Fakultät für Physik und Astronomie

Es ist ein gutes Modell, die Energiedichte des Universums aufzuteilen in Beiträge ρ m der (nichtrelativistischen)
Materie, ρ r der Strahlung und ρ v der Vakuumenergiedichte. Die Parameter Ω m ,
Ω r und Ω v definiert man entsprechend. Mit Gleichung (B.11) findet man:
ρ m ∝ R −3
ρ r ∝ R −4
ρ v const.
(B.12)
Die erste und dritte Beziehung sind naheliegend. Die zweite wird verständlich, wenn man bedenkt,
daß Strahlung zusätzlich der Rotverschiebung unterliegt. Zusammen mit der ersten Version der
Friedmann-Gleichung erhält man damit das folgende Verhalten des Parameters Ω in Abhängigkeit
vom (normierten) Skalenfaktor a:
Ω(a) = 1 +
Ω − 1
1 − Ω + Ω v a 2 + Ω m a −1 + Ω r a −2 (B.13)
Das Ω ohne Klammern bezeichnet den heutigen Wert, da der Skalenfaktor a so normiert ist, daß
gegenwärtig a = 1. Beobachtungen entnimmt man, daß Ω nahe 1 ist. Daraus folgt mit der letzten
Gleichung das sogenannte Flachheits-Problem, wie wir im Kapitel über Inflation erklären werden.
Für den Fall eines Universums mit k = 0, das nur eine Form der Materie mit konstantem ω ≠ −1
enthält, lässt sich die Friedmann-Gleichung (B.4) leicht lösen und man findet mit Hilfe von (B.11):
R ∝ t 2 3 /(1+ω)
(B.14)
Die Beschränkung auf k = 0 ist nicht nur eine mathematische Vereinfachung, da wie angesprochen
zur Zeit recht genau Ω = 1 gilt. Zumindest für frühere Zeiten braucht man aber auch die Fälle
k = −1 und k = 1, auf deren Lösung wir jedoch nicht eingehen. Dominiert im Universum die
Vakuumenergiedichte mit ω = −1, so lassen sich die Lösungen in allen drei Fällen leicht finden:
⎧
⎪⎨ sinh Ht für k = −1
R ∝
⎪⎩
cosh Ht für k = 1
e Ht für k = 0
(B.15)
√
8πρ v /3m 2 p für k ≠ 0 nicht der Hubble-Parameter ist, sich diesem aber
Man beachte, daß H =
exponentiell schnell annähert. Für k = 0 nennt man einen ausschließlich Vakuumenergiedichte
enthaltenden Raum de-Sitter-Raum. Die vorangehende Gleichung wird bei der Besprechung der
Inflation eine wichtige Rolle spielen. Interessanter als Universen, in denen eine Form der Materie
oder die Vakuumenergie die Energiedichte dominiert, sind sicherlich solche, in denen die Energiedichte
aus verschiedenen Bestandteilen besteht. Auch für diesen allgemeinen Fall lassen sich
Lösungen finden, auf die wir aber nicht weiter eingehen.
War die bisherige Diskussion allgemein gehalten, so sollten wir nun unser Universum genauer betrachten.
Wie bereits erwähnt wurde, beobachtet man eine Expansion beispielsweise der Galaxien
voneinander. Diese Hubble-Expansion deutet auf eine Phase in der Entwicklung des Universums
hin, in der die Materiedichte wesentlich größer und die Temperatur wesentlich höher war. Geht
man zu noch früheren Zeiten, so scheint das Universum aus einer Singularität unendlicher Dichte
und unendlicher Temperatur entstanden zu sein. Jedoch werden spätestens bei Energien der
Planck-Skala m p ≃ 10 19 GeV Effekte der Quantengravitation bedeutend, die möglicherweise unser
Konzept der Zeit ungültig werden lassen, in jedem Fall aber zu noch wenig verstandener Physik
führen. Man muss mit dieser Interpretation des Beginns des Universums deswegen vorsichtig sein.
Geht man von der Planck-Skala aus zu niedrigeren Energien, so treten eine Reihe von besser verstandenen
Effekten auf, die wir kurz beschreiben wollen.
Setzt man eine Große Vereinheitlichungstheorie voraus, so erwartet man bei etwa 10 16 − 10 15 GeV
einen Phasenübergang zum Standardmodell mit der Eichgruppe SU(3) C × SU(2) L × U(1) Y .
Diese wiederum bricht im elektroschwachen Phasenübergang bei etwa 300 GeV zu der Gruppe
SU(3) C × U(1) EM . Ein weiterer Phasenübergang ereignet sich bei etwa 0.2 GeV, nämlich