Aufgabenblatt - Prof. Georg Hoever

(Name) (Vorname) (Matrikelnummer)
Fachbereich Elektrotechnik
und Informationstechnik
Prof. Georg Hoever
09.07.2012
Klausur zum Fach
Höhere Mathematik 2 für Elektrotechnik
Teil 1
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Hilfsmittel: das Skript inklusive handschriftlicher Eintragungen, ein einfacher Taschenrechner
Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter.
Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet.
Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 12.07., 16:00 Uhr, statt, ggf. nötige mündliche
Ergänzungsprüfungen finden voraussichtlich am 24.07.12 statt.
Mit Ihrer Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie die obigen Klausurbedingungen gelesen
haben, und dass alle 8 Aufgaben in gut leserlichem Druck vorliegen.
Viel Erfolg!
—————————————
(Unterschrift)
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ 1 Σ 2 Σ
Max 6 6 5 6 3 4 5 5 40 40 80
Note:

Aufgabe 1 (2 + 4 = 6 Punkte)
a) Geben Sie den Gradienten zu der in Kugelkoordinaten gegebenen Funktion
f : R 3 → R, f(r,ϕ,ϑ) = r 3 · sin 2 ϕ · sin ϑ
in (lokalen) Kugelkoordinaten an.
b) Betrachtet wird das in (lokalen) Kugelkoordinaten gegebene Vektorfeld
⃗F : R 3 → R 3 , ⃗ F(r,ϕ,ϑ) = r · cos ϕ · ⃗er + r · sin ϕ · ⃗e ϕ + sinϑ · ⃗e ϑ .
Geben Sie den Funktionsvektor an der (in kartesischen Koordinaten gegebenen)
Stelle (x 0 ,y 0 ,z 0 ) = (0, 2, 0)
b1) in lokalen Kugelkoordinaten
b2) in kartesischen Koordinaten
an.

Aufgabe 2 (6 Punkte)
Sei
f : R 2 → R, f(x,y) = x − y + e x2 +y .
a) Bestimmen Sie die Lage potenzieller Extremstellen von f.
b) Führen Sie zwei Schritte des Gradientenverfahrens zur Minimierung von f aus, ausgehend
von (x 0 ,y 0 ) = (1, −1) mit der Schrittweite λ = 1 3 .

Aufgabe 3 (5 Punkte)
Welches Volumen V hat der unten links skizzierte Körper über einer quadratischen Grundfläche
mit Seitenlänge 4 und Höhe 4, der in der Seitenansicht von der Parabel h = (2−x) 2 ,
(x ∈ [0, 2]) (s. Skizze unten rechts) berandet wird?
4
h
4
4 x 2

Aufgabe 4 (6 Punkte)
Für das Vektorfeld
⃗F : R 3 → R 3 , ⃗ F(x,y,z) =
⎛
⎝
⎞
z 4 − 3y 2
−6xy ⎠
4xz 3
gilt rot ⃗ F = 0 (das brauchen Sie nicht nachzurechnen).
Geben Sie den Wert des Wegintegrals ∫ ⃗ F d⃗r zu den folgenden Wegen an. Begründen Sie
Ihre Angabe!
(Tipp: Sie brauchen höchstens einmal wirklich ein Integral zu berechnen!)
⎛ ⎞
t
a) ⃗r a : [0, 1] → R, r(t) = ⎝ t 2 ⎠,
t
⎛
1 − √ ⎞
1 − t
b) ⃗r b : [0, 1] → R, r(t) = ⎝ t
sin ( ⎠,
π
t) 2
⎛
t + √ ⎞
1 − t
c) ⃗r c : [0, 1] → R, r(t) = ⎝ 1
sin(πt)
⎠.

Aufgabe 5 (maximal 3, minimal 0 Punkte)
Kreuzen Sie jeweils an, welche der abgebildeten Funktionen Lösung der entsprechenden
Differenzialgleichung ist.
(Tipp: Überlegen Sie, welche Differenzialgleichungen Sie ausschließen können, da die
Lösung nicht zum Richtungsfeld passt.)
Jedes richtige Kreuz zählt +1 Punkt, jedes falsche −1 Punkt. Kein Eintrag zählt 0 Punkte.
a) y ′ = xy
y
y
y
1
1
1
1
x
1
x
1
x
b) y ′ = e −y y
y
y
1
1
1
1
x
1
x
1
x
c) y ′ = x − y
y
y
y
1
1
1
1
x
1
x
1
x

Aufgabe 6 (4 Punkte)
Betrachtet wird die Differenzialgleichung
y ′′ + y ′ − 6y = 0.
a) Geben Sie die allgemeine Lösung y(t) der Differenzialgleichung an.
b) Welche Lösung erfüllt die Anfangsbedingung
y(0) = 5 und y ′ (0) = 0?

Aufgabe 7 (maximal 5, minimal 0 Punkte)
Seien a 0 ,a 1 ,a 2 ,... und b 1 ,b 2 ,... die Fourierkoeffizienten zur Funktion
f : [−π,π] → R
und f durch ihre Fourierreihe f(x) = a 0
2
+ ∑ ∞
k=1
(
ak cos(kx) + b k sin(kx) ) dargestellt.
Wie ändern sich die Fourierkoeffizienten, wenn man f wie beschrieben zur Funktion g
modifiziert? Tragen Sie in die Tabelle die richtige Nummer der möglichen Modifikationen
aus der Liste unten ein.
Jede richtige Angabe zählt +1 Punkt, jede falsche −0.5 Punkte. Kein Eintrag zählt 0
Punkte. (Sie brauchen Ihre Angaben nicht zu begründen.)
Modifikation von f
Mod. der Fourierkoeff.
entspr. Liste
g(x) = f(x) + 2
g(x) = 2 · f(x)
g(x) = f(−x)
g(x) = −f(x)
g(x) = f(x) + 2 cosx
Liste möglicher Modifikationen:
1. a 0 erhöht sich um 2, sonst ändert sich nichts.
2. a 0 erhöht sich um 4, sonst ändert sich nichts.
3. a 1 erhöht sich um 2, sonst ändert sich nichts.
4. Alle a k und b k erhöhen sich um 2.
5. Alle a k und b k verdoppeln sich um 2.
6. Alle a k und b k wechseln das Vorzeichen.
7. Die a k wechseln das Vorzeichen, die b k bleiben gleich.
8. Die b k wechseln das Vorzeichen, die a k bleiben gleich.

Aufgabe 8 (3 + 2 = 5 Punkte)
Fünf Beobachtungen bei einem exponentialverteilten Zufallsexperiment ergeben die Stichprobe
1, 10, 3, 14, 7.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Ergebnis größer als 10 erhält, wenn
man den Parameter der Verteilung mit Hilfe des Stichprobenmittelwerts anpasst?
b) Welchen Parameter würde man wählen, wenn man zur Anpassung die Stichprobenvarianz
nutzt?