Fakultät für Physik und Astronomie

Skalen homogene Schwingungen aus. In diesen Bereichen kann man die Ortsabhängigkeit der Massenmatrix
deswegen vernachlässigen. Da die Massenmatrix wiederum der Ursprung der Abhängigkeit
der Wigner-Funktion S < von der Schwerpunktskoordinate x ist, hängt auch diese dort nur
von der Zeit ab. Mit diesen Vereinfachungen, und wenn man außerdem 1 = γ 0 γ 0 einfügt, folgt (die
Argumente von S < lassen wir im folgenden fort):
[ik/γ 0 − 1 2 ∂ t − (iM H (t)γ 0 − M A (t)γ 5 γ 0 )e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac (−iγ 0 S < ) cb
= 0 (5.22)
Der Helizitätsoperator ĥ = ˆ⃗ k·γ 0 ⃗γγ 5 kommutiert mit dem Operator in eckigen Klammern 1 . Deswegen
ist folgende blockdiagonale Zerlegung möglich (wir lassen die die Felder bezeichnenden Indizes
fort):
(−iγ 0 S < ) = ∑ h
P h (−iγ 0 S < )P h = ∑ h
(−iγ 0 S < h ) (5.23)
Der hier auftretende Helizitätsprojektor ist P h = 1[1 2 + hˆ⃗ kγ 0 ⃗γγ 5 ]. Wir wählen für die γ-Matrizen
die chirale Darstellung,
( )
γ µ 0 σ
µ
=
¯σ µ , (5.24)
0
mit σ µ = (1, σ i ) und ¯σ µ = (1, −σ i ). Die σ i für i = 1, 2, 3 sind die Pauli-Matrizen. Die γ-
Matrizen kann man dann als Tensorprodukt von Pauli-Matrizen darstellen, nämlich γ 0 = 1 ⊗ ϱ 1
und γ i = σ i ⊗ iϱ 2 , wobei die ϱ ebenfalls Pauli-Matrizen seien und die Bedeutung der Reihenfolge
des Tensorprodukts durch die Gleichungen festgelegt sei. Der Helizitätsprojektor lautet damit:
P h = 1 2 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ 1 (5.25)
Da die Wigner-Funktionen (−iγ 0 S
h < ) mit diesem Operator kommutieren, kann man sie folgendermaßen
darstellen:
(−iγ 0 S
h < ) = 1 4 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ µ g
µh < (5.26)
Die g
µh < sind dabei Funktionen, die die Abhängigkeit vom Viererimpuls k und von der Zeit t tragen.
Durch Einsetzen in (5.22) folgt:
[ik/γ 0 − 1 2 ∂ t − (iM H (t)γ 0 − M A (t)γ 5 γ 0 )e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac { 1 4 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ µ g
µh < } = 0 (5.27)
cb
Die in diesem Ausdruck auftretenden Produkte von γ-Matrizen lassen sich ebenfalls zerlegen.
Einsetzen dieser Ausdrcke in (5.27) und Umstellen ergibt:
γ 5 γ 0 = −i(1 ⊗ ϱ 2 ) (5.28)
γ i γ 0 = σ i ⊗ ϱ 3 (5.29)
1
4 (ik 0 − 1 2 ∂ t)(1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ µ (g < µh ) ab
− i 4 |⃗ k|(ˆ⃗ k⃗σ + h(ˆ⃗k⃗σ) 2 ) ⊗ (ϱ 3 ϱ µ )(g < µh ) ab
− i 4 (M H) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (1 + hˆ⃗k⃗σ) ⊗ (ϱ 1 ϱ µ )(g
µh < ) cb
− i 4 (M I) ac e − i ←− −→
2 ∂t
∂k0
(1 + hˆ⃗k⃗σ) ⊗ (ϱ 2 ϱ µ )(g < µh ) cb = 0 (5.30)
1 Dazu zeigt man, daß der Helizitätsoperator mit den drei Ausdrücken ⃗ k ⃗γ γ 0 , γ 0 und γ 5 γ 0 kommutiert. Mit
{γ µ , γ ν } = 0 für µ ≠ ν und {γ µ , γ 5 } = 0 folgt:
( ⃗ k⃗γ γ 0 ) (γ 0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 ) = −| ⃗ k| γ 0 ˆ⃗k⃗γ γ
0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 = −| ⃗ k| γ 0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 γ 0 ˆ⃗k⃗γ = (γ
0 ˆ⃗k⃗γ γ 5 ) ( ⃗ k⃗γ γ 0 )
Für die anderen beiden Ausdrücke zeigt man das Kommutieren entsprechend.