Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau

W. Wagner Ein flaches Schalenelement mit anisotropem geschichtetem Aufbau
Damit ist das Materialgesetz auf eine festzulegende globale Richtung zu transformieren.
Diese Transformation soll im folgenden erläutert werden. Die Transformation zwischen einem
lokalen (x L ,y L ) Koordinatensystem und einem globalen (x G ,y G ) Koordinatensystem
ist durch die Transformationsbeziehung
[ ] [ ] [ ]
xL cosϕ sinϕ xG
=
·
x
y L −sinϕ cosϕ y L = T x x G (23)
G
mit dem Drehwinkel ϕ gegeben. Um die Transformationsmatrix für die Verzerrungen
anzugeben, sind diese nach der Kettenregel abzuleiten. Beispielsweise erhält man für die
Dehnung
ɛ xL = ∂u L
= ∂u L
· ∂x G
+ ∂u L
· ∂y G
. (24)
∂x L ∂x G ∂x L ∂y G ∂x L
Einsetzen der Transformationsbeziehungen (23) z.B.
führt zum Ergebnis
u L = cosϕ u G + sinϕ v G in
∂u L
∂x G
x G = cosϕ x L − sinϕ y L in ∂x G
∂x L
ɛ xL = cos 2 ϕɛ xG + sin 2 ϕɛ yG + sinϕcosϕγ xyG ,
so daß sich die folgende Transformationsbeziehung
ɛ L = T ɛ ɛ G (25)
⎡
c 2 s 2 ⎤
sc
⎢
mit T ɛ = ⎣ s 2 c 2 ⎥ s = sin ϕ
−sc ⎦
−2sc 2sc c 2 − s 2 c = cos ϕ
ergibt. Aus dem Vergleich der spezifischen Formänderungsarbeiten
dW = 1 2 σT L ɛ L = 1 2 σT G ɛ G (26)
erhält man für die Transformation der Spannungen die Beziehung
σ L = T σ σ G mit T σ = Tɛ T−1 , (27)
so daß schließlich die Transformation des Materialgesetzes durch
σ G = C G ɛ G σ L = C L ɛ L mit C G = T T ɛ C L T ɛ (28)
beschrieben werden kann. Diese Beziehungen gelten für die Dehnungen ɛ sowie die Biegeverzerrungen
κ.
Sinngemäß sind die Schubverzerrungen, Schubspannungen und das zugehörige Materialgesetz
zu transformieren, wobei hier T γ = T x gilt.
IBNM-Bericht 90/4 9