Fakultät für Physik und Astronomie

Aus diesem Teil des Superpotentials folgt nach (A.4) ein F-Term-Beitrag zum Skalarpotential.
Außerdem gibt es nach (A.5) auch einen D-Term-Beitrag, den wir in Anhang D.1 berechnen.
Zusammen gilt:
V ⊃ |2 κ ν c¯Hν c H + κ m 2 G| 2 + 4 κ 2 |S| 2 |ν c H| 2 + 4 κ 2 |S| 2 |ν c¯H| 2 + ( 6 5 g2 5 + 2 g 2 1) (|ν c¯H| 2 − |ν c H| 2 ) 2 (3.15)
g 5 und g 1 sind die Kopplungskonstanten der SU(5) bzw. der U(1) in der Flipped SU(5). Wiederum
erwarten wir auf der Planck-Skala Anfangsbedingungen mit S, ν c H , νc¯H ∼ m p . Mit ν c H = |νc H |eiθ
und ν c¯H = |ν c¯H|e i¯θ lautet das Potential:
V ⊃ 4 κ 2 |ν c¯H| 2 |ν c H| 2 + 4 κ 2 m 2 G |ν c H| |ν c¯H| cos(θ + ¯θ) + κ 2 m 4 G
+ 4 κ 2 |S| 2 |ν c H| 2 + 4 κ 2 |S| 2 |ν c¯H| 2 + ( 3
10 g2 5 + 2 g 2 1) (|ν c¯H| 2 − |ν c H| 2 ) 2 (3.16)
Das Potential erzwingt schnell θ + ¯θ = ±π. Dagegen ist das Potential unabhängig von der relativen
Phase θ − ¯θ. In einem homogenen Bereich können wir diese durch eine U(1)-Transformation zu
Null wählen. Vereinfachend wählen wir zusätzlich S = |S| reell. Durch S ∼ m p ist das Potential für
|νH c | und |νc¯H| sehr steil, weswegen diese rasch ein Minimum bei |νH c | = 0 und |νc¯H| = 0 einnehmen.
Das Potential wird nun durch die Vakuumenergiedichte κ 2 m 4 G bestimmt und führt zu einer Phase
der Inflation.
Allerdings ist es flach für S. Deswegen erscheint es, als ob S an seiner Ausgangsposition verharrt
und es keinen Mechanismus zur Beendigung der Inflation gibt. Tatsächlich erhält das Potential
aber durch Strahlungskorrekturen eine Neigung für S, das dann langsam hinabrollen kann. Dazu
beachte man, daß wegen V ≠ 0 Supersymmetrie während der Inflation gebrochen ist. Dies kann
man explizit an den Massen der Superpartner in den Higgs-Multipletts H und ¯H sehen. Seien
dazu A und Ā generische Bezeichnungen für die dc H und dc¯H, u H und u ¯H, d H und d ¯H sowie νH
c
und ν c¯H aus den Higgs-Multipletts. Das Superpotential (3.12) führt dann zu folgenden Beiträgen
in der Lagrangedichte für A ± = √ 1 2
(A ∗ ± Ā) und Ψ A sowie Ψ Ā :
L ⊃ −m 2 + |A + | 2 − m 2 − |A − | 2 − m Ψ Ā Ψ A − m Ψ ∗ Ā Ψ∗ A (3.17)
An den unterschiedlichen Massen m 2 ± = 4 κ 2 |S| 2 ± 2 κ 2 m 2 G und m = 2 κ S der Superpartner kann
man die Brechung der Supersymmetrie direkt ablesen. Die Superpartner in den Higgs H und ¯H
sind während der Inflation die einzigen mit einer Massendifferenz. Da nun die Voraussetzungen des
Nichtrenormierungstheorems nicht mehr gegeben sind, erhält das Potential Strahlungskorrekturen.
Die 1-Loop-Korrekturen werden durch die Coleman-Weinberg-Formel gegeben:
∆V = 1 ∑
64 π 2 (−1) Fi m 4 i ln m2 i
Λ 2 (3.18)
i
Die Summe läuft über alle Teilchen der Theorie, wobei (−1) F i
bedeutet, daß fermionische und
bosonische Superpartner mit entgegengesetztem Vorzeichen eingehen. Weiter bezeichnet m i die
Masse der Teilchen. Folglich ist die Summe nur für diejenigen Supermultipletts von Null verschieden,
bei denen ein Massensplit wie oben auftritt. Schließlich ist Λ eine Renormierungsskala. Man
kann zeigen, daß die Neigung des Potentials in S-Richtung von dieser Skala unabhängig ist [22].
Um die weitere Entwicklung für kleinere Werte von S zu verfolgen, schreiben wir das Potential
um. Mit N = √ 1 2
(|νH c | + |νc¯H|) und ¯N = √ 1
2
(|νH c | − |νc¯H|) erhält man:
V ⊃ κ 2 (N 4 + ¯N 4 − 2 N 2 ¯N 2 − 2 m 2 GN 2 + 2 m 2 G ¯N 2 + m 4 G)
+ 4 κ 2 |S| 2 (N 2 + ¯N 2 ) + D-Term-Beiträge (3.19)
Man sieht, daß das Feld ¯N ein großes positives Massenquadrat hat, das es auch in der weiteren
Entwicklung bei ¯N = 0 hält. Wiederum ändern die D-Term-Beiträge daran nichts, weswegen sie