Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau

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W. Wagner Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau Somit ergeben sich als auf die Länge ’1’ bezogene streckenhaft verteilte Größen die Normalkräfte (N), Biegemomente (M) und Querkräfte (Q) inderForm ∫ ∫ ∫ N x = σ x dz, N y = σ y dz, N xy = τ xy dz (5.1) ∫ M x = (z) (z) (z) ∫ σ x zdz, M y = ∫ Q x = (z) (z) (z) ∫ σ y zdz, M xy = ∫ τ xz dz, Q y = (z) (z) τ xy zdz (5.2) τ yz dz. (5.3) Bei dieser Integration über die Schalendicke ist ein geschichteter Aufbau der Schale zu berücksichtigen, so daß die Integration abschnittsweise vorgenommen werden muß. Bei Annahme eines linear elastischen allgemein anisotropen Materialverhaltens kann je Schicht (k) eine konstitutive Beziehung zwischen den Spannungen (2. Piola–Kirchhoff– Spannungen) und den Verzerrungen (Green–Lagrangesche Verzerrungen) in der Form [ N M ] k = C k h k ⎡ ⎣ 1 Q k = ˜C k h k γ z s z s h 2 12 + z2 s ⎤ ⎦ k [ ] ɛ · κ angegeben werden. Hierin sind die Elastizitätsmatrizen C k und ˜C k noch anzugeben, was im Abschnitt 2.2 zunächst allgemein und dann unter besonderer Berücksichtigung des Faserverbundmaterialaufbaus geschehen soll. Nach Summation über alle Schichten erhält man ’verschmierte’ Gesamtschnittgrößen durch mit ⎡ ⎢ ⎣ N M Q ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ D m D mb ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎣ D mbT D b ⎥ ⎢ 0 ⎦ · ⎣ 0 0 D s D m = NLAY ∑ k=1 ∑ D b = NLAY k=1 ∑ C k h k D mb = NLAY C k h k zs k k=1 ∑ D s = NLAY k=1 ɛ κ γ C k [ hk3 12 + hk zs k 2 ] ˜C k h k . ⎤ (6) ⎥ ⎦ (7) In (7) beschreibt h k die Schichtdicke, zs k den Abstand vom Schichtschwerpunkt zur Bezugsachse während NLAY die Gesamtanzahl der Schichten darstellt. Weiterhin ist in Gl. (7) deutlich die Kopplung von Membran– und Biegeanteilen durch die Matrix D mb infolge des anisotropen Materialverhaltens zu erkennen. IBNM-Bericht 90/4 5
W. Wagner Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau Diese Gesamtschnittgrößen können im Rahmen der numerischen Behandlung weiterverwendet werden, haben jedoch für die Ausgabe keine direkte Bedeutung. Vielmehr sind je Schicht (k) die Spannungen in der Form σ k = C k [(ɛ m + ɛ i + ɛ nl )+z k κ ] τ k = ˜C k (8) γ zu ermitteln, wobei mit der Koordinate z k die genaue Lage innerhalb der Schicht angegeben werden kann. Für die spätere numerische Behandlung wird nun das Prinzip der virtuellen Arbeiten herangezogen. Bezogen auf die Schalenmittelfläche und aufgeteilt in Membran–, Biege– und Schubanteile erhält man bei Einwirkung äußerer Belastungen ̂t und Nichtberücksichtigung von Trägheitstermen die Form Dπ· δu = ∫ { N · δ ( ɛ m + ɛ i + ɛ nl )+M · δ κ + Q · δ γ } dΩ Ω − ∫ ̂t · δ udΩ Ω σ Hierin ist π die gesamte potentielle Energie. Innerhalb der nichtlinearen Rechnung ist im Rahmen eines Newton–Verfahrens iterativ zu rechnen, so daß auch die nächst höhere Ableitung der potentiellen Energie benötigt wird (9) D [Dπ· δu] · Δu = ∫ Ω + ∫ Ω + ∫ Ω + ∫ Ω + ∫ Ω Δ(ɛ m + ɛ i + ɛ nl ) · D m · δ ( ɛ m + ɛ i + ɛ nl ) dΩ Δκ · D mb · δ ( ɛ m + ɛ i + ɛ nl ) dΩ Δ(ɛ m + ɛ i + ɛ nl ) · D mbT · δκdΩ Δκ · D b · δκdΩ+ ∫ Δγ · D s · δγdΩ Ω N · Δ δ ɛ nl dΩ. (10) Gleichung (10) setzt die Wegunabhängigkeit der Belastung voraus. Weiterhin ist in dieser Ableitung die Abhängigkeit von der gewählten Schalentheorie zu erkennen, so daß nur Normalkräfte in die Berechnung eingehen (letzter Term). 2.2 Zur Formulierung eines Stoffgesetzes 2.2.1 Allgemeines Die allgemeinste Form eines linearen Zusammenhangs zwischen Spannungen und Verzerrungen erhält man aus der folgenden in Index bzw. Matrizenschreibweise gegebenen konstitutiven Beziehung σ ij = C ijkl ɛ kl σ = C : ɛ . (11) Dabei hat C ijkl in allgemeinster Form 3 4 = 81 Konstanten. Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors σ ij = σ ji und der Symmetrie des Verzerrungstensors ɛ kl = ɛ lk kann eine Reduktion auf 36 Konstante in der Form IBNM-Bericht 90/4 6
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