Aufgabenblatt - Prof. Georg Hoever

Fachbereich Elektrotechnik
und Informationstechnik
Prof. Georg Hoever
10. Übungsblatt zur Vorlesung
Höhere Mathematik 1
WS 2013/14
07.11.2013
Aufgabe 1
Die Aufgaben entstammen meinem Arbeitsbuch höhere Mathematik, Springer-Verlag
Sei a k = k 2k. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner einige Folgenglieder von
∑
(a k ) k∈N sowie die ersten Partialsummen s n der Reihe ∞ a k .
Aufgabe 2
Sei a k =
k
. (Zur Erinnerung: k! := 1·2·...·k.)
(k +1)!
a) Berechnen Sie mit einem Taschenrechner einige Folgenglieder von (a k ) k∈N
∑
sowie die ersten Partialsummen s n der Reihe ∞ a k .
b) Zeigen Sie: a k = 1 k! − 1
(k +1)! .
k=1
k=1
∑
c) Nutzen Sie die Darstellung aus b) zur Berechnung von ∞ a k .
Aufgabe 3
Gegeben ist die Reihe 1− 1 3 + 1 9 − 1
27 +−....
∑
a) Wie lauten die a k bei einer Darstellung der Summe als ∞ a k
b) Berechnen Sie den Reihenwert.
Aufgabe 4
HerrMayerschließteinenRatensparvertragab:ErzahltzuBeginnjedenJahres
1000e ein. Das Guthaben wird (mit Zinseszins) zu 4% verzinst.
Welches Guthaben hat Herr Mayer nach 30 Jahren
Aufgabe 5
Berechnen Sie
∞∑
( ) k 1
a) , b)
3
k=0
∞∑ ∞
1
4 n, c) ∑
0.8 k , d)
n=0
(Zu c) und d) vgl. Aufgabe 6)
k=1
k=1
k=0
∞∑
( ) m 1
.
2
m=2
Aufgabe 6
∞∑
Zeigen Sie, dass für |q| < 1 gilt: q k = qk 0
1−q .
k=k 0

Aufgabe 7
∑
a) Visualisieren Sie die Partialsummen der Reihe ∞ a k mit den komplexen
Summanden a k = ( 1
2 j) k
in der Gaußschen Zahlenebene und berechnen Sie
den Reihenwert.
∞∑
∞∑
b) Was ergibt ( 1 2 + 1 2 j)n und (0.8+0.7j) l
n=0
l=0
k=0
Aufgabe 8 (beispielhafte Klausuraufgabe, 5 Punkte)
Miniland macht Schulden, dieses Jahr 1000e. Von Jahr zu Jahr soll die Neuverschuldung
auf 2 3
des Vorjahres reduziert werden.
Wieviel Gesamtschulden macht Miniland
Aufgabe 9
Achilles und die Schildkröte veranstalten ein Wettrennen. Achilles lässt der
Schildkröte einen Vorsprung von ∆s 0 = 10m. Er spurtet mit einer Geschwindigkeit
von 10 m /s, während die Schildkröte 1 m /s schafft.
Sei∆t 0 dieZeit,dieAchillesbraucht,umdengegebenenVorsprung∆s 0 zurückzulegen,
∆s 1 die Strecke, die sich die Schildkröte in der Zeit ∆t 0 als neuen
Vorsprung erarbeitet. Allgemein sei
∆t n die Zeit, die Achilles für die Strecke ∆s n braucht,
∆s n+1 die Strecke, die die Schildkröte in der Zeit ∆t n zurücklegt.
a) Überlegen Sie sich, dass gilt: ∆t n = 1
10
s. n
∑
b) Was ergibt die Reihe ∞ ∆t n
n=0
Wie lässt sich damit das Paradoxon, dass die Schildkröte bei der Betrachtung
immer einen Vorsprung vor Achilles hat, auflösen
Aufgabe 10
Welche der folgenden Reihen konvergieren in R
a)
e)
i)
∞∑
k=1
1
k 3,
b) ∞
∑
k=1
k +2
k 2 +4k −1 ,
∞∑ k
2 k, f) ∑ ∞
k 2 ·0.8 k , g)
k=1 k=1
∞∑ 1
∞∑
√ , j)
(1− 1 )
k k 2 , k)
k=1
k=1
c) ∞
∑
k=1
∞∑
k=1
∞∑
k=1
k 2 +2
k 4 +3k ,
1.2 k
k 4 ,
d) ∞
∑
k=1
h)
∞
∑
k=1
2 k ∞
−k
3 k +1 , l) ∑
k=1
k −3
k +5 ,
k 3
0.5 k,
2 k +1
k ·2 k .