Aufgabenblatt - Prof. Georg Hoever

(Name) (Vorname) (Matrikelnummer)
Fachbereich Elektrotechnik
und Informationstechnik
Prof. Georg Hoever
12.03.2013
Klausur zum Fach
Höhere Mathematik 2 für Elektrotechnik
Teil 1
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Hilfsmittel: das Skript inklusive handschriftlicher Eintragungen, ein einfacher Taschenrechner
Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter.
Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht
findet voraussichtlich am 20.03., statt, ggf. nötige mündliche Ergänzungsprüfungen finden
zeitnah statt.
Mit Ihrer Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie die obigen Klausurbedingungen gelesen
haben, und dass alle 8 Aufgaben in gut leserlichem Druck vorliegen.
Viel Erfolg!
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(Unterschrift)
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ 1 Σ 2 Σ
Max 3 6 5 4 6 4 6 6 40 40 80
Note:

Aufgabe 1 (3 Punkte)
Die in den Bildern dargestellten Funktionen haben jeweils die Funktionsvorschrift
f(x,y) = a·x b ·y c
mit a = ±1 und b,c gleich 1 oder 2.
Geben Sie die konkreten Funktionsvorschriften zu den Bildern an.
a)
f(x,y) =
2
−2
−1
0
x
1
2 −2
0
y
b)
f(x,y) =
2
0
y
−2 −1 0 1 2
x
−2
c)
f(x,y) =
−2
−1
0
x
1
2 −2
−1
0
y
1
2

Aufgabe 2 (6 Punkte)
Betrachtet wird die Funktion
f : R 2 + → R, f(x,y) = 6·ln(x+y 2 ).
a) Geben Sie die Tangentialebene t zu f im Punkt (2,1) in der Form
an.
z = t(x,y) = ax+by +c
b) Führen Sie zwei Schritte des Gradientenverfahrens zur Maximierung von f ausgehend
vom Punkt (x 0 ,y 0 ) = (2,1) mit Schrittweite 1 2 aus.

Aufgabe 3 (5 Punkte)
Berechnen Sie zu D = [0, 1 ]×[0,π] das Integral
2
∫
(x+y)·cos(x·y)d(x,y).
D
Tipp: Spalten Sie das Integral entsprechend der Summe auf und verwenden Sie unterschiedliche
Integrationsreihenfolgen!

Aufgabe 4 (4 Punkte)
Gegeben ist das wirbelfreie Vektorfeld
⎛ ⎞
x 2
⃗F : R 3 → R 3 , F(x,y,z) ⃗ = ⎝ z ⎠.
y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Berechnen Sie das Wegintegral ∫ 0 3
F ⃗ d⃗r, wobei ⃗r ein Weg von ⎝0⎠ zu ⎝4⎠ ist.
0 5
(Falls Sie zur Berechnung einen konkreten Weg nutzen wollen, wählen Sie sich einen beliebigen
Weg.)

Aufgabe 5 (6 Punkte)
Transformieren Sie das Anfangswertproblem
y ′′ −y ′ ·y ·x = x 2 , y(1) = 2, y ′ (1) = 3
in ein Differenzialgleichungssystem erster Ordnung und bestimmen Sie einen Näherungswert
für y(1.2) mit Hilfe des Euler-Verfahrens zur Schrittweite h = 0.1.

Aufgabe 6 (4 Punkte)
Die Fourier-Transformierte zur Funktion
f(t) = e −t2 ist F(ω) = √ π e −ω2 4 .
(Das brauchen Sie nicht zu zeigen.)
LeitenSiedarausab,wiedieFourier-TransformiertenzudenfolgendenFunktionenlauten,
und vereinfachen Sie die Darstellungen:
a) f 1 (t) = 3· e −t2 ,
b) f 2 (t) = e −(t+3)2 ,
c) f 3 (t) = e −3·t2 ,
d) f 4 (t) = t· e −t2 .

Aufgabe 7 (3+3 = 6 Punkte)
a) Betrachtet wird das Anfangswertproblem
y ′′ +3y ′ −4y = 2sin(3t), y(0) = 2, y ′ (0) = −1.
Transformieren Sie das Anfangswertproblem in den Laplace-Bereich und bestimmen
Sie dort die entsprechende Lösung Y(s). (Sie brauchen Y(s) nicht zu vereinfachen
und nicht wieder zurück zu transformieren!)
b) Wie lautet die Laplace-Rücktransformationen f(t) zu
F(s) =
2s+1
s 2 +4s+5 ?

Aufgabe 8 (2+2+2 = 6 Punkte)
a) Ihnen wird folgendes Spiel vorgeschlagen:
Sie würfeln maximal drei Mal mit einem normalen fairen Würfel. Haben Sie beim
k-ten Mal die erste 6, so erhalten Sie k Euro. Haben Sie nach 3 Würfen immer noch
keine 6, bekommen Sie nichts.
Was ist ein fairer Einsatz für dieses Spiel?
b1) Betrachtet werden zwei faire Würfel, deren Seiten nicht mit 1 bis 6 sondern wie folgt
beschriftet sind:
Würfel 1: 0 2 2 4 4 6
Würfel 2: 1 3 3 5 5 5
Begründen Sie, warum es besser ist, Würfel 2 zu nehmen, wenn gegeneinander
gewürfelt wird und die höhere Zahl gewinnt.
b2) Man kann leicht nachrechnen, dass in der Situation von b1) der Würfel 1 einen kleineren
Erwartungswert hat als Würfel 2. Gibt es auch eine Beschriftung der Würfel,
so dass zwar weiterhin Würfel 2 besser ist als Würfel 1, aber der Erwartungswert
von Würfel 1 größer als der von Würfel 2 ist?
Fallsja,gebenSieeinesolcheBeschriftungan,fallsnein,begründenSieIhreAussage.