Da das Preheating nach der Inflation stattfindet, wird jede (B + L)-Asymmetrie durch
die Sphaleronen wieder ausgewaschen. Man benötigt deswegen genauer (B − L)-Verletzung zur
Generierung einer Baryonenasymmetrie.
Die Verletzung von C und CP durch eine nichtsymmetrische Massenmatrix werden wir in diesem
Kapitel als einen Mechanismus zur Baryogenese nutzen, der zuerst in [1] vorgeschlagen wurde. Dazu
versuchen wir zunächst analog zur Diskussion in Abschnitt 3.3, eine Teilchenzahl zu definieren.
Wie im Fall nur eines Feldes wird man nach einer Bogolyubov-Transformation suchen, die den
Hamiltonoperator diagonalisiert. Schnell fällt jedoch folgendes auf:
U † hik V hkj = −hL ∗ hkiR ∗ hkj + hR ∗ hkiL ∗ hkj
≠ 0 (5.6)
i.A.
Die Orthogonalitätsrelation ist nicht zu allen Zeiten erfüllt, da die Matrizen U hij und V hij nicht
immer symmetrisch sind. Die Entwicklung (5.2) ist deswegen nicht geeignet. Andererseits erweist
sich das Auffinden einer geeigneten Bogolyubov-Transformation schon im Fall einer symmetrischen
Massenmatrix als äußerst kompliziert, siehe [39]. Wir werden deswegen anders vorgehen und im
nächsten Abschnitt einen Satz von kinetischen Gleichungen herleiten, mit dem die Entwicklung
der Ladungsdichten beschrieben wird. Dies erweist sich als adäquater Ersatz für die Berechnung
der Teilchenzahl.
5.2 Die kinetischen Gleichungen
Wigner-Raum-Darstellung der Dirac-Gleichung
Zur Herleitung der kinetischen Gleichungen benötigen wir zunächst die Wigner-Raum-Darstellung
der Dirac-Gleichung. Eine Wigner-Transformation einer Zweipunktfunktion ist dabei eine Fourier-
Transformation bezüglich der Relativkoordinate. Wir beschränken uns zunächst auf ein Feld, da
die Verallgemeinerung auf mehrere Felder naheliegend ist. Für das Preheating benötigen wir zwar
nur den Fall einer zeitabhängigen Masse, jedoch hänge die Masse zunächst allgemein vom Ort
in der Raumzeit ab. Ausgehend von der Dirac-Gleichung in konform flacher Raumzeit und mit
reskaliertem Feld und Masse,
(i∂/ u − m R (u) − iγ 5 m I (u)) Ψ(u) = 0 (5.7)
multiplizieren wir von links mit ¯Ψ(v) und bilden anschließend den Vakuumerwartungswert. Mit
S < (u, v) = 〈0| ¯Ψ(v)Ψ(u)|0〉 erhält man:
(i∂/ u − m R (u) − iγ 5 m I (u)) iS < (u, v) = 0 (5.8)
Im Hinblick auf die spätere Anwendung auf das Preheating haben wir die Zweipunktfunktion
von vornherein auf das Vakuum bezogen geschrieben. Es ist jedoch wichtig anzumerken, daß die
folgende Herleitung der kinetischen Gleichungen auch in Bezug auf eine beliebige Dichtematrix
funktioniert. Gleichung (5.8) kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
∫
d 4 w[ i / ∂ u δ(u − w) − (m R (u) + iγ 5 m I (u)) δ(u − w) ] iS < (w, v) = 0 (5.9)

Wir führen nun eine Wigner-Transformation dieser Gleichung durch, also eine Fourier-Transformation
bezüglich der Relativkoordinate r = u−v. Für spätere Zwecke sei außerdem die Schwerpunktskoordinate
x = 1 2
(u + v) definiert. Es gilt:
∫ ∫
d 4 r e ikr d 4 w [ i∂ / u δ(u − w) − (m R (u) + iγ 5 m I (u)) δ(u − w)] iS < (w, v) = 0 (5.10)
Für die Wigner-Transformation einer Konvolution zweier Funktionen A(u, w) und B(w, v) gilt
allgemein (siehe Appendix B in [40]):
∫ ∫
d 4 r e ikr d 4 w A(u, w) B(w, v) = e −i♦ {A(k, x)} {B(k, x)} (5.11)
Hierbei ist der Operator ♦ definiert durch ♦ {1}{2} ≡ 1 2 (∂(1) x ∂ (2)
k
− ∂ (1)
k
∂(2) x ) {1}{2}, und A(k, x)
und B(k, x) sind die Wigner-Transformierten der Funktionen A und B. Seien nun die Funktionen
A(u, w) ≡ [ i / ∂ u − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] δ(u − w) und B(w, v) ≡ i S < (w, v). Dann ist lediglich die
Wigner-Transformierte von A(u, v) zu berechnen. Wenn man bedenkt, daß u = x + r 2
, so folgt:
∫
A(k, x) = d 4 r e ikr [ i / ∂ u − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] δ(u − v) (5.12)
∫ ∫ d
= d 4 4 k ′
r
(2π) 4 eikr [ i / ∂ u − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] e ik′ r
(5.13)
∫ ∫ d
= d 4 4 k ′
r
(2π) 4 [−k′ / − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] e ir(k+k′ )
(5.14)
= [ k/ − m R (x) − i γ 5 m I (x) ] (5.15)
Damit folgt aus der allgemeinen Formel (5.11) sowie aus (5.10):
Nun gilt, wenn man e −i♦ entwickelt:
e −i♦ {k/ − m R (x) − iγ 5 m I (x)} {iS < (k, x)} = 0 (5.16)
e −i♦ = 1 + (−i♦) + 1 2! (−i♦)2 + · · · (5.17)
= 1 + ( −i
= e − i 2 ∂(1) x
∂(2) k
2 )(∂(1) x ∂ (2)
k
− ∂ (1)
k
+ e i 2 ∂(1) k
∂(2)
∂(2) x ) + 1 2! (−i 2 )2 (∂ x (1) ∂ (2)
k
− ∂ (1)
k
∂(2) x ) 2 + · · · (5.18)
x
− 1 + gemischte Terme (5.19)
Man sieht leicht, daß die gemischten Terme nicht beitragen. Auch von der zweiten Exponentialfunktion
tragen nur Terme bis zur ersten Ordnung bei. Es folgt deswegen:
[ k/ − (m R (x) + iγ 5 m I (x)) e − i ←− −→
2 ∂ x∂k ] (iS < (k, x)) + i 2 ∂ / x(iS < (k, x)) = 0 (5.20)
Herleitung der kinetischen Gleichungen
Die Verallgemeinerung der im letzten Abschnitt hergeleiteten Darstellung für den Fall, daß mehrere
Felder vorhanden sind, ist naheliegend:
←−
[k/ + i 2 ∂ / x− (M H (x) + iγ 5 M A (x))e − i −→
2 ∂ x∂k ] ac
(iS cb < (k, x)) = 0 (5.21)
Die Indizes a, b und c laufen über alle beteiligten Felder und wieder ist M H = 1 2 (M + M † ) der
hermitesche Teil der Massenmatrix und iM A = 1 2 (M − M † ) der antihermitesche Teil. Analog
zum Preheating mit nur einem Feld (siehe Abschnitt 4.2) sind auch hier die Quelle der Raumzeitabhängigkeit
der Massenmatrix das Inflaton und das Higgs. Diese führen zumindest auf kleinen

Skalen homogene Schwingungen aus. In diesen Bereichen kann man die Ortsabhängigkeit der Massenmatrix
deswegen vernachlässigen. Da die Massenmatrix wiederum der Ursprung der Abhängigkeit
der Wigner-Funktion S < von der Schwerpunktskoordinate x ist, hängt auch diese dort nur
von der Zeit ab. Mit diesen Vereinfachungen, und wenn man außerdem 1 = γ 0 γ 0 einfügt, folgt (die
Argumente von S < lassen wir im folgenden fort):
[ik/γ 0 − 1 2 ∂ t − (iM H (t)γ 0 − M A (t)γ 5 γ 0 )e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac (−iγ 0 S < ) cb
= 0 (5.22)
Der Helizitätsoperator ĥ = ˆ⃗ k·γ 0 ⃗γγ 5 kommutiert mit dem Operator in eckigen Klammern 1 . Deswegen
ist folgende blockdiagonale Zerlegung möglich (wir lassen die die Felder bezeichnenden Indizes
fort):
(−iγ 0 S < ) = ∑ h
P h (−iγ 0 S < )P h = ∑ h
(−iγ 0 S < h ) (5.23)
Der hier auftretende Helizitätsprojektor ist P h = 1[1 2 + hˆ⃗ kγ 0 ⃗γγ 5 ]. Wir wählen für die γ-Matrizen
die chirale Darstellung,
( )
γ µ 0 σ
µ
=
¯σ µ , (5.24)
0
mit σ µ = (1, σ i ) und ¯σ µ = (1, −σ i ). Die σ i für i = 1, 2, 3 sind die Pauli-Matrizen. Die γ-
Matrizen kann man dann als Tensorprodukt von Pauli-Matrizen darstellen, nämlich γ 0 = 1 ⊗ ϱ 1
und γ i = σ i ⊗ iϱ 2 , wobei die ϱ ebenfalls Pauli-Matrizen seien und die Bedeutung der Reihenfolge
des Tensorprodukts durch die Gleichungen festgelegt sei. Der Helizitätsprojektor lautet damit:
P h = 1 2 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ 1 (5.25)
Da die Wigner-Funktionen (−iγ 0 S
h < ) mit diesem Operator kommutieren, kann man sie folgendermaßen
darstellen:
(−iγ 0 S
h < ) = 1 4 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ µ g
µh < (5.26)
Die g
µh < sind dabei Funktionen, die die Abhängigkeit vom Viererimpuls k und von der Zeit t tragen.
Durch Einsetzen in (5.22) folgt:
[ik/γ 0 − 1 2 ∂ t − (iM H (t)γ 0 − M A (t)γ 5 γ 0 )e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac { 1 4 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ µ g
µh < } = 0 (5.27)
cb
Die in diesem Ausdruck auftretenden Produkte von γ-Matrizen lassen sich ebenfalls zerlegen.
Einsetzen dieser Ausdrcke in (5.27) und Umstellen ergibt:
γ 5 γ 0 = −i(1 ⊗ ϱ 2 ) (5.28)
γ i γ 0 = σ i ⊗ ϱ 3 (5.29)
1
4 (ik 0 − 1 2 ∂ t)(1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ µ (g < µh ) ab
− i 4 |⃗ k|(ˆ⃗ k⃗σ + h(ˆ⃗k⃗σ) 2 ) ⊗ (ϱ 3 ϱ µ )(g < µh ) ab
− i 4 (M H) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (1 + hˆ⃗k⃗σ) ⊗ (ϱ 1 ϱ µ )(g
µh < ) cb
− i 4 (M I) ac e − i ←− −→
2 ∂t
∂k0
(1 + hˆ⃗k⃗σ) ⊗ (ϱ 2 ϱ µ )(g < µh ) cb = 0 (5.30)
1 Dazu zeigt man, daß der Helizitätsoperator mit den drei Ausdrücken ⃗ k ⃗γ γ 0 , γ 0 und γ 5 γ 0 kommutiert. Mit
{γ µ , γ ν } = 0 für µ ≠ ν und {γ µ , γ 5 } = 0 folgt:
( ⃗ k⃗γ γ 0 ) (γ 0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 ) = −| ⃗ k| γ 0 ˆ⃗k⃗γ γ
0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 = −| ⃗ k| γ 0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 γ 0 ˆ⃗k⃗γ = (γ
0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 ) ( ⃗ k⃗γ γ 0 )
Für die anderen beiden Ausdrücke zeigt man das Kommutieren entsprechend.

Nun wird der gesamte Ausdruck mit (1 ⊗ ϱ ν ) multipliziert und anschließend die Spur gebildet.
Dabei treten auf der rechten Seite des Tensorproduktes die Ausdrücke ϱ ν ϱ µ und ϱ ν ϱ k ϱ µ auf. Mit
ϱ i ϱ j = δ ij + i ɛ ijk ϱ k folgt tr(ϱ i ϱ j ) = 2δ ij und da ϱ 0 ϱ µ = ϱ µ , gilt außerdem tr(ϱ 0 ϱ µ ) = 2δ 0µ . Insgesamt
ist also tr(ϱ ν ϱ µ ) = 2δ νµ . Die außerdem auftretende Spur lautet, zunächst für i, j = 1, 2, 3:
Des weiteren gilt:
tr(ϱ i ϱ k ϱ j ) = tr( ϱ i (δ kj + iɛ kjl ϱ l ) ) = 2 i ɛ kji (5.31)
tr(ϱ 0 ϱ k ϱ j ) = 2 δ kj (5.32)
tr(ϱ i ϱ k ϱ 0 ) = 2 δ ik (5.33)
tr(ϱ 0 ϱ k ϱ 0 ) = 0 (5.34)
Auf der linken Seite des Tensorproduktes treten die Ausdrücke tr(1 + hˆ⃗ k⃗σ) und tr(ˆ⃗k⃗σ + h(ˆ⃗k⃗σ) 2 )
auf. Da die Pauli-Matrizen spurfrei sind, ist sofort einsichtig, daß der erste Ausdruck gleich 2 ist.
Außerdem gilt:
tr(ˆ⃗ k⃗σ + h(ˆ⃗k⃗σ) 2 ) = h tr(ˆ⃗ k⃗σ) 2 = h ki k j
| ⃗ k| 2 tr(σi σ j ) = h ki k j
| ⃗ k| 2 tr(δij · 1 + i ɛ ijk σ k ) = 2 h (5.35)
Nun hat man alle Teile beisammen und erhält aus (5.30) nach der Multiplikation mit (1 ⊗ ϱ ν ) und
dem Bilden der Spur vier Gleichungen für ν = 0, 1, 2, 3. Man hat für
ν = 0 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 0h ) ab − i | ⃗ k| h (g < 3h ) ab
− i(M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
1h
) cb − i(M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
2h
) cb = 0 (5.36)
ν = 1 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 1h ) ab − | ⃗ k| h (g < 2h ) ab
− i(M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
0h
) cb + (M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
3h
) cb = 0 (5.37)
ν = 2 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 2h ) ab + | ⃗ k| h (g < 1h ) ab
− (M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
3h ) cb − i(M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
0h ) cb = 0 (5.38)
ν = 3 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 3h ) ab − i| ⃗ k| h (g < 0h ) ab
+ (M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
2h
) cb − (M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
1h
) cb = 0 (5.39)
Im nächsten Schritt wird über k 0 integriert. Zunächst ist e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 = cos( 1 −→
2←−
∂t∂k0 ) − i sin( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ).
Weiter gilt cos( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ) = 1 − 1 2! ( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ) 2 + · · · sowie sin( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ) = 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 − 1 3! (←− −→
∂ t∂k0 ) 3 + · · · .
Da die g
µh < und deren Ableitungen sinnvollerweise für k 0 −→ ±∞ verschwinden, bleibt nach dem
partiellen Integrieren nur die 1 im cos-Term übrig. Setzt man noch f µh ≡ ∫ dk 0
2π g< µh
, so erhält man
den folgenden Satz von Gleichungen:

(ik 0 − 1 2 ∂ t) (f 0h ) ab − i| ⃗ k|h(f 3h ) ab − i(M H ) ac (f 1h ) cb − i(M A ) ac (f 2h ) cb = 0
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (f 1h ) ab − | ⃗ k|h(f 2h ) ab − i(M H ) ac (f 0h ) cb + (M A ) ac (f 3h ) cb = 0
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (f 2h ) ab + | ⃗ k|h(f 1h ) ab − (M H ) ac (f 3h ) cb − i(M A ) ac (f 0h ) cb = 0
(5.40)
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (f 3h ) ab − i| ⃗ k|h(f 0h ) ab + (M H ) ac (f 2h ) cb − (M A ) ac (f 1h ) cb = 0
Bei diesem Gleichungssystem handelt es sich um Gleichungen für Matrizen. Im folgenden soll nur
der hermitesche Teil dieses Systems betrachtet werden. Die f µh sowie M H und M A sind hermitesche
Matrizen. Sind allgemein A und B hermitesche Matrizen, so ist [A, B] der antihermitesche
Teil und {A, B} der hermitesche Teil des Produkts AB. Damit folgt für den hermiteschen Teil von
(5.40) (die die Felder bezeichnenden Indizes werden wieder fortgelassen):
˙ f 0h + i[M H , f 1h ] + i[M A , f 2h ] = 0
˙ f 1h + 2| ⃗ k|h f 2h + i[M H , f 0h ] − {M A , f 3h } = 0
˙ f 2h − 2| ⃗ k|h f 1h + {M H , f 3h } + i[M A , f 0h ] = 0
˙ f 3h − {M H , f 2h } + {M A , f 1h } = 0
(5.41)
Wir sind nun am Ziel der Herleitung angelangt und haben einen geschlossenen Satz von Differentialgleichungen
für die Matrizen f µh . Diese haben eine anschauliche Bedeutung, auf die im nächsten
Abschnitt eingegangen wird.
Bedeutung der f µh
Zunächst mache man sich klar, daß durch das Multiplizieren mit (1 ⊗ ϱ µ ) und das anschließende
Bilden der Spur die Funktionen g
µh < aus der Zerlegung (5.26) herausprojeziert werden:
tr( 1 4 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ µ ϱ ν g < νh ) = g< µh
(5.42)
Nun benutze man nicht (5.26), sondern schreibe den Ausdruck (−iγ 0 S
h < ) aus, wofür man die
Wigner-Raum-Darstellung der Zweipunktfunktion benötigt. Der Einfachheit halber betrachten
wir nur den Fall eines Feldes.
∫
(−iγ 0 S
h < (k, x)) ab = d 4 r e ikr 〈0| ¯Ψ bh (x − r 2 )Ψ ch(x + r 2 )|0〉 γ0 ca (5.43)
Hierbei sind a, b, c Dirac-Spinor- und keine Flavourindizes. Führt man die Multiplikation mit
(1 ⊗ ϱ µ ) und das Bilden der Spur aus, so erhält man für µ = 0:
∫
g
µh < = d 4 r e ikr 〈0| ¯Ψ ah (x − r 2 ) γ0 ab Ψ bh (x + r )|0〉 (5.44)
2
Nun integriert man diesen Ausdruck noch über d 4 k und erhält anschließend:
∫
d 3 ∫
k
(2π) 3 f d 4 ∫
k
0h =
(2π) 4 d 4 r e ikr 〈0| ¯Ψ a (x − r 2 ) γ0 ab Ψ b (x + r 2 )|0〉
∫
= d 4 r δ(r) 〈0| ¯Ψ a (x − r 2 ) γ0 ab Ψ b (x + r 2 )|0〉
(5.45)
= 〈0| ¯Ψ ah (x) γab 0 Ψ bh (x)|0〉
Die Funktion ∫ d 3 k
(2π)
f 3 0h ist also die Ladungsdichte des Feldes Ψ h (x). Entsprechend erhält man
nach Multiplikation mit (1 ⊗ ϱ 1 ) = γ 0 , Bilden der Spur und Integration:
∫
d 3 k
(2π) 3 f 1h = 〈0| ¯Ψ ah (x)Ψ ah (x)|0〉 (5.46)

Dies ist bekanntlich die Skalardichte des Feldes Ψ h (x). Mit (1 ⊗ ϱ 2 ) = iγ 5 γ 0 erhält man:
∫
d 3 k
(2π) 3 f 2h = i〈0| ¯Ψ ah (x) γ 5 ab Ψ bh (x)|0〉 (5.47)
Dies ist die Pseudo-Skalardichte von Ψ h (x). Mit (1 ⊗ ϱ 3 ) = −γ 5 erhält man außerdem:
∫
Dies schließlich ist die axiale Ladungsdichte von Ψ h (x).
d 3 k
(2π) 3 f 3h = 〈0| ¯Ψ ah (x) (γ 5 γ 0 ) ab Ψ bh (x)|0〉 (5.48)
5.3 Realisierung in der Flipped SU(5)
Massenmatrix
In Abschnitt 5.1 wurde gezeigt, wie die Dirac-Gleichung für mehrere Felder zu simultaner C-
und CP-Verletzung führen kann, wenn die beteiligte Massenmatrix nichtsymmetrisch und komplexwertig
ist. Bemerkenswerterweise lässt sich eine solche Massenmatrix in der Flipped SU(5)
mit Hybrid-Inflation leicht finden, die außerdem nach dem Inflationsübergang zeitunabhängig und
diagonal wird und die produzierten Ladungen damit einfriert. Zu ihrer Herleitung gehen wir vom
Superpotential (2.41) aus. Im folgenden wesentlich ist der Term, der zur Hybrid-Inflation führt,
sowie die beiden Beiträge, die das Doublet/Triplet-Splitting bewirken:
W ⊃ κS( ¯HH + m 2 G) + λ H HHh + λ ¯H ¯H ¯H¯h (5.49)
Wie in Abschnitt (2.3) erläutert wurde, führen die beiden letzten Terme insbesondere dazu, daß
die Ψ d c
Hi
mit den Ψ Di zu sehr schweren Dirac-Fermionen paaren (i ist ein Farbindex). Gleiches
gilt für die Ψ d c¯Hi
und Ψ ¯Di . Der betreffende Teil in der Lagrangedichte ist (siehe (2.35)):
L 1 = −8 λ H 〈ν c H〉 Ψ d c
Hi
Ψ Di − 8 λ ¯H 〈ν c¯H〉 Ψ d c¯Hi
Ψ ¯Di + h.c. (5.50)
Während der Inflation gibt es auch einen Massenbeitrag zwischen den Ψ d c
Hi
zu sehen, müssen wir den Hybrid-Inflations-Term auswerten. Zunächst gilt:
und Ψ d c¯Hi
. Um dies
¯HH = 2 d c¯Hi d c Hi + 2d ¯Hi d Hi + 2u ¯Hi u Hi + 2ν c¯Hi ν c Hi (5.51)
Hierbei gelte für den Farbindex i die Summenkonvention. Gemäß Gleichung (A.4) führt dann der
erste Term in Gleichung (5.49) zu folgendem Beitrag in der Lagrangedichte:
L 2 = −2 κ 〈S〉 Ψ d c¯Hi
Ψ d c
Hi
+ h.c. (5.52)
Mit den Abkürzungen m H = 8 λ H 〈ν c H 〉, m ¯H = λ ¯H 〈ν c¯H〉 sowie m S = 2 κ 〈S〉 lauten die beiden Beiträge
zusammen:
L 1 + L 2 = −m S Ψ d c¯Hi
Ψ d c
Hi
− m ∗ SΨ ∗ d c¯Hi Ψ ∗ d c Hi
− m H Ψ d c
Hi
Ψ Di − m ∗ H Ψ ∗ d c Hi Ψ∗ D i
− m ¯HΨ d c¯Hi
Ψ ¯Di − m ∗¯HΨ ∗ d c¯Hi Ψ ∗¯Di (5.53)
Da das Inflaton S nach der Inflation keinen Vakuumerwartungswert mehr hat, ist es sinnvoll eine
Basis zu benutzen, wie sie sich durch den Teil L 1 der Langrangedichte anbietet. Man definiert
deswegen die Dirac-Fermionen χ 1 und χ 2 durch:
( ) ( )
−Ψd −ΨDi
χ 1i ≡
c¯Hi
χ 2i ≡
(5.54)
Ψ ∗¯Di
Ψ ∗ d c Hi

Mit Hilfe der Helizitätsprojektoren P L und P R lässt sich (5.53) dann folgendermaßen schreiben:
L 1 + L 2 = ¯χ 2i m S P L χ 1i + ¯χ 1i m ∗ SP R χ 2i
+ ¯χ 2i
(
m H P L + m ∗ H P R
)
χ 2i + ¯χ 1i
(
m ¯H P L + m ∗¯H P R
)χ 1i (5.55)
Nun gilt:
m H P L + m ∗ 1
H P R = m H
2 (1 − γ5 ) + m ∗ 1
H
2 (1 + γ5 )
= 1 2 1 (m H + m ∗ H) − 1 2 γ5 (m H − m ∗ H)
= 1 R(m H ) − iγ 5 I(m H )
(5.56)
Gleiches gilt für m ¯H. Ersetzt man auch noch P L und P R in den m S -Termen, dann folgt:
)
L 1 + L 2 = ¯χ 1i
(1 R(m ¯H) − iγ 5 I(m ¯H) χ 1i
)
+ ¯χ 2i
(1 R(m H ) − iγ 5 I(m H )
χ 2i
+ ¯χ 2i
1
2 (1 − γ5 ) m S χ 1i + ¯χ 1i
1
2 (1 + γ5 ) m ∗ S χ 2i
(5.57)
= (¯χ ( ) ( )
)
m R(m
1i ¯χ ¯H)
∗ S χ1i
2i
2
m S
2
R(m H ) χ 2i
+ (¯χ ( ) ( )
)
1i ¯χ 2i i γ
5 −I(m ¯H) − i 2 m∗ S χ1i
i
2 m S −I(m H ) χ 2i
Dies ist die gesuchte Massenmatrix in der Form M H + i γ 5 M A , wobei M H der hermitesche und
i M A der antihermitesche Teil ist. Wie in Abschnitt 3.2 gezeigt wurde, kann durch Redefinition
der Felder zwar κ und einer der beiden Parameter λ H und λ ¯H reell gemacht werden, der andere
bleibt aber komplexwertig. Folglich ist eine der Massen m H und m ¯H komplex, womit dies auch für
diese Massenmatrix gilt. Außerdem ist der antihermitesche Anteil und damit die gesamte Matrix
nichtsymmetrisch. Die Zeitabhängigkeit schließlich ergibt sich daraus, daß am Ende der Inflation,
wenn die beteiligten Felder S, ν c H und νc¯H in ihre Minima fallen, diese und damit m S , m H und m ¯H
stark variieren. Damit sind die drei Bedingungen erfüllt, die Abschnitt 5.1 an die Massenmatrix
gestellt wurden, um während des Preheatings eine nichtverschwindende Ladung zu produzieren.
Zerfall der χ und Baryonenasymmetrie
Da mit der Massenmatrix aus (5.57) keine (B − L)-Ladung produziert wird, müssen die Teilchen χ
(B − L)-verletzend zerfallen, um das letzte der drei Sakharov-Kriterien zu erfüllen. Die rechtshändigen
Komponenten der χ 1 sowie die linkshändigen der χ 2 sitzen in denselben Multipletts h und ¯h,
in denen sich auch die elektroschwachen Higgs befinden. Die jeweils entgegengesetzten Helizitäten
dagegen gehören zu den Multipletts H und ¯H, die die Flipped SU(5) zum Standardmodell brechen.
Deswegen gilt es, ausnahmslos alle Terme im Superpotential (2.41) auf mögliche Zerfallskanäle der
χ zu untersuchen.
Zunächst betrachten wir diejenigen Yukawa-Kopplungen, die nach der elektroschwachen Symmetriebrechung
auch für die Massen der Standardmodellteilchen verantwortlich sind. Die genaue
Angabe der einzelnen Terme findet sich in Anhang C, wir geben hier nur die relevanten Teile wieder.
Weiter lassen wir die Familienindizes weg, da sie für die Analyse zunächst keine Rolle spielen.
Die Indizes i, j und k dagegen bezeichnen die Farbladung.
λ u F ¯f¯h ⊃ λ u ( ɛ ijk d c iu c j − d k ν − u k e ) ¯D k (5.58)

Für z. B. Ψ ∗¯D1 folgen daraus diese Zerfallskanäle (dabei ist auf der rechten Seite jeweils eines der
beiden Teilchen skalar, das andere fermionisch):
Ψ ∗¯D1 −→ d c 2 + u c 3
−→ d c 3 + u c 2
−→ d 1 + ν
−→
u 1 + e
(5.59)
Da man für die vier Kopplungen die gleiche Konstante λ u hat und die Teilchen auf der rechten
Seite definierte B- und L-Quantenzahlen tragen, lässt sich die während dieses Zerfalls entstehende
(B
∑
− L)-Asymmetrie einfach durch Abzählen erhalten. Man findet, wenn man alle Beiträge addiert,
(B − L) = −
8
3 (ein Quark und ein Squark haben jeweils B = 1 3
, ein Lepton und ein Slepton jeweils
L = 1 und die entsprechenden Antiteilchen die entgegengesetzte Ladung) Dieses Ergebnis müssen
wir noch durch 4 dividieren, da immer nur einer der vier Zerfälle stattfindet.
λ d F F h ⊃ 4 λ d ( ɛ ijk u i d j + d c kν c + vertauschte Familienindizes )D k (5.60)
Daraus ergeben sich für Ψ D1
folgende mögliche Zerfälle:
(5.61)
Ψ D1 −→ d ∗ 2 + u ∗ 3
−→ d ∗ 3 + u ∗ 2
−→ d c 1 + ν c∗
Beim Abzählen der (B − L)-Asymmetrie muss man hier aufpassen. Die rechtshändigen Neutrinos
Ψ ν c haben aus der Kopplung F ¯HF ¯H im Superpotential eine sehr große Majorana-Masse. Ihre
Zerfallsprodukte haben deswegen in der Summe immer die Leptonen- und Baryonenzahl Null, sieht
man von einer kleinen Asymmetrie ab, die durch CP-Verletzung aus Loop-Korrekturen entsteht
(siehe Abschnitt 4.2). Man erhält somit bei Addition aller Beiräge ∑ (B − L) = −1. Wären dies
alle relevanten Zerfallskanäle für Ψ D1 , so müsste man dieses Ergebnis noch durch 3 dividieren, da
immer nur einer der drei Zerfälle stattfindet. Tatsächlich gibt es aber noch einen weiteren Beitrag:
Daraus leitet man folgenden Zerfallskanal ab:
λ e e c ¯fh ⊃ λe e c u c i D i (5.62)
Ψ Di −→ e c∗ + u c ∗
i
(5.63)
Dies ergibt (B − L) = − 2 3 . Damit folgt die während des Zerfalls eines Ψ D 1
entstehende (B − L)-
Asymmetrie zu 1 4 · (− 2 3 − 1) = − 5
12
. Daneben gibt es eventuell auch noch Zerfallskanäle für die
und Ψ d . Man hat zunächst folgenden Term:
c¯Hi
Ψ d c
Hi
λ ν
M S
F ¯HF ¯H ⊃ 4 λ ν ( d c id c¯Hi )( d c jd c¯Hj )
+ 4 λ ν { ( d i d ¯Hi + u i u ¯Hi + ν c ν c¯H ) (d c jd c¯Hj ) + vertauschte Familienindizes } (5.64)
Zerfälle in d c¯Hi , d ¯Hi , u ¯Hi und ν c¯H (jeweils fermionisch oder skalar) sind wegen der sehr großen
Massen dieser Teilchen (siehe Anhang D.1) nicht erlaubt oder stark unterdrückt. Lediglich der
Teil proportional zum Vakuumerwartungswert von ν c¯H ergibt einen Beitrag:
Ψ d c¯Hi
−→ d c i + ν c (5.65)
Man findet (B − L) = − 1 3
. Jedoch werden wir gleich sehen, daß man diesen Term vernachlässigen
kann. Ein weiterer Term ist:
κS ¯HH ⊃ κSd c¯Hi d c Hi (5.66)

Wieder sind mögliche Zerfälle nicht erlaubt oder stark unterdrückt. Schließlich hat man noch zwei
Terme, in denen sowohl die Ψ d c
Hi
und Ψ d c¯Hi
als auch die Ψ Di und Ψ ¯Di auftauchen: HHh und
¯H ¯H¯h. Wegen der gleichen Struktur betrachten wir nur einen von beiden:
HHh = 8λ d (d c Hiν c H D i + ɛ ijk u Hi d Hj D k − h − u Hi d c Hi + h 0 d Hi d c Hi (5.67)
Auch hier kann man mit den Massen der beteiligten Teilchen argumentieren, daß Zerfälle nicht
vorhanden oder vernachlässigbar sind.
Die χ zerfallen nun bevorzugt in die Generation von Standardmodellteilchen mit den größten
Yukawa-Kopplungen. Nehmen wir an, daß für diese Generation λ u ≈ λ d ≈ λ e gilt, dann können
wir die Produkte aus q 1 bzw. q 2 und der beim jeweiligen Zerfall entstehenden (B − L)-Asymmetrie
mit gleicher Gewichtung addieren. Der Zerfallskanal (5.65) dagegen hat als Kopplung λ ν 〈ν c¯H〉/M S .
Mit 〈ν c¯H〉 = m G / √ 2 und M S ≈ 50 · m G ergibt sich eine relativ starke Unterdrückung. Wir können
diesen Beitrag deswegen vernachlässigen. Sei nun q 1 die produzierte Ladung der χ 1i und q 2 diejenige
der χ 2i . Den kinetischen Gleichungen kann man entnehmen, daß stets q 1 = −q 2 gilt. Dann
hat man aus dem Zerfall der Teilchen mit Farbindex i = 1 folgende Asymmetrie:
(B − L) = − 2 3 q 1 − 5
12 q 2 = 1 4 · q 2 (5.68)
Für die anderen beiden Farbladungen verhält es sich nicht anders, so daß insgesamt (B − L) = 3 4 q 2.
Wie in Abschnitt 4.2 beschrieben wurde, wird diese (B − L)-Asymmetrie durch die Sphaleronen
teilweise in eine B-Asymmetrie transformiert. Das Produkt aus der (B − L)-Asymmetrie und dem
Faktor aus (4.4) sei
n (0)
B ≡ 3 32
4 92 |q 2| (5.69)
Wir können nun zur Berechnung der Baryonenasymmetrie η B die Formel (4.28) benutzen, die wir
in Abschnitt 4.2 hergeleitet haben. Es folgt, wobei ρ 0 = κ 2 m 4 G wie zuvor die Energiedichte am
Ende der Inflation ist:
η B = 3 4
5.4 Numerische Integration
n (0)
B
ρ 0
T RH ≃ 0.2 · |q 2|
ρ 0
T RH (5.70)
Da keine analytische Lösung des Gleichungssystems (5.41) zur Verfügung steht, müssen diese
Gleichungen numerisch integriert werden. Wir bedienen uns dazu des Runge-Kutta-Verfahrens,
das wir im folgenden kurz beschreiben. Gegeben sei eine gewöhnliche Differentialgleichung erster
Ordnung.
dy
= f(x, y) (5.71)
dx
Außerdem sei der Anfangswert spezifiziert. Gesucht ist die Lösung dieses Anfangswertproblems.
Daß die Differentialgleichung erster Ordnung ist, ist keine Einschränkung, da sich bekanntermaßen
alle gewöhnlichen Differentialgleichungen höherer Ordnung in ein System von Gleichungen erster
Ordnung umschreiben lassen. Im übrigen ist das uns interessierende System (5.41) nur von erster
Ordnung. Weiterhin lässt sich die im folgenden zu beschreibende Methode leicht auf den Fall mehrerer
gekoppelter Differentialgleichungen verallgemeinern. Es reicht deswegen, nur eine Gleichung
zu betrachten.
Die einfachste Methode zur numerischen Integration ist das Eulersche Verfahren. Dazu schreibt
man die infinitesimalen Größen dy und dx in (5.71) in endliche Größen ∆y und ∆x um und
multipliziert mit ∆x. Kennt man die Lösung an einem Punkt x n (zu Beginn des Verfahrens der
Anfangswert), so ergibt sich die Lösung am Punkt x n+1 ≡ x n + h folglich durch:
y n+1 = y n + hf(x, y) (5.72)

Die Korrektur zum Schritt ist von der Ordnung h 2 . Eine höhere Genauigkeit erhält man, wenn
man zunächst einen Probeschritt in die Mitte des Intervalls macht und die Werte x und y an dieser
Stelle dann benutzt, um die Änderung über das gesamte Intervall zu berechnen. In Formeln:
k 1 = hf(x n , y n )
k 2 = hf(x n + 1 2 h, y n + 1 2 k 1)
(5.73)
y n+1 = y n + k 2 + O(h 3 )
Dies ist das Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung. Die höhere Genauigkeit im Vergleich zum Eulerschen
Verfahren resultiert aus einer Kürzung des Fehlers O(h 2 ). Allgemein kann man die Funktion
f an verschiedenen Stellen x im Intervall und mit verschieden Werten y auswerten und erhält
mit einer geeigneten Linearkombination der Ergebnisse eine Kürzung des Fehlers zu noch höheren
Ordnungen. Als in der Praxis geeignet hat sich das Runge-Kutta-Verahren fünfter Ordnung
erwiesen. Die allgemeine Form lautet:
k 1 = hf(x n , y n )
k 2 = hf(x n + a 2 h, y n b 21 k 1 )
· · ·
k 6 = hf(x n + a 6 h, y n + b 61 k 1 + · · · + b 65 k 5 )
y n+1 = y n + c 1 k 1 + c 2 k 2 + c 3 k 3 + c 4 k 4 + c 5 k 5 + c 6 k 6 + O(h 6 )
(5.74)
Für die Konstanten a i , b ij und c i verwenden wir Werte, die von Cash und Karp gefunden wurden.
Diese sind beispielsweise in [41] abgedruckt. Zusätzlich erhält man mit einer anderen Linearkombination
eine unabhängige Berechnung des Wertes y n+1 , die einem Runge-Kutta-Verfahren vierter
Ordnung entspricht:
y ′ n+1 = y n + c ′ 1k 1 + c ′ 2k 2 + c ′ 3k 3 + c ′ 4k 4 + c ′ 5k 5 + c ′ 6k 6 + O(h 5 ) (5.75)
Diesen Umstand kann man nutzen, um ein Maß für den Fehler zu bekommen, nämlich ∆ = y n+1 − y n+1.
′
Den Gleichungen (5.74) und (5.75) entnimmt man, daß ∆ mit h 5 skaliert. Macht man nun einen
Schritt h 1 und erzeugt einen Fehler ∆ 1 , so lässt sich der Schritt h 0 , der zu einem anderen Fehler
∆ 0 geführt hätte, abschätzen durch:
∣ ∣ ∣∣∣ ∆ 0 ∣∣∣
0.2
h 0 = h 1 (5.76)
∆ 1
Hiermit lässt sich die sogenannte adaptive Schrittgrößen-Kontrolle umsetzen. Sei ∆ 0 die gewünschte
Genauigkeit. Ist der gemachte Fehler größer als ∆ 0 , dann besagt die vorangehende Gleichung,
wie weit man die Schrittgröße reduzieren muss, um die gewünschte Genauigkeit im nächsten Anlauf
zu erreichen. Ist andererseits der gemachte Fehler kleiner als ∆ 0 , so kann man der vorangehenden
Gleichung entnehmen, wie weit man die Schrittgröße für den nächsten Schritt erhöhen kann, ohne
die gesetzte Fehlergrenze zu überschreiten. Der Geschwindigkeitsvorteil, den man so im Vergleich
zu einer konstant kleinen Schrittgröße h erhält, ist immens und kann einen Faktor 10 bis 100
erreichen.
Das zu integrierende Gleichungssystem (5.41) enthält als Variablen vier komplexwertige 2 × 2-
Matrizen, insgesamt also 32 unabhängige Größen. Für jede dieser Variablen wird ein eigener
Fehler berechnet und anschließend in (5.76) der Maximalwert benutzt. Als gewünschte Genauigkeit
haben wir in unserem Fall zwei Größen gewählt: Zum einen ∆ 01 = 10 −5 (|y n | + |hf(x n , y n )|)
als gewünschten relativen Fehler, zum anderen ∆ 02 = 10 −10 als Vorgabe für den absoluten Fehler.
Entscheidend für (5.76) ist wieder der Maximalwert. Dieses Vorgehen hat sich in der Praxis
bewährt.

0.02
0.015
q
S
1.5
1
q
0.01
0.5
S
0.005
0
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.5
η
Abbildung 5.1: Zeitentwicklung der produzierten Gesamtladung für κ = 0.008, λ H = 0.01, cp = 0.2
und Γ = 0.8 · κ · m G
5.5 Ergebnisse
Das Computerprogramm, das die im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen numerischen Verfahren
umsetzt, wurde zunächst von Björn Garbrecht in der Programmiersprache C geschrieben
und dann von mir weitgehend umgearbeitet, um es an meine Bedürfnisse anzupassen. Die Integrationsroutinen
wurden [41] entnommen und nur leicht verändert. Außerdem wurden Teile der
Bibliothek GSL benutzt. Der Quellcode des Programms findet sich in Anhang G.
Die Massenmatrix (5.57) hängt von den drei Parametern λ H , λ ¯H und κ ab. In Abschnitt 3.2
haben wir gezeigt, daß man oBdA die beiden Parameter κ und λ H durch Redefinition der Felder
reell wählen kann, wohingegen der Parameter λ ¯H dann komplexwertig bleibt. Als Vereinfachung
haben wir uns bei den Berechnungen auf die Situation |λ H | = |λ ¯H| beschränkt und die Phase
zwischen λ H und λ ¯H folgendermaßen parametrisiert: λ ¯H = λ H · e i cp . Als weiterer Parameter geht
die Dämpfungskonstante Γ aus (3.6), von der die Zeitentwicklung von S und N abhängt, in die
Berechnungen ein.
Analog zum Preheating mit nur einem Feld, das wir in Abschnitt 4.2 numerisch untersucht haben,
wird zunächst die Entwicklung der Felder S und N sowie des Skalenfaktors a berechnet. Die zur
Berechnung relevanten Gleichungen wurden in Abschnitt 4.2 beschrieben. Mit den so erhaltenen
Daten werden anschließend die kinetischen Gleichungen (5.41) integriert. Die dazu verwendeten
Anfangswerte finden sich in Anhang E und in direkter Entsprechung zum Fall eines Feldes muß
die Massenmatrix M gemäß M → a M rückskaliert werden. Aus der vom Computer berechneten
Ladungsdichte q (c)
1,2 erhält man die physikalische Ladungsdichte q 1,2 gemäß folgender Gleichung
(vergleiche (4.34)):
q 1,2 =
∫
m3 G
2 π 2 a 3
dk | ⃗ k| 2 q (c)
1,2 (|⃗ k|) (5.77)
Dabei ist in unserer Berechnung a ≈ 100. Aus dem erhaltenen Wert q 1,2 wiederum wird gemäß
(5.70) die produzierte Baryonenasymmetrie berechnet. Als Konsistenztest haben wir das Programm
mit verschwindender CP-verletzender Phase cp = 0, symmetrischer Massenmatrix sowie
einer zeitlich konstanten Massenmatrix laufen lassen. In allen drei Fällen wurde, wie von den
kinetischen Gleichungen (5.41) zu erwarten, keine Ladungsdichte produziert (im Rahmen der numerischen
Ungenauigkeiten des Programms).
Wir geben zunächst zwei Beispiele, nämlich ➀ mit den Parametern κ = 0.008 und λ H = 0.01 und
➁ mit den Parametern κ = 5 · 10 −4 und λ H = 3 · 10 −3 . In beiden Fällen haben wir darüberhinaus

0.1
0.01
λ H
10 −3
10 −4 10 −3
κ
0.01
Abbildung 5.2: Baryonenasymmetrie im Parameterraum
cp = 0.1 und Γ = 1.7 · κ · m G gewählt. Das Spektrum für ➀ ist in Abbildung 5.4 dargestellt, das
Spektrum für ➁ in Abbildung 5.7. Die produzierte Gesamtladung erhält man durch Integration
über das Spektrum. Es zeigte sich, daß der dominante Anteil an der produzierten Ladungsdichte
bei größeren Impulswerten k zu finden ist. Diesen Teil der beiden Spektren haben wir in den
Abbildungen 5.5 und 5.8 dargestellt. Für ➀ erhält man folgende Gesamtladungsdichte und Baryonenasymmetrie:
q ≃ 6.1 · 10 −9 · m 3 G =⇒ η B ≃ 3.8 · 10 −11 (5.78)
Entsprechend erhält man für ➁ die folgende Gesamtladungsdichte und Baryonenasymmetrie:
q ≃ 6.3 · 10 −11 · m 3 G =⇒ η B ≃ 10 −10 (5.79)
Dabei haben wir m G ≃ 10 16 GeV und T RH = 2 · 10 10 GeV verwendet. Wie man sieht, wird
für ➀ die gemessene Baryonenasymmetrie knapp verfehlt, wohingegen ➁ die Baryonenasymmetrie
gut erklären würde. Allerdings haben wir eine recht hohe Reheat-Temperatur angenommen. Statt
einer hohen Reheat-Temperatur kann man auch einen höheren Wert für cp annehmen, was zur
Produktion einer größeren Ladungsdichte und damit ebenfalls zu einer höheren Baryonenasymmetrie
führt. Dies wird an den Abbildungen 5.6 und 5.9 deutlich, in denen wir die produzierte
” comoving“ Gesamtladungsdichte (also ohne den Faktor a−3 aus (5.77)) in Abhängigkeit der CPverletzenden
Phase cp dargestellt haben.
Des weiteren ist die Zeitentwicklung der Felder S und N in Anhang F in den Abbildungen F.1 und
F.2 zu finden. Wie man sieht, oszillieren die Felder mit der gewählten Dämpfungskonstante Γ nur
sehr wenig, so das diese Entwicklung derjenigen der Felder während und nach dem Tachyonischen
Preheating ähnelt.

0.1
0.01
λ H
10 −3
10 −4 10 −3
κ
0.01
Abbildung 5.3: Baryonenasymmetrie im Parameterraum
Um einen Eindruck von der Effektivität der Kohärenten Baryogenese in der Flipped SU(5) zu
erhalten, haben wir die produzierte Baryonenasymmetrie im Parameterraum untersucht. Dazu
bestimmten wir an ca. 800 Punkten im Intervall 10 −4 ≤ κ ≤ 0.01 und 0.001 ≤ λ H ≤ 0.1 die produzierte
Ladungsdichte q. Das Intervall für κ haben wir so gewählt, weil κ = O(10 −3 ). Darüberhinaus
sollte λ H nicht zu groß sein. Es wäre aber auch interessant, größere Werte für λ H zu untersuchen,
da, wie wir gleich sehen werden, die Kohärente Baryogenese in diesem Bereich effektiver zu sein
scheint. Des weiteren haben wir wieder cp = 0.1 und Γ = 1.7 · κ · m G gewählt. Insbesondere führt
die gewählte Parametrisierung für Γ im gesamten Parameterbereich zu einer ähnlichen Dämpfung
der Felder S und N wie in den Abbildungen F.1 und F.2. Die Berechnung der ca. 800 Werte lief
auf vier Desktop-Computern gleichzeitig und benötigte etwa 2 Wochen.
Im Parameterraum gibt es nun zwei Möglichkeiten, aus der produzierten Ladungsdichte q die Baryonenasymmetrie
gemäß (5.70) zu berechnen. In Abbildung 5.3 haben wir eine Reheat-Temperatur
von T RH = 5.5 · 10 9 vorgegeben und die Baryonenasymmetrie dann gemäß (5.70) berechnet. Abbildung
5.3 ist eine schematische Darstellung der Ergebnisse. Die wirklich berechneten Punkte
im Parameterraum sind in Abbildung F.4 in Anhang F zu finden. Grün bedeutet dabei eine Baryonenasymmetrie
zwischen 5 · 10 −11 und 3 · 10 −10 , rot entsprechend eine höhere und blau eine
niedrigere Baryonenasymmetrie. Insbesondere sieht man, daß die Kohärente Baryogenese in großen
Bereichen des gewählten Intervalls bei einer Reheat-Temperatur von 5.5 · 10 9 GeV die gemessene
Baryonenasymmetrie erklären kann.
In Abbildung 5.2 haben wir als alternative Möglichkeit die Majorana-Masse des schwersten rechtshändigen
Neutrinos, in das das Inflaton noch zerfallen kann, zu 10 11 GeV angenommen. Daraus folgt
gemäß (3.37) die Reheat-Temperatur in Abhängigkeit von κ. In Abbildung 5.2 varriert sie deswegen
zwischen 6.3 · 10 10 GeV für κ = 0.01 und 6.3 · 10 9 GeV für κ = 10 −4 . Wieder ist Abbildung

5.2 eine schematische Darstellung und die Rohdaten findet man in Abbildung F.3 in Anhang F.
Des weiteren haben die Farben dieselben Bedeutungen wie zuvor. Die Darstellung in Abbildung
5.2 eignet sich besser, die einzelnen Werte im Parameterraum zu vergleichen. Wieder kann die
Kohärente Baryogenese in großen Bereichen des Parameterraums die gemessene Baryonenasymmetrie
erklären. Allerdings haben wir nun für große κ eine maximale Reheat-Temperatur von
6.3 · 10 10 . Schließlich haben wir in Abbildung 5.1 die Zeitentwicklung der produzierten Gesamtladung
dargestellt, wobei wir κ = 0.008, λ H = 0.01, cp = 0.2 und Γ = 0.8 · κ · m G gewählt haben.
Insbesondere haben wir eine kleine Dämpfungskonstante Γ gewählt, weswegen die Felder S und N
länger um ihre Minima oszillieren. Man sieht, daß die produzierte Gesamtladung dieser Bewegung
folgt.

0.02
0.015
0.01
0.005
q 1
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
0 1 2 3 4 5 6
k
Abbildung 5.4: Beispiel ➀: 1. Teil des Spektrums
3e-05
2e-05
1e-05
q 1
0
-1e-05
-2e-05
-3e-05
0.05
10 20 30 40 50 60
Abbildung 5.5: Beispiel ➀: 2. Teil des Spektrums
k
0.04
0.03
q 1
0.02
0.01
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
cp
Abbildung 5.6: Beispiel ➀: Gesamtladung in Abhängigkeit von cp

0.04
0.02
q 1
0
-0.02
-0.04
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
k
Abbildung 5.7: Beispiel ➁: 1. Teil des Spektrums
8e-05
6e-05
4e-05
2e-05
q 1
0
-2e-05
-4e-05
-6e-05
-8e-05
0.0007
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Abbildung 5.8: Beispiel ➁: 2. Teil des Spektrums
k
0.0006
0.0005
q 1
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
cp
Abbildung 5.9: Beispiel ➁: Gesamtladung in Abhängigkeit von cp

Kapitel 6
Zusammenfassung und
Schlußfolgerungen
Wir haben in dieser Arbeit zunächst eine allgemeine Einführung in die Idee der Vereinheitlichung
gegeben und sind auf die Vor- und Nachteile der Vereinheitlichung mit einfachen und halbeinfachen
Gruppen sowie Gruppen der Art G × U(1) mit G halbeinfach eingegangen. Dies diente als
Hintergrund für einen Vergleich der Gruppen SU(5) und SU(5) × U(1). Dazu haben wir zunächst
die supersymmetrische SU(5) detailliert besprochen, um darauf aufbauend die Vor- und Nachteile
der supersymmetrischen Flipped SU(5) mit der Eichgruppe SU(5) × U(1) herauszustellen.
In diesem Zusammenhang ist insbesondere der im Vergleich zur SU(5) sehr elegante Missing-
Partner-Mechanismus zum Doublet/Triplet-Splitting zu nennen, aber auch, daß die abgeleiteten
Relationen der Yukawa-Kopplungen auf der Vereinheitlichungsskala nicht im Widerspruch mit
dem Experiment stehen. Des weiteren haben wir neuere Ergebnisse angesprochen, denenzufolge
sich die minimale supersymmetrische SU(5) im Gegensatz zur Flipped SU(5) wegen zu schnellem
Protonzerfall ausschließen lässt. Andererseits hat die Flipped SU(5) den entscheidenden Nachteil,
keine Vereinigung der Eichkopplungen vorherzusagen und auch die Quantisierung der elektrischen
Ladungen von Quarks und Leptonen nicht zu erzwingen. Deswegen ist es wünschenswert, die Flipped
SU(5) in eine einfache Gruppe einzubetten. Bei der Einbettung in die SO(10) funktioniert
jedoch der Missing-Partner-Mechanismus der Flipped SU(5) nicht mehr, da die fehlenden Partner
der elektroschwachen Higgs-Doublets in den SO(10)-Multipletts vorhanden sind. Dieses Problem
kann man vielleicht in einem extradimensionalem Kontext beheben, worauf wir kurz eingegangen
sind.
Nach einer Einführung in die Inflation und spezieller die Hybrid-Inflation haben wir untersucht,
wie sich die Hybrid-Inflation in der supersymmetrischen Flipped SU(5) umsetzen lässt. Wie in
anderen supersymmetrischen Guts auch, lässt sich dies durch Hinzunahme eines einfachen Terms
im Superpotential erreichen. Allerdings dürfen einige durch die Eichsymmetrie erlaubte Terme im
Superpotential nicht auftreten, da das Skalarpotential sonst zu steil wird und die Inflation nicht
stattfinden kann. Des weiteren sind in der Flipped SU(5) auf nichtrenormierbarem Niveau auch
zahlreiche Terme erlaubt, die zu einem zu schnellen Protonzerfall führen würden. Deswegen ist es
wichtig, zusätzliche Symmetrien zu fordern, die diese gefährlichen Terme verbieten. Auf der Suche
nach solchen Symmetrien sind wir auf große Schwierigkeiten gestossen. Wir haben gezeigt, daß es
nicht möglich ist, gefährliche Terme im Superpotential durch globale U(1)- und Z n -Symmetrien
und die entsprechenden R-Symmetrien zu verbieten ohne auch erwünschte Terme mit zu verbieten.
Dies mag gegen das von uns gewählte Superpotential sprechen. Andererseits haben wir erwähnt,
daß es möglich ist, die gefährlichen Terme mit einer geeichten anomalen U(1)-Familiensymmetrie
zumindest stark zu unterdrücken. Allerdings ist nicht klar, ob die Unterdrückung ausreicht, um
insbesondere die Hybrid-Inflation zu realisieren. Hier liegt ein interessantes Feld für weitere Untersuchungen.
Im Anhang haben wir außerdem eine genaue Analyse der sponanten Symmetriebrechung der Flip-
73

ped SU(5) durchgeführt. Dabei ist uns aufgefallen, daß durch die spontane Symmetriebrechung
ein chirales Superfeld der Higgs-Multipletts H und ¯H keine Masse erhält. Des weiteren haben
wir festgestellt, daß dieses Problem durch den Hybrid-Inflations-Term im Superpotenital behoben
wird. Dies ist ein Grund, die Hybrid-Inflation dem Mechanismus zur Symmetriebrechung durch
Strahlungskorrekturen aus dem ersten supersymmetrischen Modell [13] vorzuziehen. Schließlich
wurde die Analayse der Symmetriebrechung im Verlauf der Arbeit immer wieder relevant, wenn
es darum ging, Zerfälle in Teilchen der Higgs-Multipletts wegen derer Massen auszuschließen.
Wir haben des weiteren eine einfache Abschätzung der Reheat-Temperatur in der Flipped SU(5)
gewonnen. Die Reheat-Temperatur liegt etwa eine Größenordnung unter der Masse des schwersten
rechtshändigen Neutrinos, in die das Higgs und das Inflaton noch zerfallen können. Um die zur
Vermeidung einer Überproduktion von Gravitinos gesetzte Höchstgrenze der Reheat-Temperatur
nicht zu überschreiten, bedarf es entweder einer großen Hierarchie in den Majorana-Massen der
rechtshändigen Neutrinos oder aber allgemein nicht zu großer Majorana-Massen. In diesem Zusammenhang
wäre es interessant, mögliche Modifikationen wie beispielsweise den erweiterten Seesaw-
Mechanismus aus dem ersten supersymmetrischen Modell zu studieren.
Wir haben das Reheating und Preheating einer genaueren Betrachtung unterzogen. In zahlreichen
Publikationen wird der Umstand ausgenutzt, daß sich skalare Felder mit großen Besetzungszahlen
als klassische Wellen beschreiben lassen. Deren Dynamik läßt sich dann mittels relativistischer
Wellengleichungen auf dem Gitter simulieren. Auf diese Weise wurden Preheating und Reheating
sowie die anschließende Thermalisierung in verschiedenen Modellsystemen untersucht. Für unsere
Untersuchungen besonders relevant ist das Tachyonische Preheating. Dieses führt insbesondere
nach der Hybrid-Inflation zur Produktion eines Gemisches von Quanten des Higgs-Feldes mit hohen
Besetzungszahlen. Da wir im weiteren Verlauf dieser Arbeit die Baryogenese insbesondere
während dieser Phase betrachteten, haben diese Ergebnisse direkten Einfluss auf unsere Untersuchungen.
Einen weiteren Schwerpunkt dieser Arbeit bildete die Unteruchung der Baryogenese in der Flipped
SU(5). Zunächst haben wir die drei Sakharov-Bedingungen erläutert, die ein Mechanismus
zur Baryogenese erfüllen muß. Deren Umsetzung haben wir dann im Szenario der Leptogenese
beschrieben. Auf drei Mechanismen zur Erzeugung der benötigten großen Zahl an rechtshändigen
Neutrinos sind wir eingegangen. Die thermische Produktion läßt sich in der Flipped SU(5) mit
Hybrid-Inflation wegen der von uns hergeleiteten Beziehung zwischen der Masse der rechtshändigen
Neutrinos und der Reheat-Temperatur in den meisten Fällen ausschließen. Eine andere Möglichkeit
ist die Produktion während des Reheatings, also durch den perturbativen Zerfall des Inflatons
S und des Higgs N. Dieses Szenario ist in der Flipped SU(5) besonders naheliegend, da die Higgs
N nach der Inflation hauptsächlich in rechtshändige Neutrinos zerfallen. Andererseits wissen wir,
das nach dem Tachyonischen Preheating vorwiegend Quanten des Feldes N vorhanden sind. Wir
konnten eine einfache Beziehung herleiten, derzufolge die produzierte Baryonenasymmetrie im wesentlichen
von der Reheat-Temperatur abhängt. In der Flipped SU(5) läßt sich die beobachtete
Baryonenasymmetrie mit einer Reheat-Temperatur von ungfähr 2 · 10 9 GeV und natürlichen Werten
für andere Parameter erklären. Insofern ist die Leptogenese während des Reheatings in der
Flipped SU(5) eine sehr interessanter Mechanismus. Die rechtshändigen Neutrinos können des
weiteren auch durch das Preheating produziert werden. Für eine konkrete Wahl der Parameter
haben wir die das Preheating beschreibenden Gleichungen numerisch gelöst und die produzierte
Baryonenasymmetrie bestimmt. In unserem Beispiel reicht diese Baryonenasymmetrie nicht aus.
Allerdings ist es möglich, daß es Bereiche im Parameterraum gibt, in denen die Leptogenese mit
Preheating effektiv ist. Dies kann ein Gegenstand möglicher künftiger Untersuchungen sein.
Die Leptogenese kann als Vergleich dienen für das von uns intensiv untersuchte Szenario der
Kohärenten Baryogenese. Nach einer Beschreibung der Anforderungen an die beteiligte Massenmatrix
(nichtsymmetrisch, komplexwertig und zeitabhängig) haben wir die kinetischen Gleichungen
hergeleitet, mit denen wir die Entwicklung insbesondere der produzierten Ladungsdichte beschreiben.
Anschließend haben wir die für die Kohärente Baryogenese in der Flipped SU(5) verantwortliche
Massenmatrix hergeleitet. Diese ergibt sich automatisch, wen man die für den Missing-
Partner-Mechanismus verantwortlichen Terme im Superpotential mit dem Hybrid-Inflations-Term
kombiniert. Insofern ist die Kohärente Baryogenese in der Flipped SU(5) ein natürliches Szenari-

um, daß insbesondere nicht die Einführung neuer Felder erfordert. Da im Fall der Flipped SU(5)
keine (B − L)-Ladung produziert wird, müssen die produzierten Teilchen (B − L)-verletzend zerfallen.
Die dabei entstehende (B − L)-Asymmetrie haben wir bestimmt.
Die Massenmatrix hängt ab vom Parameter κ aus dem Hybrid-Inflations-Term sowie den beiden
Yukawa-Kopplungen λ H und λ ¯H der für den Missing-Partner-Mechanismus verantwortlichen
Terme im Superpotential. Unter der vereinfachenden Annahme |λ H | = |λ ¯H| und für eine feste CPverletzende
Phase haben wir die produzierte Baryonenasymmetrie mit einem selbstgeschriebenen
Programm im Parameterraum bestimmt und graphisch dargestellt. Dabei haben wir gefunden,
daß bereits für eine maximale Reheat-Temperatur von 10 9 GeV große Bereiche im Parameterraum
vorhanden sind, in denen die Kohärente Baryogenese in der Flipped SU(5) die gemessene
Baryonenasymmetrie erklären kann. Die Situation verbessert sich nochmals, wenn man eine maximale
Reheat-Temperatur von 10 10 GeV zulässt, welche in einigen Szenarien zur Vermeidung einer
Überproduktion von Gravitinos zulässig ist.

Anhang A
Supersymmetrie
Supersymmetrie ist eine Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen. Im folgenden werden wir
lediglich einige Formeln zusammenstellen, die im weiteren Verlauf dieser Arbeit immer wieder
benötigt werden. Für eine Einführung in Supersymmetrie sei der Leser auf [3] oder [4] verwiesen.
Ein chirales Supermultiplett enthält einen Skalar, ein linkshändiges Weyl-Fermion und das F-Feld.
Ein Vektor-Supermultiplett enthält ein Eichboson, ein Weyl-Fermion (das Gaugino) und das D-
Feld. Wir verwenden in dieser Arbeit nicht den Superfeldformalismus. Stattdessen betrachten wir
die Komponenten der Supermultipletts getrennt und erinnern uns erst zu gegebener Zeit daran,
daß sie eigentlich zusammengehören. Bezeichnet des weiteren Ψ die linkshändige Komponente eines
Dirac-Fermions, so bezeichnet Ψ c die linkshändige Komponente des zugehörigen Antiteilchens. Der
Dirac-Spinor lautet dann: ( Ψ
Ψ c† )
(A.1)
Dabei bedeutet † hermitesche Konjugation. Darüberhinaus bedeutet ∗ komplexe Konjugation,
wohingegen ein Querstrich über einem Feld immer Teil des Namens ist. Bezeichnet χ weiterhin
ein skalares Feld, so ist Ψ χ das zugehörige Weyl-Fermion.
Die Felder D und F kann man ausintegrieren. Die kinetischen Terme in der Lagrangedichte lauten
dann (es gelte die Summenkonvention):
L ⊃ −D µ φ i∗ D µ φ i − i Ψ i†¯σ µ D µ Ψ i − 1 4 F a µνF aµν − i Λ †a¯σ µ D µ Λ a
(A.2)
Dabei bezeichnet φ i die skalare und ψ i die fermionische Komponente eines chiralen Supermultipletts.
Außerdem bezeichnet F a µν die Feldstärke eines Eichfeldes und Λ a das zugehörige Gaugino
in einem Vektor-Supermultiplett. Es ist σ µ = (1, σ i ) und ¯σ µ = (1, −σ i ) für µ = 0, 1, 2, 3 und
i = 1, 2, 3. Die kovariante Ableitung D µ wird gegeben durch
D µ = ∂ µ − i g T a A a µ,
(A.3)
wobei die T a die Generatoren der Eichgruppe bezeichnen und g die Eichkopplung ist. Das Superpotential
W, das man sich in unserer Herangehensweise als Funktion der skalaren Felder vorstelle,
führt folgendermaßen zu Yukawa-Kopplungen in der Lagrangedichte:
L ⊃ − 1 2
( )
W
ψ i ψ j +h.c.
∂φ i ∂φ j
−
( W
∂φ i
) ( W
∗
∂φ i )
(A.4)
Schließlich führen die Eichwechselwirkungen auch zu folgenden Termen in der Lagrangedichte (hier
gelte nicht die Summenkonvention):
L ⊃ √ 2 [ (φ i∗ T a ψ i )Λ a + h.c. ] − g 2 (φ i T a φ i ) 2
(A.5)
76

Da wir es noch oft benötigen, sei abschließend das vollständige Skalarpotential dargestellt (hier
gelte wiederum nicht die Summenkonvention):
( ) ( )
W W
V (φ i , φ ∗i ∗
) =
∂φ i ∂φ i + g 2 (φ i T a φ i ) 2 (A.6)

Anhang B
Kosmologie
B.1 FRW-Kosmologie
Die Galaxie, in der sich unser Sonnensystem befindet, die Milchstraße, ist Teil eines Galaxienhaufens,
der Lokalen Gruppe. Diese wiederum ist Bestandteil eines Superhaufens, des Virgo-
Superhaufens, der seinerseits in eine wabenförmige Struktur eingebettet ist. Auf größeren Skalen
kennt man dagegen keine weiteren Strukturen und das Universum erscheint homogen (konstante
Dichte) und isotrop (gleichförmig in alle Richtungen). Entsprechend beobachtet man eine auf
großen Skalen isotrope kosmischen Hintergrundstrahlung. Es ist deswegen naheliegend, das Universum
durch eine Materieverteilung mit diesen Eigenschaften zu beschreiben und nach einer
passenden Metrik für die Einsteinschen Feldgleichungen zu suchen.
Zunächst ist es möglich, eine universelle Zeit t zu definieren: Man stelle sich Beobachter vor, die an
verschiedenen Raumpunkten sitzen. Ihre Uhren können sie synchronisieren, indem sie sich durch
den Austausch von Signalen darauf verständigen, die Uhren bei Erreichen beispielsweise einer bestimmten
Dichte des Universums auf einen gemeinsamen Wert zu stellen. Aus der Isotropie folgt
weiter, daß sich die Materieverteilung nur in radialer Richtung bewegen kann. Dies ist konsistent
mit der Beobachtung, daß unser Universum expandiert. Man benutzt deswegen am einfachsten
Kugelkoordinaten θ, φ und r ′ für den Raum. Die Radialkoordinate r ′ zerlegt man in die sogenannte
comoving“ Koordinate r und den Skalenfaktor R(t). Die mitbewegte Koordinate r bleibt
”
dabei für Objekte konstant, die nur der allgemeinen Radialbewegung unterliegen, wohingegen der
Skalenfaktor R(t) die Radialbewegung parametrisiert. Die gesuchte Metrik, benannt nach H. P.
Robertson und A. G. Walker, hat mit diesen Definitionen die Form:
[ ]
dr
ds 2 = dt 2 − R 2 2
(t)
1 − kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
(B.1)
Der Parameter k unterscheidet die drei Fälle eines räumlich offenen (k = −1), geschlossenen
(k = 1) sowie flachen Universums (k = 0). Den Skalenfaktor kann man normieren, indem man
a(t) ≡ R(t)/R 0 setzt, wobei R 0 der gegenwärtige Wert des Skalenfaktors ist. Die Robertson-
Walker-Metrik nimmt dann folgende Form an:
[
ds 2 = dt 2 − a 2 dr 2
]
(t)
1 − k(r/R 0 ) 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
(B.2)
Für k = 0 haben (B.1) und (B.2) die gleiche Form und wir können in den im folgenden hergeleiteten
Gleichungen R durch a ersetzen. Davon werden wir oft Gebrauch machen, ohne dies explizit zu
erwähnen. Der physikalische Abstand in radialer Richtung r ph zur Zeit t folgt aus der Robertson-
Walker-Metrik zu:
r ph = R(t)
∫ r
0
dr ′
√
1 − k r
′2
(B.3)
78

Wegen der Isotropie der Materieverteilung hat der Energie-Impuls-Tensor die blockdiagonale Form
T µν = diag(ρ, p g ij ), wobei ρ die Energiedichte und p den Druck der Materie bezeichnen und g ij
der räumliche Teil der Metrik ist. Setzt man den Energie-Impuls-Tensor und die Metrik in die
Einsteinschen Feldgleichungen ein, so erhält man aus der (0, 0)-Komponente eine Version der
Friedmann-Gleichung:
Ṙ 2 − 8πG
3 ρ R2 = −k (B.4)
Eine weitere Version erhält man aus den (i, i)-Komponenten, wenn man zusätzlich (B.4) benutzt:
¨R = − 4πG R (ρ + 3p) (B.5)
3
Punkte bedeuten hier und im weiteren Verlauf der Arbeit Ableitungen nach der Zeit t. Kosmologische
Modelle, die durch die Robertson-Walker-Metrik und die Friedmann-Gleichungen beschrieben
werden, nennt man auch Frw-Modelle. Als sehr nützlich erweist sich der Übergang zu einer anderen
Zeit-Koordinate, der konformen Zeit η. Diese ist definiert durch:
η ≡
∫ t
0
dt ′
R(t ′ )
bzw. R dη = dt (B.6)
Die Robertson-Walker-Metrik nimmt damit folgende Form an:
]
ds 2 = R 2 (t)
[dη 2 − dr2
1 − kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
(B.7)
Für k = 0 steht in eckigen Klammern die Minkowski-Metrik. Schließlich lauten die beiden Versionen
der Friedmann-Gleichung dann, wobei Striche hier und im weiteren Verlauf Ableitungen nach
der konformen Zeit η bedeuten:
( R
′
R
) 2
− 8πG
3 ρ R2 = −k R ′′ = − 4πG
3 R3 (ρ + 3p) (B.8)
Die sogenannte kritische Energiedichte, die einem Universum mit k = 0 entspricht, findet man aus
Gleichung (B.4) zu
Ṙ
ρ c ≡ 3H2
8πG ,
(B.9)
wobei H =
R
der Hubble-Parameter ist. Es ist praktisch, die Energiedichte ρ in Einheiten der
kritischen Dichte ρ c anzugeben und man definiert:
Ω ≡ ρ ρ c
= 8πGρ
3H 2
(B.10)
Da sowohl ρ als auch H zeitabhängig sind, gilt dies auch für Ω. Einen Ausdruck, der dies verdeutlicht,
leiten wir gleich her.
Zur Lösung der Friedmann-Gleichungen braucht man die Zustandsgleichung der Materie im Universum.
Vereinfachend kann man annehmen, daß p = ωρ gilt, wobei ω zeitunabhängig sei. Einige
kosmologisch bedeutsame Arten von Materie erfüllen diese Gleichung. So ist ω = 0 eine gute
Näherung für eine Ansammlung nichtrelativistischer Teilchen, die man in der Kosmologie einfach
‘Materie’ nennt. Weiter beschreibt ω = 1 3
in guter Näherung ein Gas aus Photonen und
anderen ultrarelativistischen Teilchen, das man in der Kosmologie als ‘Strahlung’ bezeichnet. Außerdem
erfüllt auch eine Vakuumenergiedichte, obwohl nicht eigentlich Materie, diese Gleichung
mit ω = −1. Mit Hilfe der Friedmann-Gleichungen findet man das folgende Verhalten der Energiedichte
in Abhängigkeit vom Skalenfaktor:
ρ(R) ∝
1
R(t) 3(1+ω)
(B.11)

Es ist ein gutes Modell, die Energiedichte des Universums aufzuteilen in Beiträge ρ m der (nichtrelativistischen)
Materie, ρ r der Strahlung und ρ v der Vakuumenergiedichte. Die Parameter Ω m ,
Ω r und Ω v definiert man entsprechend. Mit Gleichung (B.11) findet man:
ρ m ∝ R −3
ρ r ∝ R −4
ρ v const.
(B.12)
Die erste und dritte Beziehung sind naheliegend. Die zweite wird verständlich, wenn man bedenkt,
daß Strahlung zusätzlich der Rotverschiebung unterliegt. Zusammen mit der ersten Version der
Friedmann-Gleichung erhält man damit das folgende Verhalten des Parameters Ω in Abhängigkeit
vom (normierten) Skalenfaktor a:
Ω(a) = 1 +
Ω − 1
1 − Ω + Ω v a 2 + Ω m a −1 + Ω r a −2 (B.13)
Das Ω ohne Klammern bezeichnet den heutigen Wert, da der Skalenfaktor a so normiert ist, daß
gegenwärtig a = 1. Beobachtungen entnimmt man, daß Ω nahe 1 ist. Daraus folgt mit der letzten
Gleichung das sogenannte Flachheits-Problem, wie wir im Kapitel über Inflation erklären werden.
Für den Fall eines Universums mit k = 0, das nur eine Form der Materie mit konstantem ω ≠ −1
enthält, lässt sich die Friedmann-Gleichung (B.4) leicht lösen und man findet mit Hilfe von (B.11):
R ∝ t 2 3 /(1+ω)
(B.14)
Die Beschränkung auf k = 0 ist nicht nur eine mathematische Vereinfachung, da wie angesprochen
zur Zeit recht genau Ω = 1 gilt. Zumindest für frühere Zeiten braucht man aber auch die Fälle
k = −1 und k = 1, auf deren Lösung wir jedoch nicht eingehen. Dominiert im Universum die
Vakuumenergiedichte mit ω = −1, so lassen sich die Lösungen in allen drei Fällen leicht finden:
⎧
⎪⎨ sinh Ht für k = −1
R ∝
⎪⎩
cosh Ht für k = 1
e Ht für k = 0
(B.15)
√
8πρ v /3m 2 p für k ≠ 0 nicht der Hubble-Parameter ist, sich diesem aber
Man beachte, daß H =
exponentiell schnell annähert. Für k = 0 nennt man einen ausschließlich Vakuumenergiedichte
enthaltenden Raum de-Sitter-Raum. Die vorangehende Gleichung wird bei der Besprechung der
Inflation eine wichtige Rolle spielen. Interessanter als Universen, in denen eine Form der Materie
oder die Vakuumenergie die Energiedichte dominiert, sind sicherlich solche, in denen die Energiedichte
aus verschiedenen Bestandteilen besteht. Auch für diesen allgemeinen Fall lassen sich
Lösungen finden, auf die wir aber nicht weiter eingehen.
War die bisherige Diskussion allgemein gehalten, so sollten wir nun unser Universum genauer betrachten.
Wie bereits erwähnt wurde, beobachtet man eine Expansion beispielsweise der Galaxien
voneinander. Diese Hubble-Expansion deutet auf eine Phase in der Entwicklung des Universums
hin, in der die Materiedichte wesentlich größer und die Temperatur wesentlich höher war. Geht
man zu noch früheren Zeiten, so scheint das Universum aus einer Singularität unendlicher Dichte
und unendlicher Temperatur entstanden zu sein. Jedoch werden spätestens bei Energien der
Planck-Skala m p ≃ 10 19 GeV Effekte der Quantengravitation bedeutend, die möglicherweise unser
Konzept der Zeit ungültig werden lassen, in jedem Fall aber zu noch wenig verstandener Physik
führen. Man muss mit dieser Interpretation des Beginns des Universums deswegen vorsichtig sein.
Geht man von der Planck-Skala aus zu niedrigeren Energien, so treten eine Reihe von besser verstandenen
Effekten auf, die wir kurz beschreiben wollen.
Setzt man eine Große Vereinheitlichungstheorie voraus, so erwartet man bei etwa 10 16 − 10 15 GeV
einen Phasenübergang zum Standardmodell mit der Eichgruppe SU(3) C × SU(2) L × U(1) Y .
Diese wiederum bricht im elektroschwachen Phasenübergang bei etwa 300 GeV zu der Gruppe
SU(3) C × U(1) EM . Ein weiterer Phasenübergang ereignet sich bei etwa 0.2 GeV, nämlich

der Quark-Hadron-Übergang. Befanden sich die Quarks vorher in einem Quark-Gluon-Plasma,
so sind sie nun nicht länger frei und in Hadronen gebunden (das Confinement). Damit assoziiert
ist die Brechung der chiralen Symmetrie der QCD. Zu noch niedrigeren Energien von etwa
100 MeV fallen die Neutrinos aus dem thermischen Gleichgewicht, weil ihre Wechselwirkungsrate
mit anderen Teilchen kleiner als die Hubble-Rate wird. Wir werden auf dieses Decoupling noch
zu sprechen kommen. Bei den nun erreichten Energien sind schwerere Hadronen als Protonen und
Neutronen nicht mehr vorhanden, da sie schnell zerfallen und die durchschnittlichen Energien der
Teilchenstöße nicht mehr ausreichen, neue Hadronen zu erzeugen. Die Neutronen und ein Teil der
Protonen werden bei etwa 0.1 GeV in Kernen gebunden, hauptsächlich in solchen von 4 He. Dies
ist die Nukleosynthese. Die Energiedichten von Materie und Strahlung zeigen eine unterschiedliche
Abhängigkeit vom Skalenfaktor. Dominiert zu frühen Zeiten und kleinen Skalenfaktoren Strahlung
die Energiedichte, so kann man Gleichung (B.12) entnehmen, daß zu späteren Zeiten und größeren
Skalenfaktoren Materie dominiert. Bei etwa 1 eV sind die Energiedichten von gleicher Größe.
Schließlich ist die Temperatur bei etwa 0.3 eV genug gefallen, damit sich Atome bilden können.
Diese Phase der sogenannten Rekombination wird dicht gefolgt vom Decoupling der Photonen.
Das Universum wird durchsichtig und der Cmb bildet sich. Nicht berücksichtigt haben wir bisher
eine Phase der Inflation. Bei der in Kapitel 3 genauer betrachteten Hybrid-Inflation würde
diese etwa bei der Planck-Skala beginnen und mit dem Phasenübergang einer Großen Vereinheitlichungstheorie
enden. Anschließend wird das Universum auf die sogenannte Reheat-Temperatur
wiederaufgeheizt und setzt seine Entwicklung dann wie oben fort.
Zu frühen Zeiten lässt sich die Materie im Universum als ein ideales Gas im Gleichgewicht beschreiben.
Für die Eigenschaft des idealen Gases dürfen die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen
nicht zu stark sein. Damit es andererseits im Gleichgewicht ist, müssen die Wechselwirkungsraten
groß genug sein, insbesondere größer als die Ausdehnungsrate H des Universums. Man kann zeigen,
daß beide Bedingungen zumindest im Bereich zwischen 10 16 GeV und 100 MeV gut erfüllt
sind. Wird die Wechselwirkungsrate Γ einer Teilchensorte deutlich kleiner als die Ausdehnungsrate
H des Universums
Γ ≪ H,
(B.16)
so reichen die Wechselwirkungen nicht mehr aus, diese im Gleichgewicht mit dem umgebenden
Wärmebad zu halten. Dies ist das sogenannte Decoupling der betreffenden Teilchensorte. Zur Beibehaltung
des Gleichgewichts müssen grob gesprochen die Produkte einer Reaktion die Möglichkeit
zur inversen Reaktion haben. Dehnt sich das Universum zu schnell aus, ist dies nicht mehr der
Fall.
Zu frühen Zeiten wird die Energiedichte durch Strahlung dominiert, also durch Photonen und
andere ultrarelativistische Teilchen. Mit abfallender Temperatur werden mehr und mehr massive
Teilchensorten nichtrelativistisch. Dies geschieht immer dann, wenn die Temperatur T kleiner wird
als die Masse m der entsprechenden Teilchensorte:
T < m
(B.17)
Des weiteren lässt sich die Ausdehnung des Universums in guter Näherung mit der Adiabatengleichung
1
T ∝
(B.18)
R 3(Γ−1)
beschreiben, mit Γ = 4 3
für Strahlung. Die Energie- und Entropiedichte einer Mischung verschiedener
ultrarelativistischer Teilchensorten lässt sich bequem in jeweils einer Formel angeben, wenn
man die effektive Zahl der Freiheitsgrade g ∗ definiert:
g ∗ ≡
∑
g i +
∑
(B.19)
Bosonen
Fermionen
Dabei sind g i und g j die Zahl der Spinfreiheitsgrade der jeweiligen Sorte von Bosonen bzw. Fermionen.
Diese Definition gilt nur, solange alle Teilchensorten dieselbe Temperatur haben. Auch
g j

summiert man nur über solche Sorten, die bei der interessierenden Temperatur ultrarelativistisch
sind. Die Größe g ∗ ist somit temperaturabhängig und man hat im Standardmodell:
⎧
⎪⎨ 100 für T > 300 MeV
g ∗ ∼ 10 für 300 MeV > T > 1 MeV
(B.20)
⎪⎩
3 für T < 1 MeV
Wir betrachten im Verlauf dieser Arbeit ausschließlich Temperaturen weit über 300 MeV und
setzen außerdem das Mssm voraus. Der passende Wert ist dann g ∗ = 221.5. Das chemische Potential
einer Teilchensorte verschwindet, wenn im Plasma genausoviele Teilchen wie Antiteilchen
vorhanden sind. Für die Energie- und Entropiedichte einer Mischung ultrarelativistischer Teilchen
in Abhängigkeit von der Temperatur gilt dann:
ρ = π2
30 g ∗ T 4 (B.21)
s = 2π2
45 g ∗ T 3 (B.22)
Den Beitrag nichtrelativistischer Teilchen zur Energie- und Entropiedichte kann man vernachlässigen.
Die Teilchenzahldichte n i einer Sorte ultrarelativistischer Teilchen berechnet sich zu:
{ ζ(3)
n i =
π
g 2 i T 3 für Bosonen
3ζ(3)
4π
g 2 i T 3 (B.23)
für Fermionen
Dabei ist g i die Zahl der Spinfreiheitsgrade der betreffenden Teilchensorte, ζ die Riemannsche
Zetafunktion und ζ(3) ≃ 1.202. Ist die Entropie S pro ”
comoving“ Volumen erhalten, so gilt für
die Entropiedichte s (s = S / physikalische Volumeneinheit):
s ∝ R −3
(B.24)
Die Teilchenzahl N einer Sorte pro comoving“ Volumen ist N = n R 3 , wobei n die Teilchenzahldichte
(entsprechend n = N / physikalische Volumeneinheit) der betreffenden Sorte ist. Dann folgt
”
aus obiger Beziehung:
N ∝ n (B.25)
s
Werden außerdem keine Teilchen erzeugt oder vernichtet, so bleibt N und damit n s
erhalten.
Besonders nützlich ist dies in Zusammenhang mit der Baryonenasymmetrie η B , definiert durch:
η B ≡ n B − n ¯B
s
(B.26)
Dabei sind n B und n ¯B die aufsummierten Teilchenzahldichten der Baryonen bzw. Antibaryonen.
Diese Größe bleibt auch dann erhalten, wenn Baryonen und Antibaryonen in gleicher Menge
produziert werden, beispielsweise bei Paarerzeugung aus Photonen. Einzig Prozesse, die die Baryonenzahl
verletzen, verändern den Wert von η B . Beginnt das Universum mit η B = 0, so bedarf
es einer Phase mit solchen Prozessen, um den gemessenen, nichtverschwindenden Wert von η B zu
erklären. Darauf werden wir im Kapitel über Baryogenese noch genauer eingehen.
War bisher immer von einzelnen Teilchen die Rede, so reicht diese Beschreibung für viele Phänomene
nicht aus und man muss zu einer Beschreibung im Rahmen der Quantenfeldtheorie übergehen.
Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit ist ein komplexes Gebiet, auf das wir nicht im Detail
eingehen. Der interessierte Leser sei dazu auf [2] verwiesen. Glücklicherweise vereinfacht sich die
Situation in unserem Fall etwas: Wir werden im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich an Prozessen
interessiert sein, die nach der Inflation auftreten. Wie wir in Kapitel 3 zeigen werden, ist das Universum
dann räumlich flach mit k = 0. Insbesondere können wir dann den Skalenfaktor R durch
a ersetzen. Die Lagrangedichte für ein skalares Feld lautet in dieser Situation:
√ −gL =
1
2 a3 η µν (∂ µ φ)(∂ ν φ) − 1 2 a3 m 2 φ 2 (B.27)

Es ist g = det g µν die Determinante der Rw-Metrik und η µν = diag(1, −1, −1, −1) ist die Minkowski-
Metrik. Multiplikation von L mit √ −g ist nötig, um eine Skalardichte der Allgemeinen Relativitätstheorie
zu erhalten. Nach einer Transformation zur konformen Zeit nimmt die Robertson-
Walker-Metrik für k = 0 die einfache Form Minkowski-Metrik mal a 2 an, siehe (B.7). Die Lagrangedichte
für ein skalares Feld lautet dann:
√ −gL =
1
2 a2 η µν (∂ µ φ)(∂ ν φ) − 1 2 a4 m 2 φ 2 (B.28)
Dabei bezeichnen im Gegensatz zu oben die ∂ i Ableitungen nach den comoving“ Koordinaten
”
und ∂ 0 die Ableitung nach der konformen Zeit η. Besonders nützlich ist die Transformation zu
konformer Zeit bei einem Spin- 1 2-Feld. Dessen Lagrangedichte lautet dann mit den Reskalierungen
a 3 2 ψ → ψ und am R,I → m R,I :
√ −gL = i ¯ψ η µν γ µ ∂ ν ψ − ¯ψ (m R + iγ 5 m I ) ψ
(B.29)
Die γ-Matrizen sind die üblichen Dirac-Matrizen. Wir werden von der Reskalierung regen Gebrauch
machen. Auf Besonderheiten im Zusammenhang mit der Quantisierung von Lagrangedichten in
allgemeineren Situationen als der Minkowski-Raumzeit werden wir noch in Abschnitt 3.3 eingehen.
B.2 Probleme der FRW-Kosmologie
Die Frw-Kosmologie, auf deren wesentliche Punkte wir in Abschnitt B.1 eingegangen sind, beschreibt
eine große Zahl von Beobachtungen sehr gut. Allerdings gibt es eine Reihe von Problemen,
die ungelöst bleiben:
Flachheits-Problem Errinnern wir uns an Gleichung (B.13) aus Abschnitt B.1, die das
Verhalten des Parameters Ω in Abhängigkeit vom Skalenfaktor a angibt:
Ω(a) = 1 +
Ω − 1
1 − Ω + Ω v a 2 + Ω m a −1 + Ω r a −2 (B.30)
Das Ω ohne Klammern sowie Ω v , Ω m und Ω r bezeichnen die heutigen Werte, da wir den Skalenfaktor
so normiert haben, daß gegenwärtig a = 1 gilt. Beschränken wir uns auf Universen, die nicht
ausschließlich aus Vakuumenergie bestehen und sich ausdehnen. Geht man dann zu kleinen Skalenfaktoren
und damit frühen Zeiten, so wird sich jedes Modell mehr und mehr einem mit Ω = 1
nähern. Sei zusätzlich zu Beginn der Entwicklung der Anteil der Vakuumenergiedichte Ω v deutlich
kleiner als Ω m und Ω r , wie wir es von unserem Universum erwarten. Dann wird umgekehrt jedes
Modell, das mit einer kleinen Abweichung von Ω = 1 bei kleinen Skalenfaktoren und damit frühen
Zeiten startet, sich rapide zu einem mit sehr großem oder kleinem Ω entwickeln. Ω = 1 entspricht
dabei bekanntlich einem flachen Universum mit k = 0, für Ω > 1 ist das Universum räumlich
geschlossen und für Ω < 1 räumlich offen.
Aus Beobachtungen kann man den derzeitigen Wert von Ω bestimmen und erhält Ω = 1.02 ± 0.02
[19]. Extrapoliert man zurück zur Planck-Skala, was die natürliche Skala für den Beginn ist, so
erhält man für die Abweichungen von Ω(m p ) vom Wert 1:
|Ω(m p ) − 1| O(10 −60 )
(B.31)
Die Energiedichte muß auf der Planck-Skala folglich äußerst genau ausbalanciert gewesen sein, um
die beobachtete Flachheit des heutigen Universums zu erklären. Zwar würde sich ein Universum
mit Ω(m p ) exakt gleich 1 nicht von diesem Zustand wegbewegen, doch bedarf es auch dann einer
Erklärung dieses Anfangszustandes.
Nun kollabiert ein Universum mit Ω → ∞ sehr schnell wieder, eines mit Ω → 0 ist praktisch leer.
Man kann deswegen mit dem anthropischen Prinzip argumentieren, daß die Anfangsbedingungen
in unserem Universum deswegen so genau ausbalanciert waren, weil es uns sonst nicht gäbe und

wir diese Frage somit nicht stellen könnten. Wir werden gleich eine andere Lösung anbieten, die
darüberhinaus noch andere Probleme löst.
Horizont-Problem Signale breiten sich maximal mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Jedes
Teilchen kann deswegen vom Beginn des Universums bis heute nur mit Teilchen aus einem endlichen
Bereich in kausalen Kontakt gestanden haben, den man den Teilchenhorizont nennt. Licht
bewegt sich entlang von Nullgeodäten mit ds 2 = 0. In radialer Richtung mit dθ = 0 und dφ = 0
folgt aus der Robertson-Walker-Metrik (B.1) deswegen die Gleichung dt/R(t) = dr/ √ 1 − k r 2 und
damit:
∫ r
dr ′ ∫ t
√ = dt ′
1 − k r
′2 R(t ′ (B.32)
)
0
Multipliziert man diese Gleichung mit R(t) so steht gemäß Gleichung (B.3) auf der linken Seite
der physikalische Radius r H des Teilchenhorizonts. Folglich gilt:
0
∫ t
dt ′
r H = R(t)
0 R(t ′ )
(B.33)
Wenden wir diese Gleichung auf den kosmischen Mikrowellenhintergrund (Cmb) an. Dieser entstand
zur Zeit der Rekombination, als das Universum eine Temperatur von ungefähr 3000 K hatte.
Gegenwärtig misst man den Cmb bei einer Temperatur von etwa 2.73 K. Zur Zeit der Rekombination
dehnt sich das Universum bereits deutlich länger materie- als strahlungsdominiert aus.
In einem Universum mit Ω = 1 wie unserem gilt nach Gleichung (B.14) R ∝ t 2 3 /(1+w) und damit
mit w = 0 für Materie R ∝ t 2/3 . Da der Cmb andererseits Strahlung ist, benutzt man die Adiabatengleichung
(B.18) T ∝ R −3(Γ−1) mit Γ = 4 3
und erhält für das Verhalten dessen Temperatur
T ∝ R −1 . Damit folgt für das Alter des Universums zur Zeit der Rekombination t r und das heutige
Alter t 0 :
T 0
= 2.73 K
T r 3000 K = R(t ( ) 2
r)
R(t 0 ) = tr
3
t 0
(B.34)
Das Universums ist derzeit circa 10 10 Jahre alt, woraus sich t r ≃ 275000 Jahre ergibt. Diesen Wert
benutzen wir, um die Größe des Teilchenhorizonts zur Zeit der Rekombination zu berechnen:
∫ tr
r H = R(t r )
0
dt ′
R(t ′ ) = t r
∫ tr
2
3
0
dt ′
t ′2/3 = 3 t r
(B.35)
Rechnet man aus natürlichen Einheiten zurück, so folgt mit c · Jahre = Lichtjahre und 1 pc
≈ 3 Lichtjahre der Wert r H ≈ 275000 pc. Ein Bereich maximal dieser Größe stand bis zur Zeit
der Rekombination in kausalem Kontakt. Insbesondere erwartet man, daß sich jeweils nur in
Regionen dieser Größe eine einheitliche Temperatur herausgebildet hat. Der Teilchenhorizont hat
sich seitdem auf die Größe
( ) 2
R(t 0 )
r H
R(t r ) = r t0
3
H ≈ 3 · 10 8 pc (B.36)
t r
vervielfacht. Auf dieser Skala erwartet man heutzutage eine homogene Temperaturverteilung, auf
größeren Skalen dagegen Inhomogenität. Vergleichen wir dies mit der heutigen Größe der Region
r LS , aus der die uns erreichenden Photonen des Cmb ausgesandt wurden. Wieder können wir
Gleichung (B.33) benutzen, diesmal allerdings mit dem Zeitpunkt t r der Rekombination als untere
und dem heutigen Alter des Universums t 0 als obere Grenze:
∫ t0
dt ′
r LS = R(t 0 )
t r
R(t ′ ) = 3 t 0
[
1 −
( ) 1
]
tr
3
t 0
≈ 3 t 0 ≈ 10 10 pc
(B.37)
Der Winkelbereich am Himmel, über den hinweg bis zur Zeit der Rekombination kausaler Kontakt
bestand, ist dann θ ≈ 3 · 10 8 pc/10 10 pc ≈ 0.03 rad ≈ 2 ◦ . Insbesondere teilt sich der Himmel auf
in 4π/(0.03) 2 ≈ 14000 Regionen, die nie in kausalem Kontakt standen, bevor sie den Cmb zu uns

aussandten.
Trotzdem ist der kosmische Mikrowellenhintergrund auf großen Skalen äußerst homogen und isotrop.
Es ist schwer vorstellbar, wie die 14000 Regionen konspiriert haben könnten, um sich in
Abwesenheit von kausalem Kontakt auf eine gemeinsame Temperatur zu einigen. Dies ist das sogenannte
Horizont-Problem.
Relikt-Problem Im Abschnitt 2.1 war bereits von Monopolen die Rede. Wie dort angesprochen
wurde, entstehen diese insbesondere, wenn eine halbeinfache Gruppe zu einer Gruppe
der Art G × U(1) gebrochen wird. Beispiele sind die Gut-Gruppen SU(5) G−G und SU(4) C ×
SU(2) L × SU(2) R bei der Brechung zum Standardmodell. Monopole sind nur ein Beispiel einer
Reihe von topologischen Defekten, die bei der Brechung einer Eichgruppe oder einer globalen
Gruppe entstehen können. Beschränken wir uns auf eine Eichgruppe G, die spontan zu H ⊂ G
gebrochen wird. Topologische Defekte existieren, wenn die n-te Homotopiegruppe der Vakuum-
Mannigfaltigkeit G/H nichttrivial ist: π n (G/H) ≠ 1. Monopole erhält man für π 2 (G/H) ≠ 1. Ist
diese Bedingung erfüllt, so werden sie während der spontanen Symmetriebrechung so zahlreich gebildet,
daß sie leicht die Energiedichte des Universums dominieren. Da dies in unserem Universum
nicht der Fall ist, hat man bei halbeinfachen Gut-Gruppen ein Monopol-Problem. Entsprechend
entstehen für π 0 (G/H) ≠ 1 zweidimensionale Gebilde, die Domänenwände, die den magnetischen
Domänenwänden der Festkörperphysik ähneln. Auch ihre Energiedichte würde dominieren. Für
π 1 (G/H) ≠ 1 hat man eindimensionale Objekte, die kosmischen Strings. Deren Energiedichte
stellt meist kein Problem dar, sie äußern sich aber durch Perturbationen im CMB. Diese Eigenschaft
ist sogar nützlich, wenn man eine Erklärung der Struktur im Universum sucht. Wir kommen
gleich darauf zurück. Schließlich exisitieren für π 3 (G/H) ≠ 1 Texturen. Sie sind nicht so einfach
zu visualisieren wie die bisherigen Defekte. Ihr Beitrag zur Energiedichte ist zu vernachlässigen,
da sie instabil sind.
Während andere Defekte vermieden werden können, entstehen Monopole immer bei der Brechung
von halbeinfachen Eichgruppen zum Standardmodell. Wie in Abschnitt 2.1 erklärt wurde, können
andererseits nur halbeinfache Gut-Gruppen die Ladungsquantisierung erzwingen und auch sonst
sind halbeinfache oder sogar einfache Gut-Gruppen zu bevorzugen. Einen Ausweg aus diesem
Dilemma zeigen wir gleich auf.
Neben den topologischen Defekten gibt es noch andere Relikte, deren Überproduktion Probleme
bereiten kann. Bei lokaler Supersymmetrie bzw. Supergravitation ist ein Beispiel das Gravitino,
der Superpartner des Gravitons. Es entsteht thermisch bei hohen Temperaturen in großer Zahl und
kann, da es sehr langlebig ist, bei niedrigeren Temperaturen die Nukleosynthese zunichte machen.
Struktur-Problem Während die Materieverteilung im Universum auf großen Skalen homogen
und isotrop ist, treten auf kleineren Skalen Strukturen auf: Supercluster, Cluster, Galaxien,
Sterne usw.. Entsprechend ist der Cmb im Großen isotrop, im Kleinen findet man dagegen Anisotropien.
Wie wir oben nach einer Begründung der Homogenität und Isotropie auf großen Skalen
gefragt haben, so sucht man auch nach einer Erklärung der Strukturen und Anisotropien im Kleinen.
Dies ist kein mit den obigen vergleichbares Problem, da beispielsweise kosmische Strings eine
Erklärung bieten können. Trotzdem sollte es genannt werden, da die Inflation auch hierfür eine
Lösung liefert.
Bei der Besprechung des Flachheits-Problems haben wir die Annahme gemacht, daß der Beitrag
der Vakuumenergiedichte vernachlässigbar sei. Die gegenteilige Annahme, eine Dominanz der
Vakuumenergie zu frühen Zeiten des Universums, erweist sich als der Schlüssel zur Lösung dieses
Problems. Zunächst besagt Gleichung (B.15) folgendes Verhalten des Skalenfaktors bei Dominanz
der Vakuumenergie:
⎧
⎪⎨ sinh Ht für k = −1
R ∝ cosh Ht für k = 1
(B.38)
⎪⎩
e Ht für k = 0

In allen drei Fällen wächst der Skalenfaktor kontinuierlich an. Während der Dominanz der Vakuumenergie
nähert sich deswegen Ω gemäß Gleichung (B.13) immer mehr dem Wert 1. Dauert
diese Phase ausreichend lange, so werden schließlich die Abweichungen kleiner als O(10 −60 ). Diese
Eigenschaft kann man auch direkt dem Verhalten des Skalenfaktors entnehmen. Die Funktionen
sinh und cosh nähern sich nämlich für spätere Zeiten immer mehr dem Verhalten der Exponentialfunktion
und damit dem Fall k = 0 an. Folglich können wir nach einiger Zeit sinh und cosh
durch√
die Exponentialfunktion ersetzen. Außerdem ist der Hubble-Parameter dann nahezu gleich
H = 8πρ v /3m 2 p. Der Friedmann-Gleichung (B.4) entnehmen wir:
Ω − 1 =
woraus für große Zeiten in guter Näherung folgt:
k
H 2 R 2 ,
(B.39)
|Ω − 1| ∝ e −2 H t (B.40)
Gehen wir davon aus, daß zu Beginn |Ω − 1| i = O(1) gilt. Die Dominanz der Vakuumenergie muß
ausreichend lange währen, damit am Ende |Ω − 1| f O(10 −60 ). Die Zahl der dazu benötigten
e-foldings N des Skalenfaktors können wir abschätzen durch:
|Ω − 1| i
|Ω − 1| f
= e 2H(t f −t i ) = e 2N ⇒ N ≈ 70 (B.41)
Eine solche Phase der Dominanz der Vakuumenergie, deren Beginn man etwa bei der Planck-Skala
erwartet, bezeichnet man als Inflation. Schauen wir uns an, wie sie hilft, das Horizont-Problem zu
lösen. Auch hier hatten wir implizit die Annahme gemacht, daß das Universum in seiner frühen
Entwicklung lediglich durch die Energiedichten von Strahlung und Materie dominiert war. Nehmen
wir stattdessen erneut eine Phase der Inflation an. Der Teilchenhorizont bis zur Zeit der Rekombination
gemäß Gleichung (B.35) wird dann nahezu ausschließlich durch das exponentielle Verhalten
des Skalenfaktors während der Inflation bestimmt und vergrößert sich deutlich im Vergleich zu
der obigen Situation:
∫ tr
r H = R(t r )
0
dt ′
R(t ′ ) ≃ R(t ∫ tf
eHt f
r) dt ′
R(t f ) t i
e Ht′
≈ 1 H
R(t r )
R(t f ) eH(t f −t i) ,
(B.42)
für (t f − t i ) ≫ H −1 . Warum wir den Skalenfaktor vor dem Integral aufgespaltet haben, wird
im folgenden verständlich. Die Vergrößerung des Teilchenhorizonts während der Inflation ist der
zentrale Punkt bei der Lösung des Horizont-Problems. Zwecks einer genaueren Analyse bestimmen
wir die Zahl der benötigten e-foldings. Dazu nehmen wir eine Vakuumenergie von ρ ≈ (10 16 GeV) 4
an, eine Wahl, die wir noch begründen werden. Dann folgt:
√
H = 8πρ/3m 2 p ≈ 2.4 · 10 14 GeV
(B.43)
Wie wir im folgenden sehen werden, enthält das Universum nach der Inflation praktisch keine
Materie mehr und muß wiederaufgeheizt werden. Die dabei maximal erreichte Temperatur ist die
Reheat-Temperatur T RH . Wir machen die zusätzliche Annahme T RH ≈ 10 9 GeV, die wir auch
noch begründen werden. Nach der Rekombination vervielfacht sich der Teilchenhorizont zu der
heutigen Größe
R(t 0 )
R(t r ) r H ≈ 1 R(t 0 )
H R(t f ) eH(t f −t i) = 1 T RH
e H(t f −t i) , (B.44)
H T 0
wobei T 0 = 2.73 K = 2.35 · 10 −4 eV wiederum die jetzige Temperatur des CMB ist. Um das
Horizont-Problem zu lösen, muß dieser Wert mindestens 10 10 pc betragen. Dann nämlich war
der Bereich, aus dem die uns jetzt erreichenden Photonen des Cmb ausgesandt wurden, bis zur
Zeit der Rekombination schon in kausalem Kontakt und konnte eine gemeinsame Temperatur finden.
Aus dieser Forderung und mit den obigen Werten folgt die Zahl der benötigten e-foldings zu

N ≈ 60. Man braucht also ungefähr die gleiche Zahl an e-foldings zur Lösung sowohl des Horizontals
auch des Flachheits-Problems! Dies ist ein schönes Ergebnis, da beide Probleme a priori nicht
zusammenhängen.
Die Lösung des Relikt-Problems ist nun denkbar einfach: Nach 60 e-foldings hat sich die Dichte
um einen Faktor e −3·60 ≈ 7 · 10 −79 reduziert und der derzeit sichtbare Teil des Universums
enthält nach der Inflation praktisch keine Teilchen und insbesondere keine potentiell gefährlichen
Relikte mehr. Die Materie in unserem Teil des Universums muß folglich nach der Inflation aus
dem Zerfall der Vakuumenergiedichte entstanden sein. Einen Mechanismus dazu werden wir im
nächsten Abschnitt bei der Besprechung konkreter Inflationsmodelle vorstellen. Die maximal nach
der Inflation erreichte Temperatur haben wir schon als Reheat-Temperatur eingeführt. Damit das
Relikt-Problem nach der Inflation nicht von neuem entsteht, darf sie gewisse Werte nicht überschreiten.
Zur Vermeidung von Monopolen muß die Reheat-Temperatur unterhalb der Gut-Skala
bleiben, also unter 10 16 GeV. Durch Gravitinos wird eine deutlich strengere Grenze gesetzt. Sie
ist zwar modellabhängig, wird aber im Allgemeinen zu 10 9 GeV angenommen. Aus diesem Grund
haben wir bei der Rechnung oben diesen Wert der Reheat-Temperatur gewählt. Nach dem Reheating
sollte das Universum seine Entwicklung wie in der Frw-Kosmologie fortsetzen. Um deren
erfolgreiche Vorhersagen nicht zu gefährden, darf die Reheat-Temperatur gewisse Werte auch nicht
unterschreiten. Insbesondere sollte sie größer als 1 MeV sein, damit die Nukleosynthese stattfinden
kann.
Schließlich ermöglicht Inflation auch eine Erklärung der Struktur im Universum. Dazu ist zu beachten,
daß der de-Sitter-Raum einen endlichen Ereignishorizont hat. Dessen physikalischer Radius
ist gegeben durch:
∫ ∞
r EH = R(t)
t
dt ′
R(t ′ ) = 1 H
(B.45)
Die Situation ist der eines Schwarzen Loches ähnlich. Punkte, deren Abstand größer ist als r EH ,
können nicht mehr miteinander kommunizieren, da sie sich zu schnell voneinander entfernen.
Quantenfluktuationen mit Wellenlängen λ ≪ H −1 , die innerhalb des Ereignishorizonts entstehen,
werden schnell auf Größen ≫ H −1 expandiert. Da der sich innerhalb des Ereignishorizonts befindende
Teil der Welle nicht mehr mit dem sich außerhalb befindenden Teil kommunizieren kann,
frieren die Quantenfluktuationen zu klassischen Fluktuationen ein. Diese sind dann der Ausgangspunkt
für Fluktuationen in der Dichteverteilung der Materie und damit sowohl für Galaxien usw.
als auch für die Anisotropien im Cmb.

Anhang C
Terme im Superpotential
Wir sammeln in diesem Kapitel die ausgeschriebenen Formen der Terme im Superpotential (2.41):
W = κ S( ¯HH + m 2 G) + λ ij
d F i F j h + λ ij
u F i ¯f
j¯h + λ
ij
e e ci ¯f j h
λ
+ λ H HH h + λ ¯H ¯H ¯H ¯h ij
+
ν
F i j ¯HF ¯H + µ¯hh
M S
(C.1)
Beginnen wir mit dem Term F ¯f¯h, wobei griechische Buchstaben SU(5)-Indizes und römische
Buchstaben Familien-Indizes sind:
λ ij
u F ¯f¯h = λ ij
u F αβ ¯f
α¯hβ
= λ ij
u (−d ci
3 u cj
2 + dci 2 u cj
3 − di 1ν j − u i 1e j ) ¯D 1
+ λ ij
u (d ci
3 u cj
1 − dci 1 u cj
3 − di 2ν j − u i 2e j ) ¯D 2
+ λ ij
u (−d ci
2 u cj
1 + dci 1 u cj
2 − di 3ν j − u i 3e j ) ¯D 3
+ λ ij
u (d i 1u cj
1 + di 2u cj
2 + di 3u cj
3 − νci e j ) h + u
+ λ ij
u (u i 1u cj
1 + ui 2u cj
2 + ui 3u cj
3 + νci ν j ) h 0 u
(C.2)
Man sieht insbesondere, daß λ ij
u die Massen der Neutrinos sowie der u-, c- und t-Quarks bestimmt.
Wir machen weiter mit dem Term F F h, wobei k, l, m Farbindizes bezeichnen:
λ ij
d F i F j h = 4 λ ij
d
[
]
D k d ci
k ν cj + D k ɛ klm u i ld j m − h − d dci k u j k + h0 dd ci
k d j k + i ↔ j
(C.3)
Insbesondere sieht man, daß λ ij
d
die Massen der d-, s- und b-Quarks bestimmt. Die Terme HHh
und ¯H ¯H¯h folgen nun direkt aus obigem Term. Wir geben HHh explizit an:
[
λ H HHh = 8 λ H Dk d c HkνH c + D k ɛ klm u Hl d Hm − h − d dc Hku Hk + h 0 dd c ]
Hkd Hk (C.4)
Es bleibt der Term e ci ¯f j h. Für diesen gilt:
λ ij
e e ci ¯f j h = λ ij
e (e ci u cj
k D k + e ci ν j h − d + eci e j h 0 d)
(C.5)
Man sieht insbesondere, daß λ ij
e
die Massen der e, µ und τ bestimmt.
88

Anhang D
Spontane Symmetriebrechung der
Flipped SU(5)
D.1 Massen der Higgs
Nehmen die Higgs-Multipletts H und ¯H der Flipped SU(5) einen Vakuumerwartungswert an, so
wird die Eichsymmetrie gebrochen. Da man den Vakuumerwartungswert von H und ¯H immer
in die Richtung der Komponenten ν c H bzw. νc¯H drehen kann [13], bricht die Flipped SU(5) zum
Standardmodell. Durch die spontane Symmetriebrechung erhalten einige Komponenten der Multipletts
H und ¯H sehr große Massen. Dies soll im folgenden analysiert werden.
Ein Teil der Massen der Higgs und Higgsinos entsteht durch die Beiträge (A.5) zur Lagrangedichte:
L ⊃ − √ [
2 g 5 (φ ∗ T a ψ) Λ a +h.c. ] − √ [
2 g 1 (φ ∗ T 1′ ψ) Λ 1′ +h.c. ] −g5
2 1
2 (φ∗ T a φ) 2 −g1
2
1
2 (φ∗ T 1′ φ) 2
(D.1)
Dabei stehen φ und ψ generisch für die skalaren und fermionischen Superpartner in den Multipletts
der Flipped SU(5). In den Ausdrücken (φ ∗ T a φ) 2 wird über alle Multipletts summiert.
Die T a bezeichnen die Generatoren der SU(5), so daß a = 1, . . . , 24, und T 1′ den Generator der
äußeren U(1), der als Eigenwerte die Ladungen der Multipletts ergibt. Entsprechend sind die Λ a
die Gauginos zu den Eichbosonen der SU(5) und Λ 1′ ist das Gaugino zum Eichboson der äußeren
U(1). Schließlich sind g 5 und g 1 die Eichkopplungen der Flipped SU(5).
Um diese Terme auszuwerten, müssen wir wissen, wie die Generatoren der SU(5) auf das Multiplett
H in der 10 und auf das Multiplett ¯H in der ¯10 wirken. Wir verwenden in diesem Kapitel
der Einfachheit halber eine Notation, in der alle Indizes unten stehen. Des weiteren gelte die
Summenkonvention. Die Generatoren T a der SU(5) in der fundamentalen Darstellung, die also
5 × 5-Matrizen sind, tragen dann zwei untere Index: T ij . Ist nun U ij eine endliche Transformation
der SU(5), so wirkt diese folgendermaßen auf das Multiplett H:
H ′ ij = U il U jm H lm
(D.2)
Linearisiert man diese Transformation, so folgt
H ′ ij = ( δ il + i ɛ T il + O(ɛ 2 ) ) ( δ jm + i ɛ T jm + O(ɛ 2 ) ) H lm = H ij + i ɛ T il H lj + i ɛ T jm H im + O(ɛ 2 ),
(D.3)
wobei wir statt einer Linearkombination mehrerer Generatoren nur einen Generator berücksichtigt
haben. Folglich wirkt eine infinitesimale Transformation auf H ij gemäß:
H ij −→ T il H lj + T jm H im
(D.4)
Die zu T ij gehörende komplex konjugierte Darstellung lautet −Tij ∗ . Die Generatoren der SU(5)
sind hermitesch, so daß −Tij ∗ = −T ij T = −T ji. Damit folgt für das Verhalten von ¯H ij unter einer
89

infinitesimalen Transformation:
¯H ij −→ −T li ¯Hlj − T mj ¯Him
(D.5)
Wie man (D.1) entnimmt, braucht man insbesondere die folgenden Terme:
H ∗ ij T il H lj + H ∗ ij T jm H im = H ∗ ij T il H lj + H ∗ ji T il H jl = H ∗ ij T il H lj + H ∗ ij T il H lj = 2 H ∗ ij T il H lj
(D.6)
Im ersten Schritt haben wir dabei im 2. Teil die Umbenennungen i ↔ j und m → l vorgenommen.
Im zweiten Schritt haben wir benutzt, daß die 10 antisymmetrisch ist. Analog folgt für ¯H:
− ¯H ∗ ij T li ¯Hlj − ¯H ∗ ij T mj ¯Him = −2 ¯H ∗ ij T li ¯Hlj
(D.7)
Diese Ausdrücke sind am einfachsten auszuwerten, wenn man die Multipletts und die Generatoren
als 5 × 5-Matrizen darstellt. Damit entspricht (D.6) der Multiplikation der Matrix T von links
mit H und der anschließenden komponentenweisen Multiplikation dieses Produkts mit H ∗ . Da
T li = Til T , entspricht (D.7) der Multiplikation der Transponierten von T von links mit ¯H und
der anschließenden komponentenweisen Multiplikation des Produkts mit ¯H ∗ . Zunächst lautet die
Matrixdarstellung des Multipletts H folgendermaßen:
⎛
⎞
0 d c H3 −d c H2 d H1 u H1
−d c H3 0 d c H1 d H2 u H2
H =
⎜ d c H2 −d c H1 0 d H3 u H3
⎟
(D.8)
⎝−d H1 −d H2 −d H3 0 νH
c ⎠
−u H1 −u H2 −u H3 −νH c 0
Für die Matrixdarstellungen der Generatoren T a mit a = 1, . . . , 24 wählen wir eine Verallgemeinerung
der Gell-Mannn-Matrizen:
⎛
⎞
⎛
⎞
λ ′ 0 0
0 0
i
0 0
0 0 0
0 0 ⎟
λ 20+j = ⎜ 0 0 ⎟
λ i =
⎜
⎝
⎛
λ 9 =
⎜
⎝
⎛
λ 11 =
⎜
⎝
⎛
λ 13 =
⎜
⎝
0 0 0
0 0 0
0
1 0
0 0 0
0 0
1 0 0
0
0 0 0
0 1
0 0 0
0 0
0 0 0
0
1 0 0
0 0
0 1 0
0 0
0 1 0
0
0 0 0
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎜
⎝
⎛
λ 10 =
⎜
⎝
⎛
λ 12 =
⎜
⎝
⎛
λ 14 =
⎜
⎝
0 0 0
0 0 0
τ j
−i 0
0 0 0
0 0
i 0 0
0
0 0 0
0 −i
0 0 0
0 0
0 0 0
0
i 0 0
0 0
0 −i 0
0 0
0 i 0
0
0 0 0
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

⎛
λ 15 =
⎜
⎝
⎛
λ 17 =
⎜
⎝
⎛
λ 19 =
⎜
⎝
⎛
1
λ 24 =
⎜
⎝
0 0
0 0 1
0 0
0 0 0
0
0 1 0
0 0
0 0 0
1 0
0 0 1
0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 1
0 0 0
0
0 0 1
1
1
− 3 2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠ · 2
√
15
⎛
λ 16 =
⎜
⎝
⎛
λ 18 =
⎜
⎝
⎛
λ 20 =
⎜
⎝
0 0
0 0 −i
0 0
0 0 0
0
0 i 0
0 0
0 0 0
−i 0
0 0 0
0
0 i 0
0 0
0 0 0
0 −i
0 0 0
0
0 0 i
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
− 3 2
Dabei sind τ j für i = 1, 2, 3 die Pauli-Matrizen, λ ′ i für i = 1, . . . , 8 die Gell-Mann-Matrizen und
die Generatoren der SU(5) sind T a = λ a /2 für a = 1, . . . , 24.
Wir berechnen zunächst die Massen der skalaren Superpartner in den Multipletts H und ¯H.
Gleichung (D.1) entnimmt man, daß dafür folgende Terme in der Lagrangedichte relevant sind:
L ⊃ − 1 2 g2 5
∑
( H ∗ T a H + ¯H ∗ T a ¯H ) 2 − 1 2 g2 1 ( H ∗ T 1′ H + ¯H ∗ T 1′ ¯H )
2
a
= − 1 2 g2 5
∑
a
( H ∗ ijλ a ilH lj − ¯H ∗ ijλ aT
il
¯H lj ) 2 − 1 2 g2 1 ( H ∗ ijH ij − ¯H ∗ ij ¯H ij ) 2
(D.9)
Dabei haben wir im 2. Teil benutzt, daß H und ¯H bezüglich der U(1) die Ladung 1 bzw. −1
tragen. Die Multipletts H und ¯H nehmen einen Vakuumerwartungswert in den Richtungen νH
c
bzw. ν c¯H an. Zur Berechnung der Massen sind deswegen nur diejenigen Terme in (D.9) relevant,
in denen die Komponenten νH c oder νc¯H auftreten. Man kann sich leicht davon überzeugen, daß in
den Termen mit λ 1 bis λ 8 keine der beiden Komponenten auftreten. Betrachten wir deswegen den
Term mit λ 9 . Es gilt:
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 0 d c H3 −d c H2 d H1 u H1
0 0 0
−d c
λ 9 H3 0 d c H1 d H2 u H2
ilH lj =
⎜ 0 0
⎟ ⎜ d c H2 −d c H1 0 d H3 u H3
⎟
⎝ 1 0 0 ⎠ ⎝−d 0
H1 −d H2 −d H3 0 νH
c ⎠
0 0 0 −u H1 −u H2 −u H3 −νH c 0
⎛
⎞
−d H1 −d H2 −d H3 0 νH
c (D.10)
0 0 0 0 0
=
⎜ 0 0 0 0 0
⎝ 0 d c H3 −d c H2 d ⎟
H1 u H1
⎠
0 0 0 0 0
⇒ H ∗ ijλ 9 ilH lj ⊃ u H1 〈ν c H〉 + u ∗ H1〈ν c H〉 = 2 R(u H1 )〈ν c H〉
Im letzten Schritt haben wir νH c = δνc H + 〈νc H 〉 benutzt. Da die Matrix λ9 symmetrisch ist,
folgt entsprechend ¯H ij ∗ λ9T il
¯H lj ⊃ 2 R(u ¯H1 )〈ν c¯H〉. Die Lagrangedichte enthält dann insgesamt mit

〈ν c H 〉 = 〈νc¯H〉 = m G / √ 2 den folgenden Massenterm:
L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(u H1 − u ¯H1 ) 2
Den Term mit λ 10 kann man nun analog auswerten. Es gilt:
⎛
⎞ ⎛
⎞
−i 0 0 d c H3 −d c H2 d H1 u H1
0 0 0
−d c
λ 10
H3 0 d c H1 d H2 u H2
il H lj =
⎜
0 0
⎟ ⎜ d c H2 −d c H1 0 d H3 u H3
⎟
⎝ i 0 0 ⎠ ⎝−d 0
H1 −d H2 −d H3 0 νH
c ⎠
0 0 0 −u H1 −u H2 −u H3 −νH c 0
⎛
⎞
i d H1 i d H2 i d H3 0 −i νH
c 0 0 0 0 0
=
⎜ 0 0 0 0 0
⎝ 0 i d c H3 −i dc H2 i d ⎟
H1 i u H1
⎠
0 0 0 0 0
⇒ H ∗ ijλ 10
il H lj ⊃ i u H1 〈ν c H〉 − i u ∗ H1〈ν c H〉 = −2 I(u H1 )〈ν c H〉
Da die Matrix λ 10 antisymmetrisch ist, folgt daraus ¯H ij ∗ λ10T il
ergeben beide Terme folgenden Beitrag in der Lagrangedichte:
L ⊃ −g 2 5 m 2 G I(u H1 + u ¯H1 ) 2
¯H lj
(D.11)
(D.12)
⊃ 2 I(u ¯H1 )〈ν c¯H〉. Zusammen
(D.13)
Da die Paare λ 11 , λ 12 bis λ 19 , λ 20 dieselbe Struktur haben wie λ 9 und λ 10 , brauchen wir im
folgenden lediglich die Terme Hij ∗ λn il H lj mit n = 11, 13, 15, 17, 19 zu berechnen. Dann folgen die
Terme Hij ∗ λ(n+1) il
H lj , ¯H∗ ij λ nT
il
¯H lj und ¯H ij ∗ λ(n+1)T il
¯H lj in direkter Analogie zu der vorhergehenden
Rechnung. Die Ergebnisse lauten:
H ∗ ijλ 11
il H lj ⊃ −2 R(d H1 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(d H1 − d ¯H1 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(d H1 + d ¯H1 ) 2
H ∗ ijλ 13
il H lj ⊃ 2 R(u H2 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(u H2 − u ¯H2 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(u H2 + u ¯H2 ) 2
H ∗ ijλ 15
il H lj ⊃ −2 R(d H2 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(d H2 − d ¯H2 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(d H2 + d ¯H2 ) 2
H ∗ ijλ 17
il H lj ⊃ 2 R(u H3 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(u H3 − u ¯H3 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(u H3 + u ¯H3 ) 2
H ∗ ijλ 19
il H lj ⊃ −2 R(d H3 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(d H3 − d ¯H3 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(d H3 + d ¯H3 ) 2
Betrachten wir nun die Generatoren λ 20+j mit j = 1, 2, 3, die die Pauli-Matrizen enthalten. Diese
lauten:
( ) ( ) ( )
0 1 0 −i 1 0
τ 1 = τ
1 0 2 =
τ
i 0 3 =
(D.14)
0 −1
Damit berechnen wir λ 21
il H lj und erhalten:
⎛
λ 21
il H lj =
⎞
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎜ 0 0 0 0 0
⎝−u H1 −u H2 −u H1 −νH c 0
⎟
⎠
−d H1 −d H2 −d H3 0 νH
c
(D.15)

Man sieht, daß Hij ∗ λ21 il H lj keine Terme proportional zu νH c enthält. Dasselbe gilt für den Term
¯H ij ∗ λ21T il
¯H lj sowie, da λ 22 dieselbe Struktur wie λ 21 hat, für die beiden Terme mit λ 22 . Entsprechend
lautet λ 23
il H lj:
⎛
⎞
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
λ 23
il H lj =
⎜ 0 0 0 0 0
⎟
⎝−d H1 −d H2 −d H3 0 νH
c ⎠
(D.16)
u H1 u H2 u H1 νH c 0
⇒ Hijλ ∗ 23
il H lj ⊃ |νH| c 2 − |νH| c 2
Folglich kürzen sich in Hij ∗ λ23 il H lj die Beiträge proportional zu νH c weg. Dasselbe gilt für ¯H ij ∗ λ21T il
¯H lj .
Schließlich ergibt der Generator λ 24 :
⎛
⎞
0 d c H3 −d c H2 d H1 u H1
λ 24
il H lj = √ 2 · 15
−d c H3 0 d c H1 d H2 u H2
⎜ d c H2 −d c H1 0 d H3 u H3
⎝ 3
2 d 3
H1 2 d 3
H2 2 d ⎟
H3 0 − 3 2 νc ⎠
H
3
2 u H1
3
2 u H2
⇒ H ∗ ijλ 24
il H lj ⊃ − 6
3
2 u H3
√
15
|ν c H| 2
3
2 νc H 0
(D.17)
Da die Matrix λ 24 symmetrisch ist, hat der Term ¯H ij ∗ λ24T il
¯H lj dieselbe Form und man erhält in
der Lagrangedichte:
L ⊃ − 6 5 g2 5 ( |ν c H| 2 − |ν c¯H| 2 ) 2
(D.18)
Der Beitrag der U(1) zum D-Term-Skalarpotential in der Lagrangedichte lautet nun folgendermaßen:
L ⊃ − 1 2 g2 1 ( H ∗ ijH ij − ¯H ∗ ij ¯H ij ) 2 ⊃ −2 g 2 1 ( |ν c H| 2 − |ν c¯H| 2 ) 2
(D.19)
Die Beiträge (D.18) und (D.19) haben also dieselbe Form. Allerdings sind die Vorfaktoren unterschiedlich.
Man √ kann sie einander angleichen, wenn man ähnlich wie in (2.10) eine Kopplungskonstante
g 1 ′ 3
≡
5 g 5 definiert. Damit erhält man:
L ⊃ −2 (g ′2
1 + g 2 1) ( |ν c H| 2 − |ν c¯H| 2 ) 2 (D.20)
Setzt man nun ν c H = δνc H + 〈νc H 〉 sowie die entsprechende Zerlegung für νc¯H ein, so erhält man
insbesondere:
L ⊃ −2 (g ′2
1 +g 2 1) ( |ν c H| 2 −|ν c¯H| 2 ) 2 ⊃ −2(g ′2
1 +g 2 1) m 2 G |δν c H −δν c¯H| 2 −2 (g ′2
1 +g 2 1) (〈ν c H〉 2 −〈ν c¯H〉 2 ) 2
(D.21)
Dabei gilt der erste Term nur unter der Voraussetzung, daß der zweite Term wegen 〈ν c H 〉 = 〈νc¯H〉
= m G / √ 2 verschwindet. Wie wir in Abschnitt 3.2 gesehen haben, führt der zweite Term in (D.21)
gerade dazu, daß diese Bedingung erfüllt ist.
Zwar ist es bei erhaltener Supersymmetrie klar, daß die fermionischen Superpartner dieselben Massen
erhalten, wie diejenigen, die wir gerade für ihre bosonischen Superpartner hergeleitet haben.
Doch ist es aufschlussreich, auch diese Situation genauer zu analysieren. Den dafür relevanten Teil
der Lagrangedichte erhalten wir aus (D.1) zu:
L ⊃ − √ [
2 g 5 (H ∗ T a Ψ H + ¯H ∗ T a Ψ ¯H) Λ a + h.c. ]
− √ [
2 g 1 (H ∗ T 1′ Ψ H + ¯H
]
∗ T 1′ Ψ ¯H) Λ 1′ + h.c.
= − √ [
2 g 5 (H
∗
ij λ a ilΨ Hlj − ¯H ijλ ∗ aT
il Ψ ¯Hlj ) Λ a + h.c. ]
− √ [
2 g 1 (HijΨ ∗ Hij − ¯H
]
ijΨ ∗ ¯Hij ) Λ 1′ + h.c.
(D.22)

Wir können zur Auswertung der Ausdrücke Hij ∗ λa il Ψ Hlj und ¯H ij ∗ λaT il
Ψ ¯Hlj die zuvor gemachten
Berechnungen benutzen. Wiederum führen die Generatoren λ i für i = 1, . . . , 8 zu keinen Massentermen.
Der Rechnung in (D.10) entnimmt man, daß λ 9 zu folgendem Term in der Lagrangedichte
führt:
L ⊃ −g 5 m G (Ψ uH1 − Ψ u ¯H1
) Λ 9 + h.c.
(D.23)
Entsprechend folgt aus (D.12) für den Beitrag von λ 10 in der Lagrangedichte:
L ⊃ −i g 5 m G (Ψ uH1 + Ψ u ¯H1
) Λ 10 + h.c.
Die Summe von (D.23) und (D.24) lässt sich folgendermaßen umschreiben:
L ⊃ −g 5 m G Ψ uH1 (Λ 9 + i Λ 10 ) + g 5 m G Ψ u ¯H1
(Λ 9 − i Λ 10 ) + h.c.
(D.24)
(D.25)
Folglich paaren die Gauginos
1 √2 (Λ 9 + i Λ 10 ) und 1 √
2
(Λ 9 − i Λ 10 ) mit dem Ψ uH1 bzw. dem Ψ u ¯H1
zu sehr schweren Dirac-Teilchen. Die Beiträge der Generatoren λ 11 bis λ 20 kann man nun, analog
zu der Situation bei den skalaren Superpartnern, nach demselben Prinzip erhalten. Man findet:
L ⊃ g 5 m G Ψ dH1 (Λ 11 + i Λ 12 ) − g 5 m G Ψ d ¯H1
(Λ 11 − i Λ 12 )
−g 5 m G Ψ uH2 (Λ 13 + i Λ 14 ) + g 5 m G Ψ u ¯H2
(Λ 13 − i Λ 14 )
+g 5 m G Ψ dH2 (Λ 15 + i Λ 16 ) − g 5 m G Ψ d ¯H2
(Λ 15 − i Λ 16 )
−g 5 m G Ψ uH3 (Λ 17 + i Λ 18 ) + g 5 m G Ψ u ¯H3
(Λ 17 − i Λ 18 )
+g 5 m G Ψ dH3 (Λ 19 + i Λ 20 ) − g 5 m G Ψ d ¯H3
(Λ 19 − i Λ 20 ) + h.c.
(D.26)
Ein Blick auf (D.15) und (D.16) zeigt nun, daß die Generatoren λ 20+j für j = 1, 2, 3 auch nicht
zu den Massen der Higgsinos beitragen. Dagegen entnimmt man (D.17) folgenden Beitrag in der
Lagrangedichte, wobei wir wiederum die Kopplungskonstante g ′ 1 verwenden:
L ⊃ 2 g ′ 1 m G (Ψ ν c
H
− Ψ ν c¯H
) Λ 24 + h.c.
Entsprechend gibt es einen Beitrag der U(1) zu den Massen der Higgsinos:
L ⊃ −2 g 1 m G (Ψ ν c
H
− Ψ ν c¯H
) Λ 1′ + h.c.
Addiert man die beiden vorhergehenden Anteile der Lagrangedichte, so folgt:
L ⊃ 2 m G (g ′ 1 Λ 24 − g 1 Λ 1′ ) (Ψ ν c
H
− Ψ ν c¯H
) + h.c.
Folglich paart das Higgsino √ 1 2
(Ψ ν c
H
− Ψ ν ) mit dem Gaugino √
1
c¯H
Dirac-Teilchen.
D.2 Massive Eichbosonen
g ′ 2
1 +g 2 1
(D.27)
(D.28)
(D.29)
(g ′ 1Λ 24 − g 1 Λ 1′ ) zu einem
Die Eichbosonen der Flipped SU(5), die den gebrochenen Generatoren entsprechen, werden durch
die spontane Symmetriebrechung massiv. Dafür relevant ist der kinetische Term der Skalare in
den Multipletts H und ¯H:
L ⊃ D µ H ∗ ijD µ H ij + D µ ¯H∗ij D µ H ij
(D.30)
Für die Flipped SU(5) ist die kovariante Ableitung gegeben durch D µ = ∂ µ − ig 5 A a µT a − ig 1 B µ T ,
wobei T a die Generatoren der SU(5) sind und T der U(1)-Generator, der als Eigenwert die U(1)-
Ladung ergibt. Setzt man diese kovariante Ableitung in (D.30) ein, so erhält man:
L ⊃ D µ H ∗ D µ H + entsprechend für ¯H
= ∂ µ H ∗ ∂ µ H − ( ig 5 A a µT a H ∗ ) (∂ µ H) − (∂ µ H ∗ ) ( ig 5 A aµ T a H )
− ( ig 1 B µ T 1′ H ∗ ) (∂ µ H) − (∂ µ H ∗ ) ( ig 1 B µ T 1′ H ) − g 2 1B µ B µ (T 1′ H ∗ ) (T 1′ H)
− g 1 g 5 A aµ B µ (T 1′ H ∗ ) (T a H) − g 1 g 5 A a µB µ (T a H ∗ ) (T 1′ H)
− g 2 5 A aµ A b µ(T a H ∗ ) (T b H) + entsprechend für ¯H
(D.31)

Dabei haben wir die SU(5)-Indizes weggelassen. Wir beginnen mit der Berechnung des folgenden
Terms:
L ⊃ −g5 2 A aµ A b µ (T a H ∗ ) (T b H) = −g5 2 A aµ A b ( λ a
µ −
mi
= g2 5
4 Aaµ A b µ
2 H∗ mj − λa mj
) (λ b
2 H∗ il
im
2 H lj + λb jl
(
λ
a
mi Hmjλ ∗ b ilH lj + λ a miHmjλ ∗ b jlH il + λ a mjHimλ ∗ b ilH lj + λ a mjHimλ ∗ b )
jlH il
2 H )
il
(D.32)
Der erste und vierte Term sowie der zweite und dritte Term in der letzten Gleichung lassen sich
nun folgendermaßen umformen:
λ a miH ∗ mjλ b ilH lj + λ a mjH ∗ imλ b jlH il = (λ a imH mj ) ∗ λ b ilH lj + (λ a jmH mi ) ∗ λ b jlH li = 2(λ a imH mj ) ∗ λ b ilH lj
λ a miH ∗ mjλ b jlH il + λ a mjH ∗ imλ b ilH lj = −(λ a imH mj ) ∗ λ b jlH li − (λ a jmH mi ) ∗ λ b ilH lj = −2(λ a imH mj ) ∗ λ b jlH li
(D.33)
Für die weitere Berechnung können wir Ergebnisse aus Abschnitt D.1 benutzen. So entspricht der
erste Term aus (D.33) der komponentenweisen Multiplikation der bereits berechneten Matrizen
mit ihrem komplex konjugierten. Der zweite Term aus (D.33) entspricht der komponentenweisen
Multiplikation der bereits berechneten Matrizen mit ihrem hermitesch konjugierten. Wiederum
führen die Generatoren λ 1 bis λ 8 zu keinen Massentermen, da in den Matrizen λ 1 H usw. die
Felder ν c H und νc¯H nicht auftreten. Des weiteren kann man (D.10) und (D.12) entnehmen, daß für
die Generatoren λ 9 bis λ 20 nur der erste Term aus (D.33) einen Massenterm ergibt. Somit folgt
für den Generator λ 9 der Beitrag
L ⊃ −g 2 5A 9µ A 9 µ (T 9 H ∗ ) (T 9 H) + entsprechender Term für ¯H ⊃ g2 5m 2 G
2
A 9µ A 9 µ
(D.34)
wobei wir wieder 〈ν c H 〉 = 〈νc¯H〉 = m G / √ 2 benutzt haben. Analog folgt der Beitrag des Generators
λ 10 :
L ⊃ −g5A 2 10µ A 10
µ (T 10 H ∗ ) (T 10 H) + entsprechender Term für ¯H ⊃ g2 5m 2 G
A 10µ A 10
µ (D.35)
2
Zusätzlich zu den letzten beiden Termen treten in (D.32) auch gemischte Terme auf. Diese lauten:
L ⊃ − g 2 5 A 10µ A 9 µ(T 10 H ∗ ) (T 9 H) − g 2 5 A 9µ A 10
µ (T 9 H ∗ ) (T 10 H) + entsprechende Terme für ¯H
⊃ − i 2 g2 5m 2 G A 10µ A 9 µ + i 2 g2 5m 2 G A 9µ A 10
µ = 0
(D.36)
Folglich treten keine gemischten Massenterme auf. Diese Analyse kann man nun für die Generatoren
λ 11 bis λ 20 durchführen und entsprechend erhalten auch die Eichbosonen A 11
µ bis A 12
µ
dieselben Massen. Für die Eichbosonen A µ21 bis A µ23 erwartet man keine Massen, da sie der
SU(2) L -Untergruppe entsprechen. Um dies zu überprüfen, bestimmen wir zunächst die Matrizen
λ 21 H und λ 22 H:
⎛
⎞
⎛
⎞
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
λ 21 H =
⎜0 0 0 0 0
⎝∗ ∗ ∗ −νH c 0
⎟ λ 22 H =
⎜0 0 0 0 0
⎟ (D.37)
⎠
⎝∗ ∗ ∗ iν c
∗ ∗ ∗ 0 νH
c H 0 ⎠
∗ ∗ ∗ 0 iνH
c
Die Sterne stehen dabei für Einträge, die von Null verschieden sind, aber im folgenden nicht
benötigt werden. Die Matrix λ 21 H haben wir bereits in (D.15) berechnet, λ 22 H erhält man entsprechend.
Nun sind beide Terme aus (D.33) wichtig und man erhält:
L ⊃ − g 2 5A µ21 A 21
µ (T 21 H ∗ ) (T 21 H) ⊃ g2 5
4 Aµ21 A 21
µ ( 4 |ν c H| 2 − 4 |ν c H| 2 ) = 0
L ⊃ − g 2 5A µ21 A 21
µ (T 21 H ∗ ) (T 21 H) ⊃ g2 5
4 Aµ21 A 21
µ ( 4 |ν c H| 2 − 4 |ν c H| 2 ) = 0
(D.38)

Entsprechend sieht man, daß auch durch die Terme mit ¯H die Eichbosonen nicht massiv werden.
Des weiteren führen auch die gemischten Terme zu keinen Massen:
L ⊃ −g 2 5A µ21 A 22
µ (T 21 H ∗ ) (T 22 H)
⊃ g2 5
4 Aµ21 A 22
µ
[
(2 i |ν
c
H | 2 − 2 i |ν c H| 2 ) − (2 i |ν c H| 2 − 2 i |ν c H| 2 ) ] = 0 (D.39)
L ⊃ −g 2 5A µ22 A 21
µ (T 22 H ∗ ) (T 21 H)
⊃ g2 5
4 Aµ22 A 21
µ
[
−(2 i |ν
c
H | 2 − 2 i |ν c H| 2 ) + (2 i |ν c H| 2 − 2 i |ν c H| 2 ) ] = 0 (D.40)
Den Term λ 23 H haben wir in (D.16) berechnet. Wie für λ 21 H und λ 22 H folgen auch daraus keine
Massenterme. Des weiteren treten auch keine gemischten Terme mit λ 21 H und λ 22 H auf, wie man
leicht an (D.16) sieht. In den gemischten Terme mit λ 24 kürzen sich die Beiträge proportional
|ν c H |2 dagegen gerade weg, wie man (D.17) entnimmt. Dieselben Betrachtungen kann man für die
Terme mit ¯H anstellen, so daß die Eichbosonen A µ21 bis A µ23 masselos bleiben. Aus (D.17) folgt
jedoch für die Masse von A µ24 :
L ⊃ −g 2 5A µ24 A 24
µ (T 24 H ∗ ) (T 24 H) + entsprechender Term für ¯H ⊃ 2 g ′ 2
1 m 2 G A µ24 A 24
µ (D.41)
In der Lagrangedichte (D.31) treten nun neben einem Term proportional B µ B µ auch gemischte
Terme auf, nämlich g1B 2 µ B µ (T 1′ H ∗ ) (T 1′ H), g 1 g 5 A 24µ B µ (T 1′ H ∗ ) (T 24 H) und g 1 g 5 A 24
µ B µ (T 24 H ∗ )
(T 1′ H). Gemischte Terme mit anderen Generatoren T a ergeben keine Massenterme, wie man sich
leicht anhand der betreffenden Matrizen H ∗ und λ a H bzw. H und λ a H ∗ überlegen kann. Dieselben
Betrachtungen gelten jeweils auch für die Terme mit ¯H. Zunächst folgt:
L ⊃ −g 2 1B µ B µ (T 1′ H ∗ ) (T 1′ H) + entsprechender Term für ¯H ⊃ 2 g 2 1 m 2 G B µ B µ
(D.42)
Für die gemischten Terme kann man nun die im letzten Abschnitt durchgeführten Berechnungen
benutzen. Mit der zweiten Zeile aus (D.17) folgt:
L ⊃ −g 1 g 5 A 24µ B µ (T 1′ H ∗ ) (T 24 H) − g 1 g 5 A 24
µ B µ (T 24 H ∗ ) (T 1′ H)
+ entsprechende Terme für ¯H ⊃ −4 g 1 g ′ 1 A 24
µ B µ (D.43)
Die Summe aus (D.42) und (D.43) läßt sich nun folgendermaßen umschreiben:
L ⊃ 2 m 2 G ( g ′ 1A µ24 − g 1 B µ ) ( g ′ 1A 24
µ − g 1 B µ ) (D.44)
1
Folglich wird das Eichboson √ ( g
g ′ 2 1A ′ 24
1 +g1
2 µ − g 1 B µ ) massiv. Dieses entspricht der gebrochenen
Linearkombination der U(1)-Untergruppe der SU(5) mit der äußeren U(1) der Flipped SU(5).
In (D.31) nun noch die folgenden Terme auf, denen man entnehmen kann, welche Higgs von den
Eichbosonen gefressen werden:
L ⊃ −(∂ µ H ∗ ) ( ig 5 A aµ T a H )−(∂ µ H ∗ ) ( ig 1 B µ T 1′ H )+h.c.+entsprechende Terme für ¯H (D.45)
Wiederum kann man die Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt verwenden. Da nur Terme relevant
sind, in denen ν c H oder νc¯H auftreten, kann man die Generatoren λ 1 bis λ 8 sowie λ 20 bis λ 23 sofort
ausschließen. Gemäß (D.10) gilt dagegen für den Term mit λ 9 :
L ⊃ −(∂ µ H ∗ ) ( ig 5 A 9µ T 9 H ) + entsprechender Term für ¯H + h.c.
⊃ − √ 2 i g 5 m G A 9µ ∂ µ u ∗ H1 + √ 2 i g 5 m G A 9µ ∂ µ u ∗¯H1 + h.c. = −2 √ 2 m G A 9µ ∂ µ I(u H1 − u ¯H1 )
(D.46)

Folglich wird der Skalar I(u H1 − u ¯H1 ) vom Eichboson A 9µ gefressen. Entsprechend ergibt der
Term mit λ 10 gemäß (D.12):
L ⊃ −(∂ µ H ∗ ) ( ig 5 A 10µ T 10 H ) + entsprechender Term für ¯H + h.c.
⊃ − √ 2 g 5 m G A 10µ ∂ µ u ∗ H1 − √ 2 g 5 m G A 10µ ∂ µ u ∗¯H1 + h.c. = −2 √ 2 m G A 10µ ∂ µ R(u H1 + u ¯H1 )
(D.47)
Folglich wird der Skalar R(u H1 + u ¯H1 ) vom Eichboson A 10µ gefressen. Wie im vorhergehenden
Abschnitt auch, kann man nun die Ergebnisse der Terme mit den Generatoren λ 11 bis λ 20 in
direkter Analogie aus (D.46) und (D.47) ablesen. Man erhält, wobei der Pfeil bedeutet, daß der
jeweilige Skalar vom betreffenden Eichboson gefressen wird:
I(d H1 − d ¯H1 ) −→ A 11µ
R(d H1 + d ¯H1 ) −→ A 12µ
I(u H2 − u ¯H2 ) −→ A 13µ
R(u H2 + u ¯H2 ) −→ A 14µ
I(d H2 − d ¯H2 ) −→ A 15µ
R(d H2 + d ¯H2 ) −→ A 16µ
(D.48)
I(u H3 − u ¯H3 ) −→ A 17µ
R(u H3 + u ¯H3 ) −→ A 18µ
I(d H3 − d ¯H3 ) −→ A 19µ
Es bleiben die Generatoren T 24 und T 1′ zu behandeln. Den Gleichungen (D.45) und (D.17) entnimmt
man, daß der Skalar I(δνH c − δνc¯H) 1
vom Eichboson √ ( g 1A ′ 24
µ − g 1 B µ ) gefressen wird:
g ′ 2
1 +g 2 1
L ⊃ − (∂ µ H ∗ ) ( ig 5 A 24µ T 24 H ) − (∂ µ H ∗ ) ( ig 1 B µ T 1′ H ) + h.c. + entsprechende Terme für ¯H
⊃ 2 √ 2 g ′ 1 m G A 24µ ∂ µ I(δν c H − δν c¯H) − 2 √ 2 g 1 m G B µ ∂ µ I(δν c H − δν c¯H)
= 2 √ 2 m G ( g ′ 1A 24µ − g 1 B µ ) ∂ µ I(δν c H − δν c¯H)
(D.49)
Bilanz Betrachtet man nochmals die Rechnungen in diesem und den vorigen Abschnitt, so
sieht man, daß durch die Felder u Hi , u ¯Hi , d Hi und d ¯Hi (oder genauer Linearkombinationen dieser
Felder) für i = 1, 2, 3 entweder sehr große Massen erhalten oder von den massiv gewordenen
Eichbosonen gefressen werden. Die Higgsinos Ψ uHi , Ψ u ¯Hi
, Ψ dHi und Ψ d ¯Hi
(wiederum genauer
Lienarkombinationen dieser Felder) für i = 1, 2, 3 bilden zusammen mit den Gauginos der massiv
gewordenen Eichbosonen sehr schwere Dirac-Fermionen. Zusätzlich bildet auch das Higgsino
1√
2
(Ψ ν c
H
− Ψ ν ) mit dem Gaugino √
1
(g c¯H g ′ 2 1Λ ′ 24 − g 1 Λ 1′ ) ein sehr schweres Dirac-Fermion und
1 +g1
das Feld I(δν c 2 H − δνc¯H) wird vom zugehörigen Eichboson gefressen, wohingegen R(δνH c − δνc¯H)
massiv wird. Schließlich haben wir in Abschnitt 2.3 gesehen, daß die Terme HHh und ¯H ¯H¯h im
Superpotential zu großen Massen für die Skalare d Hi und d ¯Hi führen, wohingegen die Fermionen
Ψd Hi und Ψd ¯Hi mit den Higgsinos aus den Farb-Triplets in h und ¯h zu sehr schweren Dirac-
1
Teilchen paaren. Bis jetzt noch keine Massen bekommen haben die Felder √2 (δνH c + δνc¯H) und
1√
2
(Ψ ν c
H
+ Ψ ν ). Nun folgt jedoch aus dem Term κ S ( ¯HH − m c¯H 2 G ) im Superpotential, der für die
Hybrid-Inflation verantwortlich ist:
L ⊃ − κ 2 (2ν c Hν c¯H − m 2 G) (2ν c∗
H ν c∗
¯H − m2 G)
= − κ 2 [2 δν c Hδν c¯H + √ 2 m G (δν c H + δν c¯H)] [2 δν c∗
H δν c∗
¯H + √ 2 m G (δν c∗
H + δν c∗
¯H )]
⊃ − 2 κ 2 m 2 G |δν c H + δν c¯H| 2
(D.50)

Folglich wird das Feld √ 1 2
(δνH c + δνc¯H) durch besagten Term im Superpotential massiv. Des weiteren
folgt aus diesem Term:
L ⊃ − 2 κ Ψ S Ψ ν c
H
ν c H − 2 κ Ψ S Ψ ν c¯H
ν c¯H
⊃ − √ 2 κ m G Ψ S (Ψ ν c
H
+ Ψ ν c¯H
)
(D.51)
Folglich bildet Ψ S mit 1 √
2
(Ψ ν c
H
+ Ψ ν c¯H
) ein sehr schweres Dirac-Fermion. Der Term κ S ( ¯HH −m 2 G )
für die Hybrid-Inflation führt also zu Massen für das ansonsten masselose Supermultiplett aus ¯H
und H. Insofern erfüllt der Hybrid-Inflations-Term also noch eine weitere Funktion.

Anhang E
Anfangsbedingungen für die
Kohärente Baryogenese
Zur Integration der kinetischen Gleichungen (5.41) benötigt man die Anfangsbedingungen. Für
den Fall, daß nur ein Feld vorhanden ist, wurden die einer verschwindenden Teilchenzahl entsprechenden
Anfangsbedingungen in 3.3 angegeben. Die Verallgemeinerung für eine anfangs diagonale
2 × 2-Massenmatrix lautet [26]:
( )
(
)
1 0
−R( M aa
ω
f 0h =
f 1h =
a
) 0
f 2h =
0 1
(
−I( M aa
ω a
) 0
0 −I( M bb
ω b
)
)
0 −R( M bb
ω b
)
( −
hk
)
ω
f 3h = a
0
0 − hk
ω b
(E.1)
Ist die Massenmatrix nicht-diagonal aber hermitesch, so muß man sie mit einer unitären Transformation
diagonalisieren, um obige Gleichungen verwenden zu können. Ist sie sogar nichthermitesch
(wie im Fall der Flipped SU(5)), so braucht man eine biunitäre Transformation. Da die uns
interessierende Massenmatrix lediglich eine 2 × 2-Matrix ist, ist es für die Umsetzung im Programm
am einfachsten und für die Rechendauer am effektivsten, wenn man die Transformation
direkt hinschreibt. Seien dazu U und V die unitären Matrizen die die Massenmatrix M gemäß
M diag = UMV † diagonalisieren. U und V † haben die allgemeine Form:
( )
A1 B
U = N 1
1
−B1 ∗ A ∗ 1
( )
V † A2 B
= N 2
2
−B2 ∗ A ∗ , (E.2)
2
wobei N 1,2 = 1/ √ |A 1,2 | 2 + |B 1,2 | 2 Normierungskonstanten sind. Die Massenmatrix habe die allgemeine
Form:
( )
a b
M =
(E.3)
c d
Durch Nachrechnen kann man sich leicht davon überzeugen, daß folgende Werte die gesuchte
biunitäre Transformation ergeben:
A 1 = a ∗ A ∗ 2 − b ∗ B 2 B 1 = c ∗ A ∗ 2 − d ∗ B 2
A 2 = 2 (d c ∗ + a ∗ b) B 2 = √ 4 |a ∗ b + d c ∗ | 2 + C 2 + C,
(E.4)
mit C = |a| 2 + |c| 2 − |d| 2 − |b| 2 .
Um zu sehen, wie sich die kinetischen Gleichungen unter einer biunitären Transformation verhalten,
gehen wir an den Anfang der Herleitung und betrachten Gleichung (5.21). Die Massenmatrix
99

steht dort in der Form ˜M = M H +iγ 5 M A = P R ⊗M +P L ⊗M † wobei P L und P R wieder die linksbzw.
rechtshändigen Helizitätsprojektoren sind. Man überprüft leicht, daß diese Matrix durch
X = P L ⊗ V + P R ⊗ U und Y = P L ⊗ U + P R ⊗ V (E.5)
gemäß ˜M diag = X ˜MY † diagonalisiert wird. Multipliziert man (5.21) von links mit X und von
rechts mit X † und fügt noch 1 = Y † Y ein, so erhält man:
[iX k/ Y † − 1 2 ∂ tXγ 0 Y † − i ˜M diag e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac (iY S
h < X† ) cb
= 0
Die ersten beiden Terme enthalten Ausdrücke der Form Xγ µ Y † . Man berechnet:
Xγ µ Y † = (P L ⊗ V + P R ⊗ U) γ µ (P L ⊗ U † + P R ⊗ V † )
(E.6)
= P L γ µ P L ⊗ V U † + P L γ µ P R ⊗ 1 + P R γ µ P L ⊗ 1 + P R γ µ P R ⊗ UV † (E.7)
Durch Hinschreiben der betreffenden Ausdrücke in der chiralen Darstellung überprüft man leicht,
daß P L γ µ P L = P R γ µ P R = 0 und außerdem P L γ µ P R + P R γ µ P L = γ µ . Damit folgt:
Xγ µ Y † = γ µ
(E.8)
Setzt man nun noch ˜S h
<
Transformation ist:
= Y S< h X† , so sieht man, daß (5.21) forminvariant unter der biunitären
[i k/ − 1 2 ∂ tγ 0 − i ˜M diag e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac (i ˜S h < ) cb = 0
(E.9)
Die γ 5 -Matrizen, die in den Transformationen Y und X † auftreten, lassen sich durch γ 5 = −1⊗ϱ 3
als Tensorprodukt darstellen. Damit wird klar, daß auch ˜S h < sich in der Form (3.41) schreiben lässt,
nämlich
˜S
h < = i 4 γ0 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱµ˜g
µh < (E.10)
mit anderen Funktionen ˜g
µh < . Ausgehend von Gleichung (E.9) kann man die Schritte in Abschnitt
5.2 wiederholen und die kinetischen Gleichungen herleiten, diesmal jedoch für die Funktionen
˜f µh = ∫ dk 0
2π ˜g< µh
. Da die Massenmatrix nun diagonal ist, kann man (E.1) für die Anfangswerte
benutzen.
Um den Zusammenhang mit den Funktionen f µh für die ursprüngliche nicht-diagonale Massenmatrix
zu erhalten, müssen wir offensichtlich Y † ˜S< h
X berechnen. Es gilt (das Tensorprodukt in
den Transformationen X und Y † lassen wir weg, um es nicht mit demjenigen zwischen den Pauli-
Matrizen zu verwechseln):
S < h = Y † ˜S< h
X = 1 4 [ (1 − γ5 ) U † + (1 + γ 5 ) V † ] ˜S < h [ (1 − γ5 ) V + (1 + γ 5 ) U ]
= 1 4 (P † − γ 5 Q † ) ˜S < h (P + γ5 Q),
(E.11)
wobei wir die Abkürzungen P = U + V und Q = U − V eingeführt haben. Nun setzt man (E.10)
ein und bedenkt, daß γ 0 = 1 ⊗ ϱ 1 und γ 5 = −1 ⊗ ϱ 3 :
S < h
= i
16 (P † − γ 5 Q † ) γ 0 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱµ˜g < µh (P + γ5 Q)
= i
16 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗
{
ϱ 1 ϱ µ P †˜g < µh P − ϱ1 ϱ µ ϱ 3 P †˜g < µh Q
+ ϱ 3 ϱ 1 ϱ µ Q †˜g < µh P − ϱ3 ϱ 1 ϱ µ ϱ 3 Q †˜g < µh Q }
(E.12)
Nun betrachten wir die Darstellung der Wigner-Funktion für die nicht-diagonale Massenmatrix:
S < h = i 4 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ 1 ϱ µ g < µh
(E.13)

Um den Zusammenhang zwischen den g
µh < und den ˜g< µh
zu finden, müssen wir in (E.12) offensichtlich
die Koeffizienten des Produkts ϱ 1 ϱ µ finden. Die dort auftretenden Produkte von Pauli-
Matrizen kann man folgendermaßen in der gewünschten Form schreiben:
Mit dieser Kenntnis findet man:
S < h
⎧
ϱ 1 ϱ 3 für µ=0
⎪⎨
ϱ 1 ϱ µ ϱ 3 −iϱ 1 ϱ 2 für µ=1
=
iϱ
⎪⎩
1 ϱ 1 für µ=2
ϱ 1 ϱ 0 für µ=3
⎧
⎪⎨ −ϱ 1 ϱ 3 für µ=0
ϱ 3 ϱ 1 ϱ µ = −ϱ 1 ϱ 3 ϱ µ = −ϱ
⎪⎩
1 ϱ 0 für µ=3
ϱ 1 ϱ µ ϱ 3 sonst
⎧
⎪⎨ −ϱ 1 ϱ 0 für µ=0
ϱ 3 ϱ 1 ϱ µ ϱ 3 = −ϱ 1 ϱ 3 ϱ µ ϱ 3 = −ϱ
⎪⎩
1 ϱ 3 für µ=3
ϱ 1 ϱ µ sonst
= i
16 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗
{
ϱ 1 ϱ 0 (P †˜g < 0h P − P †˜g < 3h Q − Q†˜g < 3h P + Q†˜g < 0h Q)
+ϱ 1 ϱ 1 (P †˜g < 1h P − iP †˜g < 2h Q + iQ†˜g < 2h P − Q†˜g < 1h Q)
+ϱ 1 ϱ 2 (P †˜g < 2h P + iP †˜g < 1h Q − iQ†˜g < 1h P − Q†˜g < 2h Q)
+ϱ 1 ϱ 3 (P †˜g < 3h P − P †˜g < 0h Q − Q†˜g < 0h P + Q†˜g < 3h Q) }
Durch Koeffizientenvergleich findet man schließlich den gesuchten Zusammenhang:
g < 0h =1 4 (P †˜g < 0h P − P †˜g < 3h Q − Q†˜g < 3h P + Q†˜g < 0h Q)
(E.14)
(E.15)
(E.16)
(E.17)
= 1 2 U † (˜g < 0h − ˜g< 3h ) U + 1 2 V † (˜g < 0h + ˜g< 3h ) V (E.18)
g < 1h =P †˜g < 1h P − iP †˜g < 2h Q + iQ†˜g < 2h P − Q†˜g < 1h Q
= 1 2 U † (˜g < 1h + i˜g< 2h ) V + 1 2 V † (˜g < 1h − i˜g< 2h ) U (E.19)
g < 2h =P †˜g < 2h P + iP †˜g < 1h Q − iQ†˜g < 1h P − Q†˜g < 2h Q
= 1 2 U † (˜g < 2h − i˜g< 1h ) V + 1 2 V † (˜g < 2h + i˜g< 1h ) U (E.20)
g < 3h =P †˜g < 3h P − P †˜g < 0h Q − Q†˜g < 0h P + Q†˜g < 3h Q
= 1 2 U † (˜g < 3h − ˜g< 0h ) U + 1 2 V † (˜g < 3h + ˜g< 0h ) V (E.21)
Integriert man diese Gleichungen über k 0 , so sieht man, daß dieselben Beziehungen auch zwischen
den f µh und den ˜f µh bestehen. Setzt man schließlich die Werte (E.1) in die entsprechenden
Gleichungen ein, so erhält man die Anfangsbedingungen für eine nicht-hermitesche Massenmatrix.

Anhang F
Weitere Abbildungen zur
Kohärenten Baryogenese
1
0.8
S
N
0.6
S, N
0.4
0.2
0
-0.2
0.6
S, N
0.4
-0.2
10 20 30 40 50
η
Abbildung F.1: Beispiel ➀: Zeitentwicklung der Felder S und N
1
0.8
0.2
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
η
Abbildung F.2: Beispiel ➁: Zeitentwicklung der Felder S und N
S
N
102

Abbildung F.3: Rohdaten zu Abbildung 5.2
Abbildung F.4: Rohdaten zu Abbildung 5.3

Anhang G
Quellcode des verwendeten
Programms
Es folgt ein Ausschnitt des Computerprogramms, mit dem die Berechnungen zur Kohärenten
Baryogenese durchgeführt wurden. Es werden nur die wesentlichen Funktionen aufgeführt und die
Schrift ist sehr klein gewählt, da das Programm sonst zu viel Platz beanspruchen würde (etwa 30
Seiten bei voller Länge und in normaler Schriftgröße).
/** Globale Variablen**/
double Kappa,Masse,Gamma,Parameter;///Besser long double ?
double CP;
complex LamH,LamHbar;
long double dxsav,k;
long double tmin,tmax;
FILE *f,*ff,*fout;
int check;//Gibt Zahl der Schritte in odeint mit Minimalschrittgroesse an
int checkt, checkk,checkk2; //Bestimmen Laenge der t- bzw. der k-Integration
long vallast;//laufender Index fuer der
double **val;
matrix_complex *U,*UC,*V,*VC,*MDiag; //Transformationsmatrizen
main()
{
long i;
long j=1;
long size=0;
long double t0;
char s[200];
double v1,v2,v3,v4,a,b;
long double *y1,*y2;
char str[200];
int KappaZ,ParameterZ;
y1=ldvector(1,32);
y2=ldvector(1,32);
MDiag=matrix_complex_alloc(2,2);
U=matrix_complex_alloc(2,2);
UC=matrix_complex_alloc(2,2);
V=matrix_complex_alloc(2,2);
VC=matrix_complex_alloc(2,2);
f=fopen("ergebnis.dat","wt+");
fclose(f);
CP=0.1;//Setzen der CP-verletzenden Phase
/**Zuweisung der Parameter des Superpotentials**/
for(KappaZ=1;KappaZ

Gamma=1.7*Kappa;
LamH=cn(Parameter,0);
LamHbar=complex_mul(LamH,cn(cos(CP),sin(CP)));
Masse=1;
a=REAL(LamHbar); b=IMAG(LamHbar);
printf("Kappa=%lf LambdaH=%lf LambdaHbar=%lf+%lf*i\n",Kappa,Parameter,a,b);
tmin=0.2; // Startwert der Integration
size=0;
j=1;
tmax=0;
matrix_complex_set_zero(MDiag);
matrix_complex_set_zero(U);
matrix_complex_set_zero(UC);
matrix_complex_set_zero(V);
matrix_complex_set_zero(VC);
con();
f=fopen("con_fine.dat","rt");
fseek(f,0,SEEK_SET);
/** Bestimmung der Menge der Daten aus con_fine.dat**/
while(1)
{
if(fgets(s,sizeof(s),f)==NULL)break;
sscanf(s,"%lf %lf %lf %lf",&v1,&v2,&v3,&v4);
if(v1>(tmax-1))break;
size++;
}
val=dmatrix(1,4,1,size);
fseek(f,0,SEEK_SET);
/**Auslesen der Daten aus con_fine.dat und Schreiben in val**/
while(j30)break;
if(k>=3.)break;
fintegrate(y1);
k=-k;
fintegrate(y2);
k=-k; //Zuruecksetzen
/**Schreiben des Ergebnisses in die Datei**/
fout=fopen("cbc.dat","rt+");
fseek(fout,0,SEEK_END);
resstr(y1,y2,str);
fprintf(fout,"%s\n",str);
fclose(fout);
k+=0.03;
}
while(1)
{
if(checkk>30)break;
if(k>=10.)break;

fintegrate(y1);
k=-k;
fintegrate(y2);
k=-k; //Zuruecksetzen
/**Schreiben des Ergebnisses in die Datei**/
fout=fopen("cbc.dat","rt+");
fseek(fout,0,SEEK_END);
resstr(y1,y2,str);
fprintf(fout,"%s\n",str);
fclose(fout);
k+=0.06;
}
while(1)
{
if(checkk>30)break;
if(k>=30.)break;
fintegrate(y1);
k=-k;
fintegrate(y2);
k=-k; //Zuruecksetzen
/**Schreiben des Ergebnisses in die Datei**/
fout=fopen("cbc.dat","rt+");
fseek(fout,0,SEEK_END);
resstr(y1,y2,str);
fprintf(fout,"%s\n",str);
fclose(fout);
k+=0.2;
}
while(1)
{
if(checkk>30)break;
fintegrate(y1);
k=-k;
fintegrate(y2);
k=-k; //Zuruecksetzen
/**Schreiben des Ergebnisses in die Datei**/
fout=fopen("cbc.dat","rt+");
fseek(fout,0,SEEK_END);
resstr(y1,y2,str);
fprintf(fout,"%s\n",str);
fclose(fout);
k+=1.;
}
qint();
free_dmatrix(val,1,4,1,size);
}
}
free_ldvector(y1,1,32);
free_ldvector(y2,1,32);
matrix_complex_free(U);
matrix_complex_free(UC);
matrix_complex_free(V);
matrix_complex_free(VC);
matrix_complex_free(MDiag);
return 0;
}
void fintegrate(long double y0[])
{
long double t,Hn,S,asc,omega1,omega2;
matrix_complex *M0,*M1,*M2,*M3,*M4,*M5,*M6;
matrix_complex *f0,*f1,*f2,*f3;
long q=1;
int ok,bad;
long double f111,f122,f211,f222,f311,f322;

f0=matrix_complex_alloc(2,2);
f1=matrix_complex_alloc(2,2);
f2=matrix_complex_alloc(2,2);
f3=matrix_complex_alloc(2,2);
M0=matrix_complex_alloc(2,2);
M1=matrix_complex_alloc(2,2);
M2=matrix_complex_alloc(2,2);
M3=matrix_complex_alloc(2,2);
M4=matrix_complex_alloc(2,2);
M5=matrix_complex_alloc(2,2);
M6=matrix_complex_alloc(2,2);
matrix_complex_set_zero(f0);
matrix_complex_set_zero(f1);
matrix_complex_set_zero(f2);
matrix_complex_set_zero(f3);
matrix_complex_set_zero(M0);
matrix_complex_set_zero(M1);
matrix_complex_set_zero(M2);
matrix_complex_set_zero(M3);
matrix_complex_set_zero(M4);
matrix_complex_set_zero(M5);
matrix_complex_set_zero(M6);
/**Konstruktion der diagonalen Matrizen f**/
omega1=sqrtl(k*k+complex_abs2(matrix_complex_get(MDiag,1-1,1-1)));
omega2=sqrtl(k*k+complex_abs2(matrix_complex_get(MDiag,2-1,2-1)));
f111=-REAL(matrix_complex_get(MDiag,1-1,1-1))/omega1;
f122=-REAL(matrix_complex_get(MDiag,2-1,2-1))/omega2;
f211=-IMAG(matrix_complex_get(MDiag,1-1,1-1))/omega1;
f222=-IMAG(matrix_complex_get(MDiag,2-1,2-1))/omega2;
f311=-k/omega1;
f322=-k/omega2;
matrix_complex_set(f0,1-1,1-1,cn(1,0));
matrix_complex_set(f1,1-1,1-1,cn(f111,0));
matrix_complex_set(f2,1-1,1-1,cn(f211,0));
matrix_complex_set(f3,1-1,1-1,cn(f311,0));
matrix_complex_set(f0,2-1,2-1,cn(1,0));
matrix_complex_set(f1,2-1,2-1,cn(f122,0));
matrix_complex_set(f2,2-1,2-1,cn(f222,0));
matrix_complex_set(f3,2-1,2-1,cn(f322,0));
/**Biunitaere Transformation der Matrizen f**/
ma_add(f0,f3,M1);
ma_scal_mul(cn(0.5,0),M1,M2);//M2=0.5*(f0+f3)
ma_scal_mul(cn(-1,0),f3,M1);
ma_add(f0,M1,M3);
ma_scal_mul(cn(0.5,0),M3,M1);//M1=0.5*(f0-f3)
ma_mul(UC,M1,M3);
ma_mul(M3,U,M4);
ma_mul(VC,M2,M3);
ma_mul(M3,V,M5);
ma_add(M4,M5,f0);
ma_sub(M5,M4,f3);
ma_scal_mul(cn(0.5,0),f1,M1);
ma_scal_mul(cn(0,-0.5),f2,M2);
ma_add(M1,M2,M3);//M3=0.5*(f1-i*f2);
ma_scal_mul(cn(0,0.5),f2,M2);
ma_add(M1,M2,M4);//M4=0.5*(f1+i*f2);
ma_mul(UC,M4,M1);
ma_mul(M1,V,M2);
ma_mul(VC,M3,M5);
ma_mul(M5,U,M6);
ma_add(M2,M6,f1);
ma_scal_mul(cn(0.5,0),f2,M1);
ma_scal_mul(cn(0,0.5),f1,M2);
ma_add(M1,M2,M5);//M5=0.5*(f2+i*f1);
ma_scal_mul(cn(0,-0.5),f1,M2);
ma_add(M1,M2,M6);//M6=0.5*(f2-i*f1);

ma_mul(UC,M6,M1);
ma_mul(M1,V,M2);
ma_mul(VC,M5,M3);
ma_mul(M3,U,M4);
ma_add(M2,M4,f2);
mavec(f0,f1,f2,f3,y0);
/**Bestimmung des Anfangswertes t der Integration **/
tmin=val[1][q];
vallast=1;
/**Integration fuer bestimmten Wert k von t=tmin bis t=tmax.
Der Maximalwert fuer t muss an Daten aus dsfine.dat angepasst sein.
0.01 ist die Anfangsschrittgroesse fuer h, 0 die Minimalgroesse fuer h**/
odeint(y0,32,tmin,tmax,0.01,0,&ok,&bad);
printf("k=%1.10Le checkk=%i (30)\n",k,checkk);
printf("Zahl der Schritte in odeint mit Minimalschrittgroesse:%i\n",check);
printf("Zahl der erfolgreichen Versuche fuer h in odeint:%i\n",ok);
printf("Zahl der nicht-erfolgreichen Versuche fuer h in odeint:%i\n",bad);
matrix_complex_free(f0);
matrix_complex_free(f1);
matrix_complex_free(f2);
matrix_complex_free(f3);
matrix_complex_free(M0);
matrix_complex_free(M1);
matrix_complex_free(M2);
matrix_complex_free(M3);
matrix_complex_free(M4);
matrix_complex_free(M5);
matrix_complex_free(M6);
}
void resstr(long double y1[],long double y2[],char* str)
{
matrix_complex *f0,*f1,*f2,*f3;
long double q1,q2;
f0=matrix_complex_alloc(2,2);
f1=matrix_complex_alloc(2,2);
f2=matrix_complex_alloc(2,2);
f3=matrix_complex_alloc(2,2);
matrix_complex_set_zero(f0);
matrix_complex_set_zero(f1);
matrix_complex_set_zero(f2);
matrix_complex_set_zero(f3);
vecma(y1,f0,f1,f2,f3);
q1=REAL(matrix_complex_get(f0,1-1,1-1))-1;
q2=REAL(matrix_complex_get(f0,2-1,2-1))-1;
vecma(y2,f0,f1,f2,f3);
q1+=REAL(matrix_complex_get(f0,1-1,1-1))-1;
q2+=REAL(matrix_complex_get(f0,2-1,2-1))-1;
/**Sichert, dass Integration nach 30 Mal Unterschreiten der gesetzten Grenze,
bei hoechstens fuenf Ueberschreitungen, abgebrochen wird**/
if(fabs(q1)1E-6 && fabs(q2)>1E-6)checkk2++;
if(checkk2>4) { checkk=0; checkk2=0;}
sprintf(str,"%1.10Le %1.10Le %1.10Le",k,q1,q2);
matrix_complex_free(f0);
matrix_complex_free(f1);
matrix_complex_free(f2);
matrix_complex_free(f3);
}
void der(long double eta,
long double y[32],long double dydeta[32])
{
long double t,Hn,S,asc;
long double tNext,HnNext,SNext,ascNext;

long double HnM,SM,ascM;
long q=vallast;
complex a,b; //Hilfsgroessen zur Eingabe der Massenmatrix
matrix_complex *M1,*M2,*M3,*M4;
matrix_complex *M,*AM,*f0,*f1,*f2,*f3,*df0deta,*df1deta,*df2deta,*df3deta;
f0=matrix_complex_alloc(2,2);
f1=matrix_complex_alloc(2,2);
f2=matrix_complex_alloc(2,2);
f3=matrix_complex_alloc(2,2);
M=matrix_complex_alloc(2,2);
AM=matrix_complex_alloc(2,2);
df0deta=matrix_complex_alloc(2,2);
df1deta=matrix_complex_alloc(2,2);
df2deta=matrix_complex_alloc(2,2);
df3deta=matrix_complex_alloc(2,2);
M1=matrix_complex_alloc(2,2);
M2=matrix_complex_alloc(2,2);
M3=matrix_complex_alloc(2,2);
M4=matrix_complex_alloc(2,2);
matrix_complex_set_zero(f0);
matrix_complex_set_zero(f1);
matrix_complex_set_zero(f2);
matrix_complex_set_zero(f3);
matrix_complex_set_zero(M);
matrix_complex_set_zero(AM);
matrix_complex_set_zero(M1);
matrix_complex_set_zero(M2);
matrix_complex_set_zero(M3);
matrix_complex_set_zero(M4);
matrix_complex_set_zero(df0deta);
matrix_complex_set_zero(df1deta);
matrix_complex_set_zero(df2deta);
matrix_complex_set_zero(df3deta);
t=val[1][q];
/**Veraendern des Wertes q, bis passender Wert t>eta aus dsfine.dat gefunden**/
if(t>eta)
{
while(val[1][q]>eta)q--;
}
if(t

ma_comm(cn(0,-1),AM,f2,M2);
ma_add(M1,M2,df0deta);
ma_scal_mul(cn(-2.0*k,0),f2,M4);
ma_comm(cn(0,-1),M,f0,M1);
ma_acomm(cn(1,0),AM,f3,M2);
ma_add(M1,M2,M3);
ma_add(M3,M4,df1deta);
ma_scal_mul(cn(2.0*k,0),f1,M4);
ma_acomm(cn(-1,0),M,f3,M1);
ma_comm(cn(0,-1),AM,f0,M2);
ma_add(M1,M2,M3);
ma_add(M3,M4,df2deta);
ma_acomm(cn(1,0),M,f2,M1);
ma_acomm(cn(-1,0),AM,f1,M2);
ma_add(M1,M2,df3deta);
mavec(df0deta,df1deta,df2deta,df3deta,dydeta);
vallast=q;
matrix_complex_free(f0);
matrix_complex_free(f1);
matrix_complex_free(f2);
matrix_complex_free(f3);
matrix_complex_free(df0deta);
matrix_complex_free(df1deta);
matrix_complex_free(df2deta);
matrix_complex_free(df3deta);
matrix_complex_free(M);
matrix_complex_free(AM);
matrix_complex_free(M1);
matrix_complex_free(M2);
matrix_complex_free(M3);
matrix_complex_free(M4);
}
void fprep()
{
long double t,Hn,S,asc;
matrix_complex *M,*Mh;
complex A1,A2,B1,B2,a,b,c,d,hh1,hh2,hh3;
long double h1,h2,h3; //Hilfsgroessen
long q=1;
/**In dieser Routine Bestimmung der biunitaeren Transformation !**/
M=matrix_complex_alloc(2,2);
Mh=matrix_complex_alloc(2,2);
matrix_complex_set_zero(M);
matrix_complex_set_zero(Mh);
matrix_complex_set_zero(U);
matrix_complex_set_zero(UC);
matrix_complex_set_zero(V);
matrix_complex_set_zero(VC);
matrix_complex_set_zero(MDiag);
t=val[1][q];Hn=val[2][q];S=val[3][q];asc=val[4][q];
/**Setzen der Anfangswerte fuer Massenmatrix**/
a=hc(complex_mul_real(LamHbar,8*Hn*asc));
b=cn(2*asc*S*Kappa,0);
c=cn(0,0);
d=hc(complex_mul_real(LamH,8*Hn*asc));
matrix_complex_set(M,1-1,1-1,a);
matrix_complex_set(M,1-1,2-1,b);
matrix_complex_set(M,2-1,1-1,c);
matrix_complex_set(M,2-1,2-1,d);
/**Berechnen der biunitaeren Transformation**/
hh1=complex_mul(d,hc(c));
hh2=complex_mul(hc(a),b);
hh3=complex_add(hh1,hh2);
A2=complex_mul_real(hh3,2);
hh1=complex_mul(hc(a),b);
hh2=complex_mul(d,hc(c));
hh3=complex_add(hh1,hh2);
h2=4*complex_abs2(hh3);
h1=complex_abs2(a)+complex_abs2(c)-complex_abs2(d)-complex_abs2(b);

if(h1>0)h3=sqrtl(h1*h1+h2)+h1; else h3=-sqrtl(h1*h1+h2)+h1;
/**Aus den beiden moeglichen Loesungen wurde die betragsmaessig
groessere ausgesucht, verbessert die Genauigkeit**/
B2=cn(h3,0);
hh1=complex_mul(hc(a),hc(A2));
hh2=complex_mul(hc(b),B2);
A1=complex_sub(hh1,hh2);
hh1=complex_mul(hc(c),hc(A2));
hh2=complex_mul(hc(d),B2);
B1=complex_sub(hh1,hh2);
/**Normieren**/
h1=sqrtl(complex_abs2(A1)+complex_abs2(B1));
h2=sqrtl(complex_abs2(A2)+complex_abs2(B2));
A1=complex_div_real(A1,h1);
B1=complex_div_real(B1,h1);
A2=complex_div_real(A2,h2);
B2=complex_div_real(B2,h2);
/**Setzen der Transformationsatrizen **/
matrix_complex_set(U,1-1,1-1,A1);
matrix_complex_set(U,1-1,2-1,B1);
matrix_complex_set(U,2-1,1-1,complex_mul_real(hc(B1),-1));
matrix_complex_set(U,2-1,2-1,hc(A1));
matrix_complex_set(VC,1-1,1-1,A2);
matrix_complex_set(VC,1-1,2-1,B2);
matrix_complex_set(VC,2-1,1-1,complex_mul_real(hc(B2),-1));
matrix_complex_set(VC,2-1,2-1,hc(A2));
ma_mul(U,M,Mh);
ma_mul(Mh,VC,MDiag);
matrix_complex_set(UC,1-1,1-1,hc(A1));
matrix_complex_set(UC,1-1,2-1,complex_mul_real(B1,-1));
matrix_complex_set(UC,2-1,1-1,hc(B1));
matrix_complex_set(UC,2-1,2-1,A1);
matrix_complex_set(V,1-1,1-1,hc(A2));
matrix_complex_set(V,1-1,2-1,complex_mul_real(B2,-1));
matrix_complex_set(V,2-1,1-1,hc(B2));
matrix_complex_set(V,2-1,2-1,A2);
matrix_complex_set(MDiag,2-1,1-1,cn(0,0));
matrix_complex_set(MDiag,1-1,2-1,cn(0,0));
matrix_complex_free(Mh);
matrix_complex_free(M);
}
void odeint(long double ystart[], int nvar, long double x1, long double x2,long double hbeg,
long double hmin, int *nok, int *nbad)
{
int nstp,i;
long double xsav,x,hnext,hdid,h;
long double *yscal,*y,*dydx;
char str[200];
yscal=ldvector(1,nvar);
y=ldvector(1,nvar);
dydx=ldvector(1,nvar);
/**Beginn der Integration bei x, Anfangsschrittgroesse h**/
x=x1;
h=SIGN(hbeg,x2-x1);
/**Kopieren der Startwerte in y**/
for (i=1;i

for (i=1;i 0.0) h=x2-x;
//Wenn Schrittgroesse ueber das Ziel hinausfuehrt, reduzieren.
rkqs(y,dydx,nvar,&x,h,yscal,&hdid,&hnext);
if (hdid == h) ++(*nok); else ++(*nbad);
/**Beenden, wenn Wert x=x2 erreicht, kopieren der Daten in ystart**/
if ((x-x2)*(x2-x1) >= 0.0)
{
for (i=1;i

31=3.0/40.0,b32=9.0/40.0,b41=0.3,b42 = -0.9,b43=1.2,
b51 = -11.0/54.0, b52=2.5,b53 = -70.0/27.0,b54=35.0/27.0,
b61=1631.0/55296.0,b62=175.0/512.0,b63=575.0/13824.0,
b64=44275.0/110592.0,b65=253.0/4096.0,c1=37.0/378.0,
c3=250.0/621.0,c4=125.0/594.0,c6=512.0/1771.0,
dc5 = -277.00/14336.0;
long double dc1=c1-2825.0/27648.0,dc3=c3-18575.0/48384.0,
dc4=c4-13525.0/55296.0,dc6=c6-0.25;
long double *ak2,*ak3,*ak4,*ak5,*ak6,*ytemp;
ak2=ldvector(1,n);
ak3=ldvector(1,n);
ak4=ldvector(1,n);
ak5=ldvector(1,n);
ak6=ldvector(1,n);
ytemp=ldvector(1,n);
for (i=1;i

printf("Zahl der erfolgreichen Versuche fuer Schrittgroesse h in odeint:%i\n",ok);
printf("Zahl der nicht-erfolgreichen Versuche fuer Schrittgroesse h in odeint:%i\n",bad);
free_ldvector(y0,1,2);
fclose(f);
fclose(ff);
}
void dercon(long double x,long double y[6],long double dydx[6] )
{
long double Hn,S,asc,DHn,DS,Dasc;
dydx[1]=y[4];
dydx[2]=y[5];
dydx[3]=y[6];
Hn=y[1]; S=y[2]; asc=y[3];
DHn=y[4];DS=y[5];Dasc=y[6];
dydx[4]=-(2*Dasc*DHn/asc + asc*asc*Kappa*Kappa*(16*Power(Hn,3)-8*Hn+16*Power(S,2)*Hn)+asc*Gamma*DHn);
dydx[5]=-(2*Dasc*DS/asc + asc*asc*Kappa*Kappa*16*S*Power(Hn,2)+asc*Gamma*DS);
dydx[6]=-8/3*IMPQ*Pi*asc*(Power(DHn,2)
+ Power(DS,2))+8/3*asc*asc*asc*IMPQ*Pi*Kappa*Kappa*(4*Power(Hn,4)-4*Power(Hn,2)+1+8*Power(Hn,2)*Power(S,2))+Dasc*Dasc/asc;
}
void qint()
{
/** In dieser Routine Berechnen der Gesamtladung**/
double q1,q2,klast,qc1,qc2,kk;
char s[200];
qc1=0;
qc2=0;
klast=0;
f=fopen("cbc.dat","rt");
fseek(f,0,SEEK_SET);
while(fgets(s,sizeof(s),f)!=NULL)
{
sscanf(s,"%lf %lf %lf",&kk,&q1,&q2);
qc1+=(q1*(kk-klast)*(kk+klast)*(kk+klast))/(2*2*2*Pi*Pi);
qc2+=(q2*(kk-klast)*(kk+klast)*(kk+klast))/(2*2*2*Pi*Pi);
klast=kk;
}
fclose(f);
f=fopen("ergebnis.dat","rt+");
fseek(fout,0,SEEK_END);
sprintf(s,"%1.5E %1.5E %1.5E %1.5E %1.5E",Kappa,Parameter,CP,qc1,qc2);
fprintf(f,"%s\n",s);
fclose(f);
printf("q1=%1.5E\n",qc1);
printf("q2=%1.5E\n",qc2);
}

Literaturverzeichnis
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Edition, Cambridge University Press (1992)

Danksagung
An erster Stelle möchte ich Prof. Michael Schmidt für die gute Betreuung dieser Diplomarbeit
danken. Er nahm sich immer viel Zeit und war auch sonst in jeder Hinsicht hilfsbereit und hilfreich.
Danken möchte ich auch Prof. Arthur Hebecker für die Übernahme des Zweitgutachtens dieser
Arbeit.
Björn Garbrecht war während des vergangenen Jahres ein Ansprechpartner, der mir oft weiterhalf
und auch vorab einen Teil dieser Arbeit las. Für all das möchte ich auch ihm danken. Vorab
gelesen und mit wertvollen Kommentaren versehen haben diese Arbeit auch Felix Brümmer und
Dr. Gerhard Kulzinger, der mir darüberhinaus in den letzten Tagen vor Abgabe auch sonst eine
große Hilfe war. Prof. Werner Wetzel hat mir immer wieder beim Umgang mit den Computern
geholfen und damit auch zur Umsetzung der numerischen Berechnungen beigetragen. Ihnen allen
sei gedankt.
Besonders danken möchte ich auch meinen Eltern und Emilie. Wofür alles ich zu danken habe,
kann ich wohl nicht aufzählen.