Fakultät für Physik und Astronomie

Ein komplexer Massenterm führt bekanntlich zu CP-Verletzung. Dies kann man an den Gleichungen
explizit sehen, wenn man sie unter CP konjugiert. Unter C transformieren L h → −hR ∗ h und
R h → hL ∗ h . Unter P transformieren entsprechend L h → R h , R h → L h sowie h → −h. Damit folgt
für das obige Gleichungssystem nach einer CP-Transformation, wenn man zusätzlich komplex
konjugiert:
i∂ η L h − h| ⃗ k|L h = m R R h − im I R h
i∂ η R h + h| ⃗ k|R h = m R L h + im I L h
(3.43)
Ist m I ≠ 0, so sind die Gleichungen nicht forminvariant und führen somit zu CP-Verletzung. Dieses
Ergebnis wird bei der Besprechung der Kohärenten Baryogenese noch eine wichtige Rolle spielen.
Nach diesem Abstecher bestimmen wir den Hamiltonoperator, der aus obiger Zerlegung folgt (N
steht für Normalordnung und ′ bedeutet Ableitung nach η):
∫
H = d 3 x N( Ψ † (x)i ∂
∫
= i
∫
=
mit
und
d 3 k
(2π) 3
d 3 k ∑
(2π) 3
∂η Ψ(x) )
∑
[ u † h 1
u ′ h 2
a † h 1
a h2 + u † h 1
v h ′ 2
a † h 1
b † h 2
+ v † h 1
u ′ h 2
b h1 a h2 − v † h 1
v h ′ 2
b † h 2
b h1 ]
h 1 ,h 2 =±1
h
[
Ω h ( ⃗ k, η)
(
a † h (⃗ k)a h ( ⃗ k) + b † h (−⃗ k)b h (− ⃗ ) (
k) + Λ h ( ⃗ k, η) b h (− ⃗ k)a h ( ⃗ ) ]
k) + h.c.
Ω h ( ⃗ k, η) = h| ⃗ k| ( |L h | 2 − |R h | 2) + mL ∗ hR h + m ∗ L h R ∗ h
Λ h ( ⃗ k, η) = 2| ⃗ k|L h R h − hm ∗ L 2 h + hmR 2 h
(3.44)
Es ist m ≡ m R + im I . Im letzten Schritt haben wir die obigen Ausdrücke für u h ( ⃗ k, η) und v h ( ⃗ k, η)
eingesetzt und (3.42) sowie ξ † h ξ h = 1 und ξ † −h ξ h = 0 benutzt. Ist zu einem Zeitpunkt η für ein ⃗ k
Λ( ⃗ k, η) ≠ 0, so ist der Hamiltonoperator offensichtlich nicht diagonal. Um ihn zu diagonalisieren,
führen wir eine Bogolyubov-Transformation zu neuen Erzeugern und Vernichtern durch:
(
â h ( ⃗ ) (
k)
ˆb†
h (−⃗ =
k)
α h ( ⃗ k) β h ( ⃗ k)
−β ∗ h (⃗ k) α ∗ h (⃗ k)
) (
a h ( ⃗ k)
b † h (−⃗ k)
)
(3.45)
Die â und ˆb erfüllen wiederum die kanonischen Antikommutatorrelationen, woraus insbesondere
|α h ( ⃗ k)| 2 +|β h ( ⃗ k)| 2 = 1 folgt. Sie definieren ein neues Vakuum durch â|0〉 ˆ = ˆb |0〉 ˆ = 0. Man kann sich
leicht davon überzeugen, daß der Hamilton-Operator diagonalisiert wird, wenn für die Koeffizienten
α und β der Bogolyubov-Transformation gilt:
(∣
1 ∣∣∣∣
α h ( ⃗ ∣
k)
∣∣∣∣ 2 β h ( ⃗ k) ∣ − β h ( ⃗ )
k)
α h ( ⃗ = Ω h( ⃗ k, η)
k) ∣ |Λ h ( ⃗ und arg(α h ( ⃗ k)) − arg(β h ( ⃗ k)) = arg(Λ h ( ⃗ k, η)) (3.46)
k, η)|
Die Zeitabhängigkeit der Koeffizienten α und β haben wir nicht explizit ausgeschrieben. Der Massenterm
verschwindet nun lange vor der Symmetriebrechung und ist insbesondere zeitlich konstant.
Der Hamiltonoperator sei durch die Operatoren a und b diagonalisiert, die das Vakuum |0〉 definieren.
Während der Symmetriebrechung nimmt der Massenterm einen nichtverschwindenden Wert
an und ist lange danach wiederum zeitlich konstant. Nach einer Bogolyubov-Transformation wird
der Hamiltonoperator nun durch die Operatoren â und ˆb diagonalisiert, die ein neues Vakuum |0〉 ˆ
definieren. Wendet man in dieser Situation den neuen Teilchenzahloperator N = â † â auf das alte
Vakuum |0〉 an, so erhält man:
〈0|â † â|0〉 = |α| 2 〈0|a † a|0〉 + β ∗ α 〈0|b a|0〉 + α ∗ β 〈0|a † b|0〉 + |β| 2 〈0|b b † |0〉 = |β| 2 (3.47)
Ist |β| 2 ≠ 0, so wurden Teilchen produziert! Dasselbe Ergebnis folgt, wenn man stattdessen ˆb †ˆb
einsetzt. Es werden folglich immer genausoviele Teilchen wie Antiteilchen produziert. Dem entspricht,
daß die Gleichungen (3.42) invariant unter einer C-Transformation sind, wie man leicht