Aufgabenblatt - Prof. Georg Hoever

(Name) (Vorname) (Matrikelnummer)Fachbereich Elektrotechnikund InformationstechnikProf. Georg Hoever12.03.2013Klausur zum FachHöhere Mathematik 2 für InformatikTeil 1Bearbeitungszeit: 90 MinutenHilfsmittel: das Skript inklusive handschriftlicher Eintragungen, ein einfacher TaschenrechnerBitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter.Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsichtfindet voraussichtlich am 20.03., statt, ggf. nötige mündliche Ergänzungsprüfungen findenzeitnah statt.Mit Ihrer Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie die obigen Klausurbedingungen gelesenhaben, und dass alle 8 Aufgaben in gut leserlichem Druck vorliegen.Viel Erfolg!—————————————(Unterschrift)Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ 1 Σ 2 ΣMax 3 6 5 6 6 5 3 6 40 40 80Note:

Aufgabe 1 (3 Punkte)Die in den Bildern dargestellten Funktionen haben jeweils die Funktionsvorschriftf(x,y) = a·x b ·y cmit a = ±1 und b,c gleich 1 oder 2.Geben Sie die konkreten Funktionsvorschriften zu den Bildern an.a)f(x,y) =2−2−10x12 −20yb)f(x,y) =20y−2 −1 0 1 2x−2c)f(x,y) =−2−10x12 −2−10y12

Aufgabe 2 (6 Punkte)Betrachtet wird die Funktionf : R 2 + → R, f(x,y) = 6·ln(x+y 2 ).a) Geben Sie die Tangentialebene t zu f im Punkt (2,1) in der Forman.z = t(x,y) = ax+by +cb) Führen Sie zwei Schritte des Gradientenverfahrens zur Maximierung von f ausgehendvom Punkt (x 0 ,y 0 ) = (2,1) mit Schrittweite 1 2 aus.

Aufgabe 3 (5 Punkte)Berechnen Sie zu D = [0, 1 ]×[0,π] das Integral2∫(x+y)·cos(x·y)d(x,y).DTipp: Spalten Sie das Integral entsprechend der Summe auf und verwenden Sie unterschiedlicheIntegrationsreihenfolgen!

Aufgabe 4 (6 Punkte)Transformieren Sie das Anfangswertproblemy ′′ −y ′ ·y ·x = x 2 , y(1) = 2, y ′ (1) = 3in ein Differenzialgleichungssystem erster Ordnung und bestimmen Sie einen Näherungswertfür y(1.2) mit Hilfe des Euler-Verfahrens zur Schrittweite h = 0.1.

Aufgabe 5 (2+1+2+1 = 6 Punkte)Gegeben sind die sechs Datenpunktef 0 = 1, f 1 = 4, f 2 = 0, f 3 = 3, f 4 = −2, f 5 = 0.a) BerechnenSiedenKoeffizientena 1 bzgl.derreellendiskretenFouriertransformation.b) Welche Koeffizienten bzgl. der reellen diskreten Fouriertransformation zu den f kbraucht man, um eine Rücktransformation durchzuführen?(Sie brauchen die Koeffizienten nicht zu berechnen.)c) Berechnen Sie den Koeffizienten c 3 bzgl. der komplexen diskreten Fouriertransformation.b) Welche Koeffizienten bzgl. der komplexen diskreten Fouriertransformation zu den f kbraucht man, um eine Rücktransformation durchzuführen?(Sie brauchen die Koeffizienten nicht zu berechnen.)

Aufgabe 6 (5 Punkte)Auf den natürlichen Zahlen wird die Relation R definiert durchkRl :⇔ 3k −2 = l.Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:2R n 3 n +1.

Aufgabe 7 (3 Punkte)Welche Gleichheiten gelten bei den folgenden Binomialkoeffizienten bzw. Fakultäten?Kreuzen Sie jeweils an, was dem linken Ausdruck entspricht, bzw. dass es keinen entsprechendenAusdruck gibt.Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche −0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte.Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.( ) 1000+800( ) 1000801=( 1000802) ( 1001801) ( ) 1001800keinesvon diesen( ) 1000+800( ) 1001800=( 1002800) ( 1001801) ( ) 1000801keinesvon diesen( ) 100+0( ) 100+...+1( ) 100100= 1( ) 1001012 100 keinesvon diesen( ) 400150=( 4015) ( 400250) ( ) 550150keinesvon diesen(2n)!n!= 2 n! 2nkeinesvon diesen(n+1)!n!= 2( 1) 1+ ! n+1keinesn von diesen