Fakultät für Physik und Astronomie

Dies ist bekanntlich die Skalardichte des Feldes Ψ h (x). Mit (1 ⊗ ϱ 2 ) = iγ 5 γ 0 erhält man:
∫
d 3 k
(2π) 3 f 2h = i〈0| ¯Ψ ah (x) γ 5 ab Ψ bh (x)|0〉 (5.47)
Dies ist die Pseudo-Skalardichte von Ψ h (x). Mit (1 ⊗ ϱ 3 ) = −γ 5 erhält man außerdem:
∫
Dies schließlich ist die axiale Ladungsdichte von Ψ h (x).
d 3 k
(2π) 3 f 3h = 〈0| ¯Ψ ah (x) (γ 5 γ 0 ) ab Ψ bh (x)|0〉 (5.48)
5.3 Realisierung in der Flipped SU(5)
Massenmatrix
In Abschnitt 5.1 wurde gezeigt, wie die Dirac-Gleichung für mehrere Felder zu simultaner C-
und CP-Verletzung führen kann, wenn die beteiligte Massenmatrix nichtsymmetrisch und komplexwertig
ist. Bemerkenswerterweise lässt sich eine solche Massenmatrix in der Flipped SU(5)
mit Hybrid-Inflation leicht finden, die außerdem nach dem Inflationsübergang zeitunabhängig und
diagonal wird und die produzierten Ladungen damit einfriert. Zu ihrer Herleitung gehen wir vom
Superpotential (2.41) aus. Im folgenden wesentlich ist der Term, der zur Hybrid-Inflation führt,
sowie die beiden Beiträge, die das Doublet/Triplet-Splitting bewirken:
W ⊃ κS( ¯HH + m 2 G) + λ H HHh + λ ¯H ¯H ¯H¯h (5.49)
Wie in Abschnitt (2.3) erläutert wurde, führen die beiden letzten Terme insbesondere dazu, daß
die Ψ d c
Hi
mit den Ψ Di zu sehr schweren Dirac-Fermionen paaren (i ist ein Farbindex). Gleiches
gilt für die Ψ d c¯Hi
und Ψ ¯Di . Der betreffende Teil in der Lagrangedichte ist (siehe (2.35)):
L 1 = −8 λ H 〈ν c H〉 Ψ d c
Hi
Ψ Di − 8 λ ¯H 〈ν c¯H〉 Ψ d c¯Hi
Ψ ¯Di + h.c. (5.50)
Während der Inflation gibt es auch einen Massenbeitrag zwischen den Ψ d c
Hi
zu sehen, müssen wir den Hybrid-Inflations-Term auswerten. Zunächst gilt:
und Ψ d c¯Hi
. Um dies
¯HH = 2 d c¯Hi d c Hi + 2d ¯Hi d Hi + 2u ¯Hi u Hi + 2ν c¯Hi ν c Hi (5.51)
Hierbei gelte für den Farbindex i die Summenkonvention. Gemäß Gleichung (A.4) führt dann der
erste Term in Gleichung (5.49) zu folgendem Beitrag in der Lagrangedichte:
L 2 = −2 κ 〈S〉 Ψ d c¯Hi
Ψ d c
Hi
+ h.c. (5.52)
Mit den Abkürzungen m H = 8 λ H 〈ν c H 〉, m ¯H = λ ¯H 〈ν c¯H〉 sowie m S = 2 κ 〈S〉 lauten die beiden Beiträge
zusammen:
L 1 + L 2 = −m S Ψ d c¯Hi
Ψ d c
Hi
− m ∗ SΨ ∗ d c¯Hi Ψ ∗ d c Hi
− m H Ψ d c
Hi
Ψ Di − m ∗ H Ψ ∗ d c Hi Ψ∗ D i
− m ¯HΨ d c¯Hi
Ψ ¯Di − m ∗¯HΨ ∗ d c¯Hi Ψ ∗¯Di (5.53)
Da das Inflaton S nach der Inflation keinen Vakuumerwartungswert mehr hat, ist es sinnvoll eine
Basis zu benutzen, wie sie sich durch den Teil L 1 der Langrangedichte anbietet. Man definiert
deswegen die Dirac-Fermionen χ 1 und χ 2 durch:
( ) ( )
−Ψd −ΨDi
χ 1i ≡
c¯Hi
χ 2i ≡
(5.54)
Ψ ∗¯Di
Ψ ∗ d c Hi