Fakultät für Physik und Astronomie

einer Kopplungskonstante. Es kommen dann nur einfache Gruppen sowie Produkte aus identischen
einfachen Gruppen in Frage. Im letzteren Fall bedarf es zusätzlich einer diskreten Symmetrie, die
die Faktoren im Produkt vertauscht und somit die Gleichheit der einzelnen Kopplungskonstanten
erzwingt. Diesen Einschränkungen genügen die folgenden Gruppen:
[SU(2)] 4 , [SO(5)] 2 , [SU(3)] 2 , [G 2 ] 2 , SO(8), SO(9), Sp(8), F 4 und SU(5)
Die ersten beiden scheiden sofort aus, da sie keine SU(3)-Untergruppe haben. Eine weitere Reduzierung
ergibt sich, wenn man nur Gruppen mit komplexen Darstellungen zulässt 5 . Diese Darstellungen
sind nicht äquivalent zu ihrem komplex konjugierten, im Gegensatz zu den reellen
Darstellungen. Transformieren die linkshändigen Teilchen in einer Darstellung, so transformieren
die rechtshändigen in der dazugehörigen komplex konjugierten. Sind beide äquivalent, so ist keine
Paritätsverletzung möglich. Da sich außerdem reelle Darstellungen nach reellen Darstellungen
des Standardmodells zerlegen, bedarf es komplexer Darstellungen auch auf der Ebene der Vereinheitlichungsgruppe.
Damit bleiben nur zwei Gruppen auf der Liste: [SU(3)] 2 und SU(5). Bei
der Gruppe [SU(3)] 2 stößt man auf Probleme bei der Einbettung des Standardmodells, die sich
nur lösen lassen, wenn man zusätzliche Felder einführt. Auch für die diskrete Symmetrie zwischen
den beiden SU(3)-Faktoren braucht man neue Felder. Aus diesen Gründen werden wir auch diese
Gruppe nicht weiter betrachten.
In diesem Sinne ist die SU(5) die minimale Große Vereinheitlichungstheorie. Sie ist neben der
Pati-Salam-Gruppe SU(4) C × SU(2) L × SU(2) R die erste Gruppe, die dafür vorgeschlagen wurde,
und zwar im Jahre 1974 von H. Georgi und S. L. Glashow [7]. Sie wird deswegen auch oft als
Georgi-Glashow-Gruppe bezeichnet.
Um zu sehen, daß sich mit dieser Gruppe eine sinnvolle Theorie konstruieren läßt, muß man
zuerst geeignete Darstellungen finden, in denen die Teilchen des Standardmodells untergebracht
werden können. Da Quarks und Leptonen sich in gemeinsamen Multipletts befinden, wird man
eine Generation unterzubringen versuchen. Dies sind:
(2 linksh. Quarks + 2 rechtsh. Quarks) × 3 Farben
+ 2 linksh. Leptonen + 1 rechtsh. Lepton = 15 Teilchen
Will man zusätzlich ein rechtshändiges Neutrino einführen, so hat man 16 Teilchen. Wie oben bereits
erwähnt wurde, befinden sich links- und rechtshändige Teilchen immer in zueinander komplex
konjugierten Darstellungen. Beschränken wir uns oBdA auf linkshändige Teilchen, so müssen wir
statt den rechtshändigen Quarks und Leptonen deren linkshändige Antiteilchen unterzubringen
versuchen. Die Darstellungen der SU(5) mit einer Dimension ≤ 16 werden nun durch folgende
Young-Diagramme gegeben 6 :
5 15 10 ¯ 10 ¯5
Insbesondere müssen die gewählten Darstellungen frei von Anomalien sein. Dies sind Loop-Effekte,
die die Eichsymmetrie verletzen und nicht auftreten dürfen. Es stellt sich heraus, daß sich bei den
Darstellungen ¯5 ⊕ 10 und 5 ⊕ ¯10 die Anomalien gerade wegkürzen. Schauen wir uns die erste
von beiden genauer an (sie sind lediglich komplex konjugiert zueinander) und zerlegen sie nach
Darstellungen der Standardmodellgruppe (dabei bezeichnet (a, b, c) die Produktdarstellung aus
5 Folgende einfache Gruppen haben komplexe Darstellungen: SU(N) für N > 2, E 6 und SO(4N + 2).
6 Mit Young-Diagrammen kann man auf anschauliche Weise die irreduziblen Tensor-Darstellungen der Gruppen
SU(N) finden. Jeder Box entspricht ein Index des Tensors, wobei die Indizes in nebeneinander stehenden Boxen
symmetrisiert werden, in untereinanderstehenden dagegen antisymmetrisiert. Die Dimension der Darstellung kann
man mit der Hakenregel finden.