Fakultät für Physik und Astronomie

Wir führen nun eine Wigner-Transformation dieser Gleichung durch, also eine Fourier-Transformation
bezüglich der Relativkoordinate r = u−v. Für spätere Zwecke sei außerdem die Schwerpunktskoordinate
x = 1 2
(u + v) definiert. Es gilt:
∫ ∫
d 4 r e ikr d 4 w [ i∂ / u δ(u − w) − (m R (u) + iγ 5 m I (u)) δ(u − w)] iS < (w, v) = 0 (5.10)
Für die Wigner-Transformation einer Konvolution zweier Funktionen A(u, w) und B(w, v) gilt
allgemein (siehe Appendix B in [40]):
∫ ∫
d 4 r e ikr d 4 w A(u, w) B(w, v) = e −i♦ {A(k, x)} {B(k, x)} (5.11)
Hierbei ist der Operator ♦ definiert durch ♦ {1}{2} ≡ 1 2 (∂(1) x ∂ (2)
k
− ∂ (1)
k
∂(2) x ) {1}{2}, und A(k, x)
und B(k, x) sind die Wigner-Transformierten der Funktionen A und B. Seien nun die Funktionen
A(u, w) ≡ [ i / ∂ u − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] δ(u − w) und B(w, v) ≡ i S < (w, v). Dann ist lediglich die
Wigner-Transformierte von A(u, v) zu berechnen. Wenn man bedenkt, daß u = x + r 2
, so folgt:
∫
A(k, x) = d 4 r e ikr [ i / ∂ u − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] δ(u − v) (5.12)
∫ ∫ d
= d 4 4 k ′
r
(2π) 4 eikr [ i / ∂ u − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] e ik′ r
(5.13)
∫ ∫ d
= d 4 4 k ′
r
(2π) 4 [−k′ / − m R (u) − i γ 5 m I (u) ] e ir(k+k′ )
(5.14)
= [ k/ − m R (x) − i γ 5 m I (x) ] (5.15)
Damit folgt aus der allgemeinen Formel (5.11) sowie aus (5.10):
Nun gilt, wenn man e −i♦ entwickelt:
e −i♦ {k/ − m R (x) − iγ 5 m I (x)} {iS < (k, x)} = 0 (5.16)
e −i♦ = 1 + (−i♦) + 1 2! (−i♦)2 + · · · (5.17)
= 1 + ( −i
= e − i 2 ∂(1) x
∂(2) k
2 )(∂(1) x ∂ (2)
k
− ∂ (1)
k
+ e i 2 ∂(1) k
∂(2)
∂(2) x ) + 1 2! (−i 2 )2 (∂ x (1) ∂ (2)
k
− ∂ (1)
k
∂(2) x ) 2 + · · · (5.18)
x
− 1 + gemischte Terme (5.19)
Man sieht leicht, daß die gemischten Terme nicht beitragen. Auch von der zweiten Exponentialfunktion
tragen nur Terme bis zur ersten Ordnung bei. Es folgt deswegen:
[ k/ − (m R (x) + iγ 5 m I (x)) e − i ←− −→
2 ∂ x∂k ] (iS < (k, x)) + i 2 ∂ / x(iS < (k, x)) = 0 (5.20)
Herleitung der kinetischen Gleichungen
Die Verallgemeinerung der im letzten Abschnitt hergeleiteten Darstellung für den Fall, daß mehrere
Felder vorhanden sind, ist naheliegend:
←−
[k/ + i 2 ∂ / x− (M H (x) + iγ 5 M A (x))e − i −→
2 ∂ x∂k ] ac
(iS cb < (k, x)) = 0 (5.21)
Die Indizes a, b und c laufen über alle beteiligten Felder und wieder ist M H = 1 2 (M + M † ) der
hermitesche Teil der Massenmatrix und iM A = 1 2 (M − M † ) der antihermitesche Teil. Analog
zum Preheating mit nur einem Feld (siehe Abschnitt 4.2) sind auch hier die Quelle der Raumzeitabhängigkeit
der Massenmatrix das Inflaton und das Higgs. Diese führen zumindest auf kleinen