Fakultät für Physik und Astronomie

tergruppe SU(5) × U(1) X 8 zerlegt sich diese nach
16 = (10, 1) ⊕ (¯5, −3) ⊕ (1, 1), (2.23)
wobei (a, b) die a der SU(5) mit der Ladung b unter der U(1) X bezeichnet. Die SU(5) enthält
bekanntlich eine Untergruppe SU(3) × SU(2) × U(1) Z . Will man nun das Standardmodell in
die Gruppe SU(5) × U(1) X einbetten, so muß die U(1) Y der Hyperladung offensichtlich eine
Linearkombination der U(1) X und der U(1) Z sein. Da wir von der SO(10) kommen, versuchen
wir, die Standardmodellteilchen in den Darstellungen in (2.23) unterzubringen. Bezeichnen X, Y
und Z die jeweiligen Ladungen, so muß man Koeffizienten α und β derart finden, daß folgende
Gleichung für alle Teilchen einer Generation erfüllt ist:
Es gibt zwei Lösungen:
(A) (α, β) = (1, 0)
(B) (α, β) = (− 1 5 , 1 5 )
Y = αZ + βX (2.24)
Lösung (A) entspricht der Gruppe SU(5) G-G × U(1), wobei das Standardmodell vollständig in
der SU(5) G-G liegt. Diese Gruppe unterscheidet sich nicht wesentlich von der im letzten Abschnitt
besprochenen. Lösung (B) dagegen entspricht einer neuen Gruppe, die man als Flipped SU(5) bezeichnet.
Das Standardmodell ist nicht mehr Untergruppe nur der SU(5) sondern der vollständigen
Gruppe SU(5) × U(1). Vorgeschlagen wurde sie zuerst von S. M. Barr als neuer Zwischenschritt
der Brechung der SO(10) in das Standardmodell [10].
Um die richtige Zuordnung der Standardmodellteilchen in die SU(5)×U(1) X -Multipletts in (2.23)
zu finden, schreiben wir in die Vektor- bzw. Matrizenform der Darstellungen ¯5, 10 und 1 der SU(5)
die Ladungen bezüglich ihrer U(1) Z -Untergruppe:
⎛ ⎞ ⎛
1
3
/ − 2 3
− 2 ⎞
1 1
3 6 6
1
3
¯5 :
1
⎜ 3 ⎟
⎝− 1 ⎠
10 : − 2 3
/ − 2 1 1
3 6 6
⎜− 2 3
− 2 1 1
3
/ 6 6⎟
⎝ 1 1 1
2
− 1 6 6 6
/ 1⎠ 1 : 0 (2.25)
1 1 1
2
6 6 6
1 /
Formel (2.24) für den Fall (B) ergibt dann für die SU(5) × U(1) X -Darstellungen folgende Hyperladungen
bezüglich der U(1) Y :
⎛
− 2 ⎞ ⎛
⎞
3
/ 1 1 1 1
− 2 3 3 6 6
1
3
(¯5, −3) :
⎜− 2 3⎟
⎝− 1 ⎠
(10, 1) : 3
/ 1 1 1
3 6 6
1 1
⎜ 3 3
/ 1 1
6 6⎟
(1, 5) : 1 (2.26)
⎝ 1 1 1
2
− 1 6 6 6
/ 0⎠ 1 1 1
2
6 6 6
0 /
Im Vergleich zu den Zuordnungen (2.4) in der SU(5) müssen in der Flipped SU(5) insbesondere
die d c aus der ¯5 mit den u c aus der 10 tauschen: u c ↔ d c . Weiterhin muß das e c aus der 10
mit dem Singlet ν c tauschen: e c ↔ ν c . Um schließlich die richtigen Zuordnungen der elektrischen
Ladung zu haben, müssen auch die u mit den d und das ν mit dem e tauschen: u ↔ d und e ↔ ν.
Insgesamt haben wir dann folgende Einordnungen der Standardmodellteilchen in die Multipletts
der Flipped SU(5):
⎛ ⎞
⎛
⎞
u c 1
0 d c u c 3 −d c 2 d 1 u 1
2
¯f ≡ (¯5, −3) =
⎜u c 3⎟
⎝ ν ⎠ F ≡ (10, 1) = −d c 3 0 d c 1 d 2 u 2
⎜ d c 2 −d c 1 0 d 3 u 3
⎟
⎝−d 1 −d 2 −d 3 0 ν c ⎠ (1, 5) = ec (2.27)
e
−u 1 −u 2 −u 3 −ν c 0
8 Die Indizes X und Z an den U(1) dienen lediglich der Unterscheidung. Der Generator der U(1) Z sei bereits
wie derjenige der Hyperladungs-U(1) Y normiert, also mit der Ersetzung (2.10).