Logik - Fachgebiet Theoretische Informatik - Universität Kassel

Prof. Dr. F. Otto 12.02.2007
Fachbereich Mathematik/Informatik
Universität Kassel
Klausur zur Vorlesung
Theoretische Informatik: Logik
WS 2006/2007
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hinweise:
– Tragen Sie zunächst Namen und Matrikelnummer oben ein.
– Die Klausur besteht aus 7 Aufgaben, bei denen jeweils 10 Punkte erreichbar sind.
Die Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden.
– Lesen Sie sich die jeweilige Aufgabenstellung genau durch, ehe Sie mit der Bearbeitung
anfangen.
– Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem jeweiligen Blatt. Erläutern Sie dabei Ihre
Vorgehensweise ausführlich. Sollte der Platz nicht ausreichen, so können Sie auf
dem freien Blatt gegenüber und auf den freien Blättern am Ende fortfahren. Im
letzteren Fall bitte unbedingt einen entsprechenden Hinweis auf der Aufgabenseite
angeben.
Lose Blätter sind nicht erlaubt! Insbesondere werden sie bei der Korrektur
nicht berücksichtigt. Ferner sind keine Hilfsmittel außer einem handschriftlich
beschriebenen Blatt zugelassen.
– Die Ergebnisse werden durch einen Aushang und im WWW bekannt gegeben, wo
dann auch Ort und Zeit für die Einsichtnahme in die Klausur genannt werden.
VIEL ERFOLG !
Punktzahl (von 70): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AUFGABE 1. [Aussagenlogik: Normalformen]
Seien F und G die folgenden aussagenlogischen Formeln:
F := ( ((¬A ∨ B) → (¬B ∧ C)) ∧ A ),
G := ( (A → ¬B) → (¬A ∧ C) ).
(a) Bestimmen Sie durch schrittweises Umformen eine Formel in DNF, die zur Formel
F äquivalent ist. Geben Sie bei jedem Schritt die verwendete Umformungsregel
an.
(b) Bestimmen sie mithilfe von Wertetafeln eine KNF zur Formel G.
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AUFGABE 2. [Aussagenlogik: Folgerungsbegriff]
Gegeben seien die drei Formeln:
F 1 := ( (C ∨ ¬B) ∧ (A ∧ (¬D ∨ E)) ),
F 2 := ( (A → B) ∧ (C → D) ),
F 3 := (A ∧ (C ∧ E)).
Zeigen Sie, dass F 3 eine Folgerung von {F 1 , F 2 } ist.
Hinweis: Begründen Sie Ihre Vorgehensweise und erläutern Sie jeden einzelnen
Schritt!
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AUFGABE 3. [Prädikatenlogik: Modelle]
Sei F die prädikatenlogische Formel
F := ∀x∀y∀z( (P (x, y) ∧ P (y, z)) → P (f(x, y), z) ).
Sei A = (U A , I A ) eine zu F passende Struktur mit U A = R (die reellen Zahlen) und
I A (P ) = { (r, s) | r, s ∈ R mit s = r 2 }.
Bestimmen Sie die Interpretation I A (f) derart, dass A damit zu einem Modell für F
wird.
Hinweis: Sie müssen die Funktion I A (f) angeben und dann nachweisen, dass
die entstandene Struktur tatsächlich ein Modell für F ist.
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AUFGABE 4. [Prädikatenlogik: Herbrand-Strukturen]
Sei F die prädikatenlogische Formel
F := ∀x∀y( (P (f(x)) → Q(g(y))) ∨ (¬P (f(x)) ∧ Q(g(b))) ),
und sei A = (U A , I A ) eine Herbrand-Struktur zu F .
(a) Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Antworten Sie jeweils nur mit ”
ja“
oder ”
nein“.
(1) A ist ein Modell für F . . . . . . .
(2) g(b) ∈ U A . . . . . . .
(3) I A (Q) ⊆ U A . . . . . . .
(4) Ist F erfüllbar, so ist A ein Modell für F . . . . . . .
(5) I A (g)(f(b)) = g(f(f(b))). . . . . . .
(6) U A enthält die Menge { f(g(g(. . . (g(f(b))) . . .))) | n ≥ 0 }. . . . . . .
} {{ }
n−mal
Hinweis: Beantworten Sie nur Fragen, bei denen Sie sich sicher sind, da falsche
Antworten zum Punktabzug führen.
(b) Bestimmen Sie eine Klauseldarstellung von F .
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AUFGABE 5. [Prädikatenlogik: Herbrand-Modelle]
Sei F die prädikatenlogische Formel:
F := ∀x(P (x) ∨ ¬P (f(f(x)))) ∧ ∀x(¬P (x) ∨ P (f(f(x)))) ∧ ∀x(¬P (f(x))).
(a) Bestimmen Sie eine zu F äquivalente Aussage in bereinigter Pränexform mit
minimaler Anzahl von Quantoren.
(b) Geben Sie ein Herbrand-Modell A für F an.
Hinweis: Hier müssen Sie das Universum von A und die Interpretationsfunktion
I A angeben und anschließend nachweisen, dass tatsächlich A(F ) = 1 gilt.
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AUFGABE 6. [Prädikatenlogische Resolution]
(a) Bestimmen Sie alle Resolventen der Klauselmenge
K := { {P (x), P (f(x))}, {¬P (x), ¬P (f(f(x)))} }.
Hinweis: Zwei Resolventen, die bis auf Umbenennung der auftretenden Variablen
übereinstimmen, werden als gleich angesehen. Beispielsweise sind {Q(x)} und
{Q(y)} in diesem Sinne gleich. Hier sollen Sie nur Resolventen von K aufführen,
die nicht gleich sind! Natürlich müssen Sie für jeden Resolventen von K, den Sie
auflisten, nachweisen, dass er wirklich ein Resolvent von K ist. Außerdem müssen
Sie zeigen, dass es keine weiteren Resolventen von K gibt außer denen, die Sie
aufgelistet haben!
(b) Zeigen Sie durch Anwendung der prädikatenlogischen Resolution, dass die Klauselmenge
K unerfüllbar ist. Beschreiben Sie Ihre Lösung durch die Angabe eines
übersichtlichen Resolutionsgraphen.
Hinweis: Um den Suchraum einzuschränken bietet es sich hier an, nur P -Resolutionsschritte
zu verwenden.
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AUFGABE 7. [Prädikatenlogische Resolution]
Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform, deren Matrix F ∗ die Klauseldarstellung
K habe.
(a) Zeigen Sie, dass die Formel G := ∀x(P (x) → Q(x)) genau dann eine Folgerung
von F ist, wenn die Klauselmenge K ∪ { {P (a)}, {¬Q(a)} } unerfüllbar ist, wobei
a eine neue Konstante ist.
(b) Sei K := { {R(g(x), x), Q(x)}, {¬P (g(y))}, {¬R(z, y), ¬P (y), P (z)} }. Zeigen Sie
mittels prädikatenlogischer Resolution, dass F ∀x(P (x) → Q(x)) gilt.
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