Eine kurze Einführung in die Elektrodynamik

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$Richard Küng – - Quantum Correlations in Physics, Math, and ...$

(mit |⃗γ (t)| = r) zum Zeitpunkt t ∈ [0, 2π] bezeichnet. Somit erhalten wir mit der integralen Form von (10) über die Kreisscheibe A ¨ ˆ µ 0 I = µ 0 ⃗jd A ⃗ = ⃗Bd⃗s = = A ˆ 2π 0 0 ∂A ⃗B (⃗γ (t)) ˙⃗γ (t) dt ˆ2π ∣B ⃗ ˆ2π (r) ∣ rdt = B (r) r dt = B (r) 2πr, wo wir B (r) = ∣B ⃗ (r) ∣ eingeführt haben. Die dritte Zeile folgt mit B ⃗ ‖ ˙⃗γ (t) und ∣ ˙⃗γ (t) ∣ = r. Damit kennen wir aber die Stärke B (r) = µ 0I 2πr , des ⃗ B-Feldes und dank (12) kennen wir zyden seine Richtung: 0 ⃗B (x, y, z) = µ 0I 2πr 2 ˙⃗γ (t) = µ 0 I 2π (x 2 + y 2 ) ⎛ ⎝ −y x 0 ⎞ ⎠ , wobei wir x = r cos (t) und y = r sin (t) (Polarkoordinaten) verwendet haben. 2.1.2 Magnetfeld einer kreisrunden Leiterschleife Hier wollen wir das Magnetfeld einer kreisrunden Leiterschleife mit Radius R im Kreismittelpunkt – und nur dort – bestimmen. Dabei nehmen wir an, dass der Strom gegen den Uhrzeigersinn fließe. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir unser Koordinatensystem so, dass dieser Kreis in der xy-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung liegt. Somit können wir den Draht durch folgende Kreiskurve ⎛ ⃗γ (t) = R ⎝ cos (t) sin (t) 0 mit t ∈ [0, 2π] parametrisieren. Für den Strom gilt dementsprechend ⃗j = I ˙⃗γ (t). Da wir zudem lediglich am Magnetfeld im Ursprung (⃗r = 0) interessiert sind, ist es vorteilhaft das Biot-Savart-Gesetz zu verwenden. Für unsere Geometrie ⎞ ⎠ 12
gilt ⃗r = 0, sowie ⃗r ′ = ⃗γ (t) und somit |⃗r − ⃗r ′ | = |⃗γ (t)| = R. Diese Werte können wir in Gleichung (11) einsetzen und erhalten ⃗B (⃗r) = µ ˚ 0 ⃗j (⃗r ′ ⃗r − ⃗r′ ) × 4π |⃗r − ⃗r ′ | dx′ dy ′ dz ′ = µ 0I 4π R 3 = µ 0I 4πR = µ 0I 4πR = µ 0I 4πR ˆ2π −⃗γ (t) ˙⃗γ (t) × R dt 0 ⎛ ⎞ ˆ2π − sin (t) ⎛ ⎝ cos (t) ⎠ × ⎝ 0 0 ⎛ ˆ2π 0 ⎞ ⎝ 0 ⎠ dt 0 sin 2 (t) + cos 2 (t) ⎛ ⎞ 0 ˆ2π ⎝ 0 ⎠ dt 1 0 − cos (t) − sin (t) 0 ⎞ ⎠ dt = µ 0I 2R ⃗e z. Hier haben wir verwendet, dass es nur entlang des Kreises mit Radius R eine nichtverschwindende Stromdiche gibt. Mit unserer Parametrisierung können wir das Volumenintegral ˝ dx ′ dy ′ dz ′ durch das viel simplere Integral ´ 2π dt R 3 0 ersetzen. Das Magnetfeld einer einfachen Kreisschleife ist praktisch von großer Bedeutung – sie ist das Paradebeispiel eines magnetischen Dipols. 2.2 Das magnetische Vektorpotential Die beiden Gleichungen (9) und (10) erlauben uns prinzipiell Magnetfelder beliebiger statischer Ströme zu berechnen. Dabei kommt Gleichung (9) wieder die Bedeutung einer Randbedingung zu. Ähnlich wie beim elektrischen Potential, können wir sie aber auch durch einen cleveren Ansatz absorbieren. Ausgangspunkt für einen derartigen mathematischen Trick ist die Formel ( div rotA ⃗ ) (x, y, z) = 0 ∀ (x, y, z) ∈ R 3 welche für beliebige Vektorfelder ⃗ A gilt. Somit ist es sinnvoll das Vektorpotential ⃗A des Magnetfeldes ⃗ B über ⃗B = rot ⃗ A (13) zu definieren. Ein derartiges Magnetfeld erfüllt Gleichung (9) per Konstruktion und für (10) erhalten wir µ 0 ⃗j = rotB ⃗ ( = rot rotA ⃗ ) = ⃗ ∇div ⃗ A − ∆ ⃗ A, 13
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