Fakultät für Physik und Astronomie

steht dort in der Form ˜M = M H +iγ 5 M A = P R ⊗M +P L ⊗M † wobei P L und P R wieder die linksbzw.
rechtshändigen Helizitätsprojektoren sind. Man überprüft leicht, daß diese Matrix durch
X = P L ⊗ V + P R ⊗ U und Y = P L ⊗ U + P R ⊗ V (E.5)
gemäß ˜M diag = X ˜MY † diagonalisiert wird. Multipliziert man (5.21) von links mit X und von
rechts mit X † und fügt noch 1 = Y † Y ein, so erhält man:
[iX k/ Y † − 1 2 ∂ tXγ 0 Y † − i ˜M diag e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac (iY S
h < X† ) cb
= 0
Die ersten beiden Terme enthalten Ausdrücke der Form Xγ µ Y † . Man berechnet:
Xγ µ Y † = (P L ⊗ V + P R ⊗ U) γ µ (P L ⊗ U † + P R ⊗ V † )
(E.6)
= P L γ µ P L ⊗ V U † + P L γ µ P R ⊗ 1 + P R γ µ P L ⊗ 1 + P R γ µ P R ⊗ UV † (E.7)
Durch Hinschreiben der betreffenden Ausdrücke in der chiralen Darstellung überprüft man leicht,
daß P L γ µ P L = P R γ µ P R = 0 und außerdem P L γ µ P R + P R γ µ P L = γ µ . Damit folgt:
Xγ µ Y † = γ µ
(E.8)
Setzt man nun noch ˜S h
<
Transformation ist:
= Y S< h X† , so sieht man, daß (5.21) forminvariant unter der biunitären
[i k/ − 1 2 ∂ tγ 0 − i ˜M diag e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 ]ac (i ˜S h < ) cb = 0
(E.9)
Die γ 5 -Matrizen, die in den Transformationen Y und X † auftreten, lassen sich durch γ 5 = −1⊗ϱ 3
als Tensorprodukt darstellen. Damit wird klar, daß auch ˜S h < sich in der Form (3.41) schreiben lässt,
nämlich
˜S
h < = i 4 γ0 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱµ˜g
µh < (E.10)
mit anderen Funktionen ˜g
µh < . Ausgehend von Gleichung (E.9) kann man die Schritte in Abschnitt
5.2 wiederholen und die kinetischen Gleichungen herleiten, diesmal jedoch für die Funktionen
˜f µh = ∫ dk 0
2π ˜g< µh
. Da die Massenmatrix nun diagonal ist, kann man (E.1) für die Anfangswerte
benutzen.
Um den Zusammenhang mit den Funktionen f µh für die ursprüngliche nicht-diagonale Massenmatrix
zu erhalten, müssen wir offensichtlich Y † ˜S< h
X berechnen. Es gilt (das Tensorprodukt in
den Transformationen X und Y † lassen wir weg, um es nicht mit demjenigen zwischen den Pauli-
Matrizen zu verwechseln):
S < h = Y † ˜S< h
X = 1 4 [ (1 − γ5 ) U † + (1 + γ 5 ) V † ] ˜S < h [ (1 − γ5 ) V + (1 + γ 5 ) U ]
= 1 4 (P † − γ 5 Q † ) ˜S < h (P + γ5 Q),
(E.11)
wobei wir die Abkürzungen P = U + V und Q = U − V eingeführt haben. Nun setzt man (E.10)
ein und bedenkt, daß γ 0 = 1 ⊗ ϱ 1 und γ 5 = −1 ⊗ ϱ 3 :
S < h
= i
16 (P † − γ 5 Q † ) γ 0 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱµ˜g < µh (P + γ5 Q)
= i
16 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗
{
ϱ 1 ϱ µ P †˜g < µh P − ϱ1 ϱ µ ϱ 3 P †˜g < µh Q
+ ϱ 3 ϱ 1 ϱ µ Q †˜g < µh P − ϱ3 ϱ 1 ϱ µ ϱ 3 Q †˜g < µh Q }
(E.12)
Nun betrachten wir die Darstellung der Wigner-Funktion für die nicht-diagonale Massenmatrix:
S < h = i 4 (1 + hˆ⃗ k⃗σ) ⊗ ϱ 1 ϱ µ g < µh
(E.13)