1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP) - Universität Kassel

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)Das Problem MPCP:Eingabe: wie bei PCP.Frage: Gibt es eine Lösung i 1 , i 2 ,...,i n mit i 1 = 1 ?Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 136 / 310

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)Beweis:Sei (i 1 , i 2 ,...,i n ) eine Lösung für K mit i 1 = 1, d.h.x 1 x i2 ...x in = y 1 y i2 ...y in .Dann x 1 x i2 ...x in $ = y 1 y i2 ...y in $==¯x 1´x i2 ...´x in $ ỳ 1 ỳ i2 ...ỳ in #$d.h. (1, i 2 + 1,...,i n + 1, k + 2) ist Lösung für f(K).Sei nun j 1 ,...,j m ∈ {1,...,k + 2} eine Lösung für f(K).Dann sind j 1 = 1, j m = k + 2 und j s ∈ {2,...,k + 1}, 2 ≤ s ≤ m−1.Also ist (1, j 2 − 1,...,j m−1 − 1) eine Lösung für K .✷Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 138 / 310

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)Lemma 1.52H ≤ MPCP.Beweis-Idee:Sei M = (Z,Σ,Γ,δ, z 0 ,✷, E) eine TM, und sei x ∈ Σ ∗ .(M, x) ↦→ Eingabe K (M,x) des MPCP mit:fM hält bei Eingabe x (d.h. w M #x ∈ H)gdw.K (M,x) hat eine Lösung mit i 1 = 1.Details: siehe Buch (pp. 134-135). ✷Satz 1.53Das PCP ist unentscheidbar.Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 139 / 310

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)Satz 1.54Das PCP ist bereits unentscheidbar, wenn es auf das AlphabetΣ = {0, 1} beschränkt wird.Beweis:K über Σ m = {a 1 , a 2 ,...,a m }↦→ˆK über Σ : a i ↦→ 01 i (i = 1,...,m)Dann: K hat Lösung gdw. ˆK hat Lösung. ✷Bemerkung:(a) PCP ist semi-entscheidbar.(b) H ist semi-entscheidbar: universelle TM.(c) H ist nicht semi-entscheidbar.Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 140 / 310