Fakultät für Physik und Astronomie

Anhang A
Supersymmetrie
Supersymmetrie ist eine Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen. Im folgenden werden wir
lediglich einige Formeln zusammenstellen, die im weiteren Verlauf dieser Arbeit immer wieder
benötigt werden. Für eine Einführung in Supersymmetrie sei der Leser auf [3] oder [4] verwiesen.
Ein chirales Supermultiplett enthält einen Skalar, ein linkshändiges Weyl-Fermion und das F-Feld.
Ein Vektor-Supermultiplett enthält ein Eichboson, ein Weyl-Fermion (das Gaugino) und das D-
Feld. Wir verwenden in dieser Arbeit nicht den Superfeldformalismus. Stattdessen betrachten wir
die Komponenten der Supermultipletts getrennt und erinnern uns erst zu gegebener Zeit daran,
daß sie eigentlich zusammengehören. Bezeichnet des weiteren Ψ die linkshändige Komponente eines
Dirac-Fermions, so bezeichnet Ψ c die linkshändige Komponente des zugehörigen Antiteilchens. Der
Dirac-Spinor lautet dann: ( Ψ
Ψ c† )
(A.1)
Dabei bedeutet † hermitesche Konjugation. Darüberhinaus bedeutet ∗ komplexe Konjugation,
wohingegen ein Querstrich über einem Feld immer Teil des Namens ist. Bezeichnet χ weiterhin
ein skalares Feld, so ist Ψ χ das zugehörige Weyl-Fermion.
Die Felder D und F kann man ausintegrieren. Die kinetischen Terme in der Lagrangedichte lauten
dann (es gelte die Summenkonvention):
L ⊃ −D µ φ i∗ D µ φ i − i Ψ i†¯σ µ D µ Ψ i − 1 4 F a µνF aµν − i Λ †a¯σ µ D µ Λ a
(A.2)
Dabei bezeichnet φ i die skalare und ψ i die fermionische Komponente eines chiralen Supermultipletts.
Außerdem bezeichnet F a µν die Feldstärke eines Eichfeldes und Λ a das zugehörige Gaugino
in einem Vektor-Supermultiplett. Es ist σ µ = (1, σ i ) und ¯σ µ = (1, −σ i ) für µ = 0, 1, 2, 3 und
i = 1, 2, 3. Die kovariante Ableitung D µ wird gegeben durch
D µ = ∂ µ − i g T a A a µ,
(A.3)
wobei die T a die Generatoren der Eichgruppe bezeichnen und g die Eichkopplung ist. Das Superpotential
W, das man sich in unserer Herangehensweise als Funktion der skalaren Felder vorstelle,
führt folgendermaßen zu Yukawa-Kopplungen in der Lagrangedichte:
L ⊃ − 1 2
( )
W
ψ i ψ j +h.c.
∂φ i ∂φ j
−
( W
∂φ i
) ( W
∗
∂φ i )
(A.4)
Schließlich führen die Eichwechselwirkungen auch zu folgenden Termen in der Lagrangedichte (hier
gelte nicht die Summenkonvention):
L ⊃ √ 2 [ (φ i∗ T a ψ i )Λ a + h.c. ] − g 2 (φ i T a φ i ) 2
(A.5)
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