Fakultät für Physik und Astronomie

Anhang B
Kosmologie
B.1 FRW-Kosmologie
Die Galaxie, in der sich unser Sonnensystem befindet, die Milchstraße, ist Teil eines Galaxienhaufens,
der Lokalen Gruppe. Diese wiederum ist Bestandteil eines Superhaufens, des Virgo-
Superhaufens, der seinerseits in eine wabenförmige Struktur eingebettet ist. Auf größeren Skalen
kennt man dagegen keine weiteren Strukturen und das Universum erscheint homogen (konstante
Dichte) und isotrop (gleichförmig in alle Richtungen). Entsprechend beobachtet man eine auf
großen Skalen isotrope kosmischen Hintergrundstrahlung. Es ist deswegen naheliegend, das Universum
durch eine Materieverteilung mit diesen Eigenschaften zu beschreiben und nach einer
passenden Metrik für die Einsteinschen Feldgleichungen zu suchen.
Zunächst ist es möglich, eine universelle Zeit t zu definieren: Man stelle sich Beobachter vor, die an
verschiedenen Raumpunkten sitzen. Ihre Uhren können sie synchronisieren, indem sie sich durch
den Austausch von Signalen darauf verständigen, die Uhren bei Erreichen beispielsweise einer bestimmten
Dichte des Universums auf einen gemeinsamen Wert zu stellen. Aus der Isotropie folgt
weiter, daß sich die Materieverteilung nur in radialer Richtung bewegen kann. Dies ist konsistent
mit der Beobachtung, daß unser Universum expandiert. Man benutzt deswegen am einfachsten
Kugelkoordinaten θ, φ und r ′ für den Raum. Die Radialkoordinate r ′ zerlegt man in die sogenannte
comoving“ Koordinate r und den Skalenfaktor R(t). Die mitbewegte Koordinate r bleibt
”
dabei für Objekte konstant, die nur der allgemeinen Radialbewegung unterliegen, wohingegen der
Skalenfaktor R(t) die Radialbewegung parametrisiert. Die gesuchte Metrik, benannt nach H. P.
Robertson und A. G. Walker, hat mit diesen Definitionen die Form:
[ ]
dr
ds 2 = dt 2 − R 2 2
(t)
1 − kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
(B.1)
Der Parameter k unterscheidet die drei Fälle eines räumlich offenen (k = −1), geschlossenen
(k = 1) sowie flachen Universums (k = 0). Den Skalenfaktor kann man normieren, indem man
a(t) ≡ R(t)/R 0 setzt, wobei R 0 der gegenwärtige Wert des Skalenfaktors ist. Die Robertson-
Walker-Metrik nimmt dann folgende Form an:
[
ds 2 = dt 2 − a 2 dr 2
]
(t)
1 − k(r/R 0 ) 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
(B.2)
Für k = 0 haben (B.1) und (B.2) die gleiche Form und wir können in den im folgenden hergeleiteten
Gleichungen R durch a ersetzen. Davon werden wir oft Gebrauch machen, ohne dies explizit zu
erwähnen. Der physikalische Abstand in radialer Richtung r ph zur Zeit t folgt aus der Robertson-
Walker-Metrik zu:
r ph = R(t)
∫ r
0
dr ′
√
1 − k r
′2
(B.3)
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