Aufgabenblatt - Prof. Georg Hoever

(Name) (Vorname) (Matrikelnummer)
Fachbereich Elektrotechnik
und Informationstechnik
Prof. Georg Hoever
21.09.09
Klausur zum Fach Mathematik 1
Teil 1
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keinTaschenrechner
Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter.
Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet.
Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 05.10.09 statt.
Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen
habe, und dass alle 8 Aufgaben (Aufgabe 1 - Aufgabe 8) in gut leserlichem Druck vorliegen.
Viel Erfolg!
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(Unterschrift)
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ 1 Σ 2 B. Σ
Max 4 5 5 6 5 6 4 5 40 40 4 80+4
Note:

Aufgabe 1 (4 × 1 = 4 Punkte)
Skizzieren Sie die folgenden Funktionen jeweils in dem darüber stehenden Koordinatensystem:
a)
f
b)
f
1
1
x
1
1
x
f(x) = − 1 2 x + 1
f(x) = e −x − 2
c)
f
d)
f
1
1
x
1
1
x
f(x) = 2 · sin( 1 2 x)
f(x) = tan(−x)

Aufgabe 2 (5 Punkte)
Eine 300m lange Hängebrücke besitzt ein parabelförmiges Hauptseil, das an den 85m
hohen Pfeilern (von der Straße aus gemessen) aufgehängt ist und am tiefsten Punkt 10m
über der Fahrbahn verläuft. Dazwischen sind in gleichen Abständen vier Tragseile für die
Fahrbahn montiert (s. Skizze).
Wie lang sind diese vier Tragseile?
85m
10m
300m

Aufgabe 3 (5 Punkte)
Welche gebrochen rationale Funktion f hat den unten dargestellten Funktionsgraphen?
(Hinweis: Die Pole sind einfach und bei (0; 1) ist ein Minimum.)
3
f(x)
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1 2 3 4 5 6
x
−1
−2

Aufgabe 4 (4 + 2 = 6 Punkte)
a) Markieren Sie die richtige alternative Darstellung (gerundet) der folgenden komplexen
Zahlen. (Sie brauchen Ihre Angabe nicht zu begründen)
3 · e 2 3 πj =
2.598 + 1.5j
−2.598 + 1.5j
2.598 − 1.5j
1.5 + 2.598j
−1.5 + 2.598j
1.5 − 2.598j
√
2 · e
− π 4 j =
1 + j
1 − j
1.4142 + 1.4142j
1.4142 − 1.4142j
2 + 2j
2 − 2j
−1 + 2j =
−2 + 2j =
1.105 · e −1.182j
2.828 · e 3 2 πj
2.236 · e −1.182j
2.828 · e 2.356j
4.031 · e 1.182j
2.828 · e 1.5j
1.105 · e 1.182j
4 · e 3 2 πj
2.236 · e 2.034j
4 · e 2.356j
4.031 · e 2.034j 4 · e 1.5j
b) Markieren Sie in der Skizze die ungefähre Lage eines a ∈ C mit a 3 = z und von
b ∈ C mit b = z 3 zu dem eingezeichneten Punkt z.
z •
j
1

Aufgabe 5 (5 Punkte)
Zur Zeit zahlt ein Betrieb einen Monatslohn von 2500e. Nun stehen zwei Tarifverträge
zur Auswahl:
Modell 1: Jedes Jahr gibt es 100e pro Monat mehr als im Vorjahr.
Modell 2: Jedes Jahr gibt es 3% mehr als im Vorjahr.
a) Geben Sie (ggf. nur formelmäßig) an, nach wieviel Jahren nach einem Tarifabschluss
bei den beiden Modellen jeweils das Monatseinkommen über 3000e liegt.
b) Welches Tarifmodell ist für den Arbeitnehmer auf lange Sicht gesehen besser?
(Begründen Sie Ihre Aussage!)

Aufgabe 6 (3 + 3 = 6 Punkte)
Sei
f(x) = x 3 + 3x − 2.
Gesucht ist eine Lösung x zu f(x) = 3.
a) Führen Sie zwei Schritte des Bisektionsverfahrens zur Lösung des Problems ausgehend
von 0 und 2 durch und geben Sie ein Intervall der Länge 0.5 an, in dem eine
Lösung liegt.
b) Wieviel Schritte muss man mit dem Bisektionsverfahren ausgehend von diesem Intervall
ungefähr machen, um ein Intervall der Länge 10 −9 anzugeben, in dem eine
Nullstelle liegt?
Geben Sie die Anzahl formelmäßig und näherungsweise (mit Hilfe der Näherung
2 10 ≈ 1000) an.

Aufgabe 7 (1 + 3 = 4 Punkte)
a) Sei p(x) = x 3 + 3x − 2 und g(x) = p(e x ). Bestimmen Sie die Ableitung von g.
b) Zeigen Sie: Ist p ein Polynom und g(x) = p(e x ), so gibt es ein Polynom q mit
g ′ (x) = q(e x ).
Wie lässt sich q in Abhängigkeit von p darstellen?

Aufgabe 8 (2.5 + 2.5 = 5 Punkte)
Sei f(x) = cos 2 x.
a) Bestimmen Sie das zweite Taylorpolynom T 2 (x) zu f in x 0 = 0.
b) Geben Sie mit Hilfe des Taylor-Restglieds eine Abschätzung, wie weit T 2 von f für
x ∈ [− π, π ] maximal entfernt ist.
2 2

(Name) (Vorname) (Matrikelnummer)
Fachbereich Elektrotechnik
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Prof. Georg Hoever
21.09.09
Klausur zum Fach Mathematik 1
Teil 2
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keinTaschenrechner
Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter.
Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet.
Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 05.10.09 statt.
Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen
habe, und dass alle 8 Aufgaben (Aufgabe 9 - Aufgabe 16) in gut leserlichem Druck vorliegen.
Viel Erfolg!
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(Unterschrift)
Aufgabe 9 10 11 12 13 14 15 16 Σ 2
Max 5 4 6 6 5 5 5 4 40
Ist

•
•
Aufgabe 9 (5 Punkte)
Berechnen Sie mit Hilfe der Differenzialrechnung, welcher Punkt auf
der Geraden f(x) = 3x − 1 am nächsten am Punkt (1, 0) liegt.
1
f(x)
1
x
−1

Aufgabe 10 (4 Punkte)
Berechnen Sie
lim
n→∞
n∑
k=1
k 2
n 3,
indem Sie den Ausdruck als Riemannsche Zwischensumme (mit äquidistanter Zerlegung)
zu einer geeigneten Funktion auffassen.
Tipp:
k 2
n 3 = 1 n · ( k
n
) 2
.

Aufgabe 11 (3 × 2 = 6 Punkte)
Geben Sie eine Stammfunktion an zu
∫
a) sin 3 x · cos x dx,
∫
b) x · √1
− x 2 dx,
∫
c) x · e 3x dx.

Aufgabe 12 (1 + 1 + 1 + 1.5 + 1.5 = 6 Punkte)
Betrachtet wird der Vektorraum der Polynome. Kann man die nachfolgend aufgeführten
Polynome p jeweils als Linearkombination (LK) der angegebenen v i darstellen? Falls ja,
geben Sie eine entsprechende Darstellung an!
a) p(x) = x − 1 als LK von v 1 (x) = x + 1, v 2 (x) = 2x,
b) p(x) = 2x + 1 als LK von v 1 (x) = x + 1, v 2 (x) = 2x, v 3 (x) = −x + 2,
c) p(x) = x 2 + 2x + 1 als LK von v 1 (x) = x + 1, v 2 (x) = 2x, v 3 (x) = −x + 2,
d) p(x) = −x + 3 als LK von v 1 (x) = x 2 + 1, v 2 (x) = x + 1, v 3 (x) = x,
e) p(x) = x 2 + 2x − 1 als LK von v 1 (x) = x 2 + 1, v 2 (x) = x + 1, v 3 (x) = x.

Aufgabe 13 (1.5 + 3.5 = 5 Punkte)
Betrachtet wird das Viereck, das in der Ebene durch die vier Eckpunkte
P 1 = (−1, −2), P 2 = (3, 0), P 3 = (2, 3) und P 4 = (−2, 1)
festgelegt wird.
a) Begründen Sie, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
b) Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms?

Aufgabe 14 (3.5 + 1.5 = 5 Punkte)
⎛ ⎞
⎛ ⎞
3
1
Ein Flugzeug befindet sich an der Stelle ⎝ 4⎠ und hat die Geschwindigkeit ⎝ −2⎠.
1
3
⎛ ⎞
⎛ ⎞
−3
3
Ein zweites Flugzeug befindet sich an der Stelle ⎝ 6 ⎠ mit Geschwindigkeit ⎝ −2 ⎠.
3
1
a) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden, die durch die Flugbahnen beschrieben
werden, wenn die Flugzeuge Ihre Geschwindigkeit/Richtung nicht ändern.
b) Stoßen die Flugzeuge zusammen, wenn die Flugzeuge Ihre Geschwindigkeit/Richtung
nicht ändern? (Begründen Sie Ihre Aussage!)

Aufgabe 15 (maximal 5, minimal 0 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen gelten für alle Matrizen A,B ∈ R 3×3 und C = A · B?
Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche −0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte.
Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.
gilt
gilt
nicht
Sind A und B Diagonalmatrizen,
so ist auch C eine Diagonalmatrix
Sind A und B symmetrisch,
so ist auch C symmetrisch.
Sind A und B invertierbar,
so ist auch C invertierbar.
Sind A und B nicht die Nullmatrix,
so ist auch C nicht die Nullmatrix.
Sind alle Elemente der zweiten Spalte von A gleich Null,
so sind auch alle Elemente der zweiten Spalte von C gleich Null.
Sind alle Elemente der zweiten Spalte von A gleich Null,
so sind auch alle Elemente der zweiten Zeile von C gleich Null.
Sind alle Elemente der zweiten Zeile von A gleich Null,
so sind auch alle Elemente der zweiten Zeile von C gleich Null.
Sind alle Elemente der zweiten Zeile von A gleich Null,
so sind auch alle Elemente der zweiten Spalte von C gleich Null.
Ist det A = 1 und detB = 1,
so ist auch detC = 1.
Ist detC = 1,
so ist auch detA = 1 und detB = 1.

Aufgabe 16 (4 Punkte)
Geben Sie sämtliche Lösungen an zum Gleichungssystem
x 1 + 2x 2 + 3x 3 = −2
2x 1 + x 2 + 3x 4 = 2
−x 1 + x 3 − x 4 = 1