Aufgabenblatt - Prof. Georg Hoever

Fachbereich Elektrotechnik
und Informationstechnik
Prof. Georg Hoever
WS 2013/14
28.11.2013
16. Übungsblatt zur Vorlesung
Höhere Mathematik 1
Aufgabe 1
Die Aufgaben entstammen meinem Arbeitsbuch höhere Mathematik, Springer-Verlag
Was ergibt die Anwendung des Newton-Verfahrens auf die Funktion
f(x) = x
x 2 +3
mit den Startwerten
a) x 0 = 0.5, b) x 0 = 1, c) x 0 = 1.5?
(Nutzen Sie einen Taschenrechner.) Skizzieren Sie die Situationen!
Aufgabe 2
Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion
f(x) = x 3 −3x+1,
skizzieren Sie mit diesen Informationen den Funktionsgraf, und bestimmen Sie
(mit Hilfe eines Taschenrechners) Näherungen für sämtliche Nullstellen mittels
des Newton-Verfahrens.
Aufgabe 3 (Fortsetzung von Blatt 12, Aufgabe 6)
Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens ein a, das
25 = 2a·sinh 10 a
erfüllt. Führen Sie dabei soviel Schritte durch, bis der Abstand zweier aufeinander
folgender Iterationslösungen kleiner als 0.001 ist.
Vergleichen Sie die Anzahl der Schritte mit der beim Bisektionsverfahren (s.
Blatt 12, Aufgabe 6).
Aufgabe 4
a) Zeigen Sie, dass man nur Multiplikationen und Additionen benötigt, wenn
man numerisch x = 1 a als Nullstelle der Funktion f(x) = 1 x
−a gemäß des
Newton-Verfahrens berechnet.
b) Zeigen Sie, dass die Rekursionsvorschrift x n+1 = x n
2
+ c
2x n
(vgl. Blatt 9,
Aufgabe 5, b)) der Newton-Iteration zur Bestimmung von √ c als Nullstelle
von f(x) = x 2 −c entspricht.

Aufgabe 5 (ehemalige Klausuraufgabe, 2+2 = 4 Punkte)
a) Skizzieren Sie näherungsweise die Lage von x 1 und x 2 bei Durchführung
des Newton-Verfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle der abgebildeten
Funktion f(x) ausgehend von x 0 .
f(x)
x
x 0
b) Führen Sie einen Schritt des Netwon-Verfahrens zur Bestimmung einer
Nullstelle von
f(x) = x 3 −4x+2
ausgehend von x 0 = 1 durch.
Aufgabe 6
a) Bestimmen Sie das 3-te Taylorpolynom in 0 von f(x) = e x sinx.
b) Bestimmen Sie das 13-te Taylorpolynom in 1 zu f(x) = x 3 −2x.
c) Bestimmen Sie das 3-te Taylorpolynom in 0 von f(x) = arcsinx.
(Hinweis: (arcsinx) ′ = 1 √
1−x
2 )
Aufgabe 7
Bei einem See der Länge l (gemessen als direkte Linie) erhält man für die Differenz
∆l eines schwimmenden Seils und der direkten Linie (s. Blatt 5, Aufgabe
4):
∆l = 2R·arcsin l
2R −l.
Berechnen Sie eine Näherung für ∆l, indem Sie das dritte Taylorpolynom zu
arcsinx in x = 0 (s. Aufgabe 6, c)) zu Hilfe nehmen.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Näherung von Blatt 11, Aufgabe 7.

Aufgabe 8
a) Mit Zinseszins wächst ein Guthaben G bei jährlicher Vezinsung zu einem
Zinssatz p nach n Jahren auf G n = (1+p) n ·G.
Was erhält man als lineare Taylor-Näherung dieser Formel aufgefasst als
Funktion bzgl. p an der Entwicklungsstelle p = 0?
b) Bei kontinuierlicher Verzinsung zu einem Zinssatz p wächst ein Guthaben
G innerhalb eines Jahres auf G 1 = G· e p (s. Blatt 11, Aufgabe 3).
1) Was erhält man als lineare Taylor-Näherung dieser Formel aufgefasst
als Funktion bzgl. p an der Entwicklungsstelle p = 0?
2) Sei konkret p = 3% = 0.03 und G = 1000e.
Ab welcher Ordnung liefert die Taylor-Entwicklung auf den Cent genau
den exakten Betrag? (Nutzen Sie einen Taschenrechner.)
Aufgabe 9
∑
Die Funktion f sei definiert durch die Potenzreihe f(x) = ∞ a k x k .
Überzeugen Sie sich, dass das n-te Taylorpolynom in x = 0 zu f gleich der
nach x n abgeschnittenen Potenzreihe ist.
Aufgabe 10
k=0
a) Bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom von f(x) = 1 x
n ∈ N.
b) Welche Reihe ergibt sich bei a) für n → ∞?
in 1 für beliebiges
Aufgabe 11
a) Überlegen Sie sich, dass die hinreichende Bedingung für eine Minimalstelle
x s nach Satz 5.3.7, 1., also f ′ (x s ) = 0 und f ′′ (x s ) > 0, bedeutet, dass das
zweite Taylorpolynom von f in x s dort eine Minimalstelle hat.
b) Es soll ein Verfahren zur iterativen Bestimmung einer Extremstelle einer
Funktion f entwickelt werden. Dazu wird zu einer Näherungsstelle x n das
zweite Taylorpolynom (eine Parabel) zu f bestimmt und dessen Extremstelle
als nächste Näherung x n+1 bestimmt.
b1) Veranschaulichen Sie sich das Verfahren an der Funktion f(x) = x 3 −
6x 2 +8x beginnend mit x 0 = 0.
b2) Stellen Sie eine Formel auf, wie sich x n+1 aus x n berechnen lässt.
Fällt Ihnen etwas auf?