Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau

W. Wagner Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau
Somit ergeben sich als auf die Länge ’1’ bezogene streckenhaft verteilte Größen die Normalkräfte
(N), Biegemomente (M) und Querkräfte (Q) inderForm
∫
∫
∫
N x = σ x dz, N y = σ y dz, N xy = τ xy dz (5.1)
∫
M x =
(z)
(z)
(z)
∫
σ x zdz, M y =
∫
Q x =
(z)
(z)
(z)
∫
σ y zdz, M xy =
∫
τ xz dz, Q y =
(z)
(z)
τ xy zdz (5.2)
τ yz dz. (5.3)
Bei dieser Integration über die Schalendicke ist ein geschichteter Aufbau der Schale zu
berücksichtigen, so daß die Integration abschnittsweise vorgenommen werden muß.
Bei Annahme eines linear elastischen allgemein anisotropen Materialverhaltens kann je
Schicht (k) eine konstitutive Beziehung zwischen den Spannungen (2. Piola–Kirchhoff–
Spannungen) und den Verzerrungen (Green–Lagrangesche Verzerrungen) in der Form
[ N
M
]
k
= C k h k ⎡
⎣ 1
Q k = ˜C k h k γ
z s
z s
h 2
12 + z2 s
⎤
⎦
k
[ ] ɛ
·
κ
angegeben werden. Hierin sind die Elastizitätsmatrizen C k und ˜C k noch anzugeben, was
im Abschnitt 2.2 zunächst allgemein und dann unter besonderer Berücksichtigung des
Faserverbundmaterialaufbaus geschehen soll.
Nach Summation über alle Schichten erhält man ’verschmierte’ Gesamtschnittgrößen
durch
mit
⎡
⎢
⎣
N
M
Q
⎤
⎥
⎦ =
⎡
D m D mb ⎤ ⎡
0
⎢
⎣ D mbT D b ⎥ ⎢
0 ⎦ · ⎣
0 0 D s
D m = NLAY ∑
k=1
∑
D b = NLAY
k=1
∑
C k h k
D mb = NLAY
C k h k zs
k
k=1
∑
D s = NLAY
k=1
ɛ
κ
γ
C k [ hk3
12 + hk zs
k 2
]
˜C k h k .
⎤
(6)
⎥
⎦ (7)
In (7) beschreibt h k die Schichtdicke, zs
k den Abstand vom Schichtschwerpunkt zur Bezugsachse
während NLAY die Gesamtanzahl der Schichten darstellt. Weiterhin ist in Gl.
(7) deutlich die Kopplung von Membran– und Biegeanteilen durch die Matrix D mb infolge
des anisotropen Materialverhaltens zu erkennen.
IBNM-Bericht 90/4 5