Fakultät für Physik und Astronomie

〈ν c H 〉 = 〈νc¯H〉 = m G / √ 2 den folgenden Massenterm:
L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(u H1 − u ¯H1 ) 2
Den Term mit λ 10 kann man nun analog auswerten. Es gilt:
⎛
⎞ ⎛
⎞
−i 0 0 d c H3 −d c H2 d H1 u H1
0 0 0
−d c
λ 10
H3 0 d c H1 d H2 u H2
il H lj =
⎜
0 0
⎟ ⎜ d c H2 −d c H1 0 d H3 u H3
⎟
⎝ i 0 0 ⎠ ⎝−d 0
H1 −d H2 −d H3 0 νH
c ⎠
0 0 0 −u H1 −u H2 −u H3 −νH c 0
⎛
⎞
i d H1 i d H2 i d H3 0 −i νH
c 0 0 0 0 0
=
⎜ 0 0 0 0 0
⎝ 0 i d c H3 −i dc H2 i d ⎟
H1 i u H1
⎠
0 0 0 0 0
⇒ H ∗ ijλ 10
il H lj ⊃ i u H1 〈ν c H〉 − i u ∗ H1〈ν c H〉 = −2 I(u H1 )〈ν c H〉
Da die Matrix λ 10 antisymmetrisch ist, folgt daraus ¯H ij ∗ λ10T il
ergeben beide Terme folgenden Beitrag in der Lagrangedichte:
L ⊃ −g 2 5 m 2 G I(u H1 + u ¯H1 ) 2
¯H lj
(D.11)
(D.12)
⊃ 2 I(u ¯H1 )〈ν c¯H〉. Zusammen
(D.13)
Da die Paare λ 11 , λ 12 bis λ 19 , λ 20 dieselbe Struktur haben wie λ 9 und λ 10 , brauchen wir im
folgenden lediglich die Terme Hij ∗ λn il H lj mit n = 11, 13, 15, 17, 19 zu berechnen. Dann folgen die
Terme Hij ∗ λ(n+1) il
H lj , ¯H∗ ij λ nT
il
¯H lj und ¯H ij ∗ λ(n+1)T il
¯H lj in direkter Analogie zu der vorhergehenden
Rechnung. Die Ergebnisse lauten:
H ∗ ijλ 11
il H lj ⊃ −2 R(d H1 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(d H1 − d ¯H1 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(d H1 + d ¯H1 ) 2
H ∗ ijλ 13
il H lj ⊃ 2 R(u H2 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(u H2 − u ¯H2 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(u H2 + u ¯H2 ) 2
H ∗ ijλ 15
il H lj ⊃ −2 R(d H2 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(d H2 − d ¯H2 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(d H2 + d ¯H2 ) 2
H ∗ ijλ 17
il H lj ⊃ 2 R(u H3 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(u H3 − u ¯H3 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(u H3 + u ¯H3 ) 2
H ∗ ijλ 19
il H lj ⊃ −2 R(d H3 ) 〈ν c H〉
⇒ L ⊃ −g 2 5 m 2 G R(d H3 − d ¯H3 ) 2 − g 2 5 m 2 G I(d H3 + d ¯H3 ) 2
Betrachten wir nun die Generatoren λ 20+j mit j = 1, 2, 3, die die Pauli-Matrizen enthalten. Diese
lauten:
( ) ( ) ( )
0 1 0 −i 1 0
τ 1 = τ
1 0 2 =
τ
i 0 3 =
(D.14)
0 −1
Damit berechnen wir λ 21
il H lj und erhalten:
⎛
λ 21
il H lj =
⎞
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎜ 0 0 0 0 0
⎝−u H1 −u H2 −u H1 −νH c 0
⎟
⎠
−d H1 −d H2 −d H3 0 νH
c
(D.15)