Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau

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W. Wagner Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau In Gl. (38) wurde von verformungsunabhängigen Belastungen ausgegangen. Der Zusammenbau der Elementsteifigkeitsmatrizen (38) führt auf die globale tangentiale Steifigkeitsmatrix K T δv T K T Δv = n e ⋃ e=1 δv T e K Te Δv e . (39) Die Matrizen G I , G K sind nicht von den Verschiebungen abhängig sondern enthalten nur Ableitungen der Ansatzfunktionen, die Matrix Ŝ enthält Spannungen in bestimmter Anordnung. Dies Matrizen sind im Rahmen der verwendeten Theorie zu formulieren. Im Rahmen der hier eingeführten Theorie mäßiger Drehungen erhält man für die aus Effizienzgründen ausmultiplizierte Matrix K σIK = ∫ G I ŜG K dΩ (sog. ’Anfangsspan- Ω e nungsmatrix’) nur an der Stelle (3,3) den Term ∫ K σIK | (3,3) = Ω e [N x N I , x N K , x +N y N I , y N K , y +N xy (N I , x N K , y +N I , y N K , x )]dΩ. (40) Für die numerische Behandlung kann die tangentiale Steifigkeitsmatrix auch in ihre Einzelbestandteile zerlegt werden. Mit Berücksichtigung der Aufteilung der Verzerrungen (Gl. 4 bzw. 31) sowie des formulierten Stoffgesetzes (Gl. 7) folgt für den Anteil von K T aus den Knoten I und K ⎡ K TIK = ⎢ ⎣ B mT I D m B m K B mT I D m B i K + B mT I D m B nl K + B mT I D mb B b K B b I D b B b K +B s ID s B s K B iT I D m B m K B iT I D m B i K + B nlT I D m B m K + B iT I D m B nl K + B nlT I D m B i K + B nlT I D m B nl K + B bT I D mbT B m K + (B i I + B nl I ) T D mb B b K + B bT I D mbT (B i K + B nl K) ⎤ + K σIK (41) ⎥ ⎦ In Gl. (41) sind die nichtlinearen Terme durch ... und die Terme die sich infolge des geschichteten Materialaufbaus ergeben durch ... gekennzeichnet. Um für die Diskretisierung möglichst variable Elementformulierungen zu erhalten wird eine sog. isoparametrische Formulierung gewählt. Das isoparametrische Konzept bedeutet dabei, daß alle Feldgrößen, wie z.B. die Geometrie X und das Verschiebungsfeld u, durch dieselben Ansatzfunktionen N I im Element Ω e approximiert werden IBNM-Bericht 90/4 13
W. Wagner Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau x h = nel ∑ I=1 N I (ξ,η)x I , u h = nel ∑ I=1 N I (ξ,η)v I . (42) Für Kontinuumsprobleme und schubelastische Schalenprobleme ist eine wesentliche Anforderung an die Ansatzfunktionen N I die C o – Stetigkeit. Weiterhin sollten die Ansatzfunktionen N I vollständige Polynome in x und y sein. Unter den verschiedenen Möglichkeiten Ansatzfunktionen zu konstruieren, die die o.g. Voraussetzungen erfüllen, wird hier exemplarisch, das Konzept der Lagrangeschen Interpolation verfolgt, siehe z.B. Zienkiewicz, Taylor [1989]. Ein Beispiel für die Ansatzfunktionen eines 4–Knoten Scheiben– oder Plattenelementes sind die folgenden Funktionen N I = 1 2 (1+ξ I ξ ) 1 2 (1+η I η ) . (43) Die Ansatzfunktionen sind in dem lokalen Koordinatensystem ξ, η definiert. Daher ist eine Transformation auf die globalen Koordinaten x und y notwendig, in denen die Schalentheorie formuliert wurde. In der schwachen Formulierung des Gleichgewichtes, dem Prinzip der virtuellen Arbeiten (Gl. 9) werden die Ableitungen des Verschiebungsfeldes benötigt. Innerhalb des isoparametrischen Konzeptes können diese wie folgt berechnet werden nel ∑ ∂u h e ∂N I ( ξ, η ) = v I , X A = x, y. (44) ∂X A I=1 ∂X A Hierin muß die Kettenregel benutzt werden, um die partiellen Ableitungen von N I nach X A zu bestimmen: { } NI,x = 1 [ ]{ } y,η −y, ξ NI,ξ N I,y det J −x, η x, ξ N I,η mit J = [ ] x,ξ y, ξ , (45) x, η y, η wobei J die Jacobi-Matrix der Transformation zwischen dξ, dη und dx, dy ist. Bei der Berechung des Residuums (Gl. 34) bzw. der tangentialen Steifigkeitsmatrix (Gl. 38) wird im Rahmen des isoparametrischen Konzeptes eine numerische Integration nach Gauss–Legendre durchgeführt. Hierbei werden die Matrizen an den Gauss–Punkten ausgewertet und anschließend werden die erhaltenen Ergebnisse summiert K TIK = ∫ T IK dΩ e = +1 ∫ Ω e = pmax ∑ p=1 q max ∑ q=1 +1 ∫ ξ=−1 η=−1 T IK (ξ,η)detJ(ξ,η) d ξ d η T IK (ξ p ,η q )detJ(ξ p ,η q )W p W q (46) In Gl. (46) ist T IK der Integrand, ξ p ,η q sind die lokalen Koordinaten der Gauss–Punkte, W p ,W q sind Wichtungsfaktoren und p max bzw. q max beschreiben die Integrationsordnung. Analog wird die numerische Integration des Residuums vorgenommen. IBNM-Bericht 90/4 14
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