Fakultät für Physik und Astronomie

und solche aus den Triplets zu verbieten, müssen die Triplets ausreichend schwer sein. Darüberhinaus
gibt es aber noch effektive Kopplungen, bei denen die Teilchen des Triplets nur als Austauschteilchen
auftreten. Diese Prozesse werden mit größerer Triplet-Masse stärker unterdrückt.
Es zeigt sich, daß die Farb-Tripletts sehr große Massen von O(10 15 GeV) erhalten müssen, um die
insbesondere durch den Protonenzerfall gesetzten Grenzen zu erfüllen. Dagegen haben die Higgs-
Doublets natürlich leicht zu bleiben. Dies ist das sogenannte Doublet/Triplet-Splitting-Problem.
Wir werden gleich zeigen, daß es sich in der SU(5) lösen lässt, allerdings nur mit einem gewissen
Grad an Fine-Tuning.
Die 24 Generatoren der SU(5) sind in Anhang D zu finden (dort im Kontext der Flipped SU(5)).
Ihre wesentliche Struktur lässt sich durch folgende Matrizen darstellen:
1
2
⎛
⎜
⎝
λ i
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0
⎞
⎟
⎠
1
2
⎛
⎜
⎝
0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
σ i
⎞
⎟
⎠
⎛
1
1
√ 15
⎜
⎝
Dabei sind die λ i mit i = 1, . . . , 8 die Gell-Mann-Matrizen und die σ i mit i = 1, 2, 3 die Pauli-
Matrizen. Offensichtlich entsprechen die ersten Matrizen den Generatoren einer SU(3)-Untergruppe
und die zweiten denen einer SU(2). Entsprechend ist die diagonale Matrix der Generator einer
U(1)-Untergruppe. Will man von der SU(5) in das Standardmodell brechen, so müssen diese Generatoren
klarerweise ungebrochen bleiben. Daneben gibt es noch 12 gebrochene Generatoren, die
die Gestalt
1
2
⎛
⎜
⎝
∗ ∗
0 ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗
0
∗ ∗ ∗
haben, wobei die Sternchen für Einträge stehen, die teilweise von Null verschieden sind.
Nun sind die Eigenwerte des Multiplets ¯f bezüglich des diagonalen Generators in (2.7) gegeben
durch:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
d c 1
d c 1
1
d c 1
2
√ 15
⎜ 1
⎟ ⎜d c ⎝ − 3 3⎟
⎠ ⎝
2 e ⎠ = √ 1
d c 2
15
⎜ d c 3
⎝− 3 2 e
⎟
(2.9)
⎠
v
− 3 2 v
− 3 2
Da diese Eigenwerte den Ladungen unter der U(1)-Untergruppe entsprechen, sind die Ladungen
der Quarks und Leptonen im Multiplet offensichtlich ganzahlige Vielfache voneinander, also quantisiert!
Das mag zunächst nicht verwunderlich sein, hatten wir doch schon mit (2.3) gezeigt, daß
die Multipletts ¯5 und 10 die richtigen Quantenzahlen tragen. Bemerkenswert ist, daß die Quantisierung
durch die Struktur des U(1)-Generators erzwungen wird! Die Struktur dieses Generators
ist wiederum eine direkte Folge davon, daß die U(1) eine Untergruppe der SU(5) ist. Darin liegt
die Erklärung der Ladungsquantisierung bei einfachen Gruppen.
Für das Multiplett F kann man die gleiche Betrachtung anstellen und erhält wiederum quantisierte
Ladungen. Schaut man sich die Eigenwerte in (2.9) an, so sieht man, daß diese noch nicht
die Hyperladungen sind. Die Quarks im Multiplett ¯f tragen die Hyperladung 1 3 , die Leptonen − 1 2 .
Die richtigen Ladungszuordnungen erhält man, wenn zwischen den Kopplungskonstanten g 5 der
SU(5) und g 1 der U(1) Y auf der Vereinheitlichungsskala der folgende Zusammenhang besteht:
⎞
⎟
⎠
1
1
− 3 2
− 3 2
⎞
⎟
⎠
(2.7)
(2.8)
g 1 =
√
3
5 g 5 (2.10)