Fakultät für Physik und Astronomie

In allen drei Fällen wächst der Skalenfaktor kontinuierlich an. Während der Dominanz der Vakuumenergie
nähert sich deswegen Ω gemäß Gleichung (B.13) immer mehr dem Wert 1. Dauert
diese Phase ausreichend lange, so werden schließlich die Abweichungen kleiner als O(10 −60 ). Diese
Eigenschaft kann man auch direkt dem Verhalten des Skalenfaktors entnehmen. Die Funktionen
sinh und cosh nähern sich nämlich für spätere Zeiten immer mehr dem Verhalten der Exponentialfunktion
und damit dem Fall k = 0 an. Folglich können wir nach einiger Zeit sinh und cosh
durch√
die Exponentialfunktion ersetzen. Außerdem ist der Hubble-Parameter dann nahezu gleich
H = 8πρ v /3m 2 p. Der Friedmann-Gleichung (B.4) entnehmen wir:
Ω − 1 =
woraus für große Zeiten in guter Näherung folgt:
k
H 2 R 2 ,
(B.39)
|Ω − 1| ∝ e −2 H t (B.40)
Gehen wir davon aus, daß zu Beginn |Ω − 1| i = O(1) gilt. Die Dominanz der Vakuumenergie muß
ausreichend lange währen, damit am Ende |Ω − 1| f O(10 −60 ). Die Zahl der dazu benötigten
e-foldings N des Skalenfaktors können wir abschätzen durch:
|Ω − 1| i
|Ω − 1| f
= e 2H(t f −t i ) = e 2N ⇒ N ≈ 70 (B.41)
Eine solche Phase der Dominanz der Vakuumenergie, deren Beginn man etwa bei der Planck-Skala
erwartet, bezeichnet man als Inflation. Schauen wir uns an, wie sie hilft, das Horizont-Problem zu
lösen. Auch hier hatten wir implizit die Annahme gemacht, daß das Universum in seiner frühen
Entwicklung lediglich durch die Energiedichten von Strahlung und Materie dominiert war. Nehmen
wir stattdessen erneut eine Phase der Inflation an. Der Teilchenhorizont bis zur Zeit der Rekombination
gemäß Gleichung (B.35) wird dann nahezu ausschließlich durch das exponentielle Verhalten
des Skalenfaktors während der Inflation bestimmt und vergrößert sich deutlich im Vergleich zu
der obigen Situation:
∫ tr
r H = R(t r )
0
dt ′
R(t ′ ) ≃ R(t ∫ tf
eHt f
r) dt ′
R(t f ) t i
e Ht′
≈ 1 H
R(t r )
R(t f ) eH(t f −t i) ,
(B.42)
für (t f − t i ) ≫ H −1 . Warum wir den Skalenfaktor vor dem Integral aufgespaltet haben, wird
im folgenden verständlich. Die Vergrößerung des Teilchenhorizonts während der Inflation ist der
zentrale Punkt bei der Lösung des Horizont-Problems. Zwecks einer genaueren Analyse bestimmen
wir die Zahl der benötigten e-foldings. Dazu nehmen wir eine Vakuumenergie von ρ ≈ (10 16 GeV) 4
an, eine Wahl, die wir noch begründen werden. Dann folgt:
√
H = 8πρ/3m 2 p ≈ 2.4 · 10 14 GeV
(B.43)
Wie wir im folgenden sehen werden, enthält das Universum nach der Inflation praktisch keine
Materie mehr und muß wiederaufgeheizt werden. Die dabei maximal erreichte Temperatur ist die
Reheat-Temperatur T RH . Wir machen die zusätzliche Annahme T RH ≈ 10 9 GeV, die wir auch
noch begründen werden. Nach der Rekombination vervielfacht sich der Teilchenhorizont zu der
heutigen Größe
R(t 0 )
R(t r ) r H ≈ 1 R(t 0 )
H R(t f ) eH(t f −t i) = 1 T RH
e H(t f −t i) , (B.44)
H T 0
wobei T 0 = 2.73 K = 2.35 · 10 −4 eV wiederum die jetzige Temperatur des CMB ist. Um das
Horizont-Problem zu lösen, muß dieser Wert mindestens 10 10 pc betragen. Dann nämlich war
der Bereich, aus dem die uns jetzt erreichenden Photonen des Cmb ausgesandt wurden, bis zur
Zeit der Rekombination schon in kausalem Kontakt und konnte eine gemeinsame Temperatur finden.
Aus dieser Forderung und mit den obigen Werten folgt die Zahl der benötigten e-foldings zu