Fakultät für Physik und Astronomie

Nun wird der gesamte Ausdruck mit (1 ⊗ ϱ ν ) multipliziert und anschließend die Spur gebildet.
Dabei treten auf der rechten Seite des Tensorproduktes die Ausdrücke ϱ ν ϱ µ und ϱ ν ϱ k ϱ µ auf. Mit
ϱ i ϱ j = δ ij + i ɛ ijk ϱ k folgt tr(ϱ i ϱ j ) = 2δ ij und da ϱ 0 ϱ µ = ϱ µ , gilt außerdem tr(ϱ 0 ϱ µ ) = 2δ 0µ . Insgesamt
ist also tr(ϱ ν ϱ µ ) = 2δ νµ . Die außerdem auftretende Spur lautet, zunächst für i, j = 1, 2, 3:
Des weiteren gilt:
tr(ϱ i ϱ k ϱ j ) = tr( ϱ i (δ kj + iɛ kjl ϱ l ) ) = 2 i ɛ kji (5.31)
tr(ϱ 0 ϱ k ϱ j ) = 2 δ kj (5.32)
tr(ϱ i ϱ k ϱ 0 ) = 2 δ ik (5.33)
tr(ϱ 0 ϱ k ϱ 0 ) = 0 (5.34)
Auf der linken Seite des Tensorproduktes treten die Ausdrücke tr(1 + hˆ⃗ k⃗σ) und tr(ˆ⃗k⃗σ + h(ˆ⃗k⃗σ) 2 )
auf. Da die Pauli-Matrizen spurfrei sind, ist sofort einsichtig, daß der erste Ausdruck gleich 2 ist.
Außerdem gilt:
tr(ˆ⃗ k⃗σ + h(ˆ⃗k⃗σ) 2 ) = h tr(ˆ⃗ k⃗σ) 2 = h ki k j
| ⃗ k| 2 tr(σi σ j ) = h ki k j
| ⃗ k| 2 tr(δij · 1 + i ɛ ijk σ k ) = 2 h (5.35)
Nun hat man alle Teile beisammen und erhält aus (5.30) nach der Multiplikation mit (1 ⊗ ϱ ν ) und
dem Bilden der Spur vier Gleichungen für ν = 0, 1, 2, 3. Man hat für
ν = 0 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 0h ) ab − i | ⃗ k| h (g < 3h ) ab
− i(M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
1h
) cb − i(M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
2h
) cb = 0 (5.36)
ν = 1 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 1h ) ab − | ⃗ k| h (g < 2h ) ab
− i(M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
0h
) cb + (M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
3h
) cb = 0 (5.37)
ν = 2 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 2h ) ab + | ⃗ k| h (g < 1h ) ab
− (M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
3h ) cb − i(M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
0h ) cb = 0 (5.38)
ν = 3 :
(ik 0 − 1 2 ∂ t) (g < 3h ) ab − i| ⃗ k| h (g < 0h ) ab
+ (M H ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
2h
) cb − (M A ) ac e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 (g
<
1h
) cb = 0 (5.39)
Im nächsten Schritt wird über k 0 integriert. Zunächst ist e − i ←− −→
2 ∂t∂k0 = cos( 1 −→
2←−
∂t∂k0 ) − i sin( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ).
Weiter gilt cos( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ) = 1 − 1 2! ( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ) 2 + · · · sowie sin( 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 ) = 1 ←− −→
2 ∂t∂k0 − 1 3! (←− −→
∂ t∂k0 ) 3 + · · · .
Da die g
µh < und deren Ableitungen sinnvollerweise für k 0 −→ ±∞ verschwinden, bleibt nach dem
partiellen Integrieren nur die 1 im cos-Term übrig. Setzt man noch f µh ≡ ∫ dk 0
2π g< µh
, so erhält man
den folgenden Satz von Gleichungen: