Fakultät für Physik und Astronomie

Kapitel 2
Vereinheitlichung
2.1 Die Idee
Im Standardmodell bleiben unter anderem die Eichkopplungen α S der QCD und α EM der QED
sowie der Weinberg-Winkel θ w freie Parameter. Die Frage ist naheliegend, ob man sie auf einen
einzigen freien Wert zurückführen kann. Darüberhinaus gibt es a priori keinen Grund, warum
die elektrischen Ladungen der Quarks und Leptonen ganzzahlige Vielfache voneinander sind (die
Ladungsquantisierung) 1 . Eine Beantwortung dieser Fragen bietet möglicherweise die Große Vereinheitlichung.
Darunter versteht man die Einbettung der Standardmodellgruppe SU(3) C ×SU(2) L ×
U(1) Y in eine größere Gruppe. Handelt es sich um eine einfache Gruppe, so werden die Kopplungskonstanten
des Standardmodells auf der Vereinheitlichungsskala durch die eine Kopplungskonstante
dieser Gruppe bestimmt. Erst zu niedrigeren Energien hin laufen sie wegen des Renormierungsgruppenflußes
auseinander. Darüberhinaus besteht der gewünschte Zusammenhang zwischen den
Ladungen der Quarks und Leptonen, da die SU(2) L × U(1) Y und damit die U(1) der QED eine
Untergruppe der Vereinheitlichungsgruppe ist. Weitere Voraussagen beziehen sich auf die Massen
bestimmter Teilchen, da einige Yukawa-Kopplungen auf der Ebene der Großen Vereinheitlichung
denselben Ursprung haben. Alle diese Eigenschaften werden wir in Abschnitt 2.2 an Hand der
Gruppe SU(5) erläutern.
Andere Möglichkeiten sind die Einbettung in halbeinfache Gruppen (also Produkte von einfachen
Gruppen) und allgemeiner Gruppen der Art G×U(1), wobei G eine halbeinfache Gruppe bezeichne.
Da es in diesen Fällen im allgemeinen mehrere unabhängige Kopplungskonstanten gibt, sind
dies keine Großen Vereinheitlichungstheorien im eigentlichen Sinne mehr. Wir werden aber der
Einfachheit halber diesen Begriff oder die Abkürzung Gut (von Grand Unified Theory) auch für
diese Gruppen verwenden.
Halbeinfache Gruppen können ebenfalls die Ladungsquantisierung erklären. Die U(1) Y der Hyperladung
ist nämlich entweder die Untergruppe einer einzigen einfachen Gruppe im Produkt.
Dann ergibt sich die Quantisierung der Ladung wie bei einer einfachen Gut-Gruppe, auf die wir
noch eingehen werden. Oder die U(1) Y ist die Linearkombination mehrerer solcher Untergruppen.
In diesem Fall ergibt sich die Hyperladung als Summe verschiedener quantisierter Ladungen und
ist damit auch quantisiert. Im Allgemeinen verringert sich jedoch die Zahl der freien Kopplungskonstanten
nicht, da jede einfache Gruppe im Produkt eine eigene Kopplungskonstante besitzt.
Ein Beispiel, bei dem dies teilweise gelingt, ist die Gruppe SU(4) C × SU(2) L × SU(2) R . Hier
kann man die beiden SU(2)-Faktoren durch eine diskrete Symmetrie miteinander verbinden und
erzwingt damit die Gleichheit der Kopplungskonstanten. Diese Theorie macht dann insbesondere
eine Vorhersage des Verhältnisses von α S zu sin 2 θ w auf der Vereinheitlichungsskala. Wir werden
auf diese sogenannte Pati-Salam-Gruppe (nach J. C. Pati und A. Salam, die sie zuerst vorschlugen
[8]) nicht weiter eingehen. Der interessierte Leser sei aber zusätzlich auf [6] verwiesen, wo ein
supersymmetrisches Modell mit dieser Eichgruppe im Kontext der Hybrid-Inflation (siehe Kapitel
1 Ein Ansatz ist, daß die Kürzung von Anomalien die Quantisierung erzwingt, siehe beispielsweise [5]
9