Klausurtext im PDF-Format - Fachgebiet Theoretische Informatik ...

Prof. Dr. F. Otto 10.09.2010Fachbereich Elektrotechnik/InformatikUniversität KasselKlausur zur VorlesungTheoretische Informatik:Berechenbarkeit und Formale SprachenSS 2010Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Hinweise:– Tragen Sie zunächst Namen und Matrikelnummer oben ein.– Die Klausur besteht aus 5 Aufgaben, bei denen jeweils 10 Punkte erreichbar sind.Außerdem gibt es eine Zusatzaufgabe, bei der ebenfalls 10 Punkte erreicht werdenkönnen. Die Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden.– Lesen Sie sich die jeweilige Aufgabenstellung genau durch, ehe Sie mit der Bearbeitunganfangen. Schreiben Sie deutlich und gut leserlich, da unleserliche Antwortenleider nicht gewertet werden können! Achten Sie ferner auf die korrekteformale Schreibweise und vergessen Sie nicht den entsprechenden Antwortsatz!– Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem jeweiligen Blatt. Sollte der Platz nicht ausreichen,so können Sie auf dem freien Blatt gegenüber und auf den freien Blätternam Ende fortfahren. Im letzteren Fall bitte unbedingt einen entsprechenden Hinweisauf der Aufgabenseite angeben.– Lose Blätter sind nicht erlaubt! Insbesondere werden sie bei der Korrekturnicht berücksichtigt. Ferner sind keine Hilfsmittel außer einem handschriftlichbeschriebenen Blatt zugelassen.– Die Ergebnisse finden Sie im Online-Prüfungsverwaltungssystem der Informatik.Der Ort und die Zeit für die Einsichtnahme in die Klausur werden durch Aushangund auf der WWW-Seite für die Klausur angekündigt.VIEL ERFOLG !Punktzahl (von 50): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AUFGABE 1.Gegeben sei der NFA A = ( {z 0 , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 }, {a, b}, δ, {z 0 , z 4 }, {z 3 , z 4 } ), wobei δ durchden folgenden Graph beschrieben wird:a z 0a z 1ab bz 2 z 3 z 4b(a) Geben Sie zwei Wörter aus L(A) an!(b) Geben Sie zwei Wörter an, die nicht in L(A) enthalten sind!(c) Geben Sie die Sprache L(A) an!(d) Konstruieren Sie einen DFA A ′ mit L(A ′ ) = L(A)!Verwenden Sie dazu die Potenzmengenkonstruktion aus der Vorlesung. Allerdingsdürfen Zustände von A ′ , die vom Startzustand aus nicht erreichbar sind, weggelassenwerden (optimierte Teilmengenkonstruktion).1

AUFGABE 2.(a) Gegeben sei der reguläre Ausdruckr = ((a|b)) ∗ cba((b|c)) ∗ .Geben Sie die Sprache L(r) an!(b) Zeigen Sie, dass für jede reguläre Sprache L ⊆ Σ ∗ auch die SpracheL g := { w ∈ L | |w| ist gerade }wieder regulär ist.3

AUFGABE 3.Die regulären Ausdrücke über dem Alphabet Σ = {a, b} können wie folgt definiertwerden:(1) ∅, e (als Symbol für das leere Wort), a und b sind reguläre Ausdrücke.(2) Falls α und β reguläre Ausdrücke sind, so sind auch αβ, (α|β) und (α)∗ reguläreAusdrücke. Hierbei steht (α)∗ als vereinfachte Notation für (α) ∗ .Sei R die Menge der regulären Ausdrücke über Σ. Dann ist R eine Sprache über demAlphabetΓ := { ∅, e, a, b, (, ), |, ∗ }.Ordnen Sie diese Sprache in die Chomsky Hierarchie ein.Hinweis: Sie müssen zeigen, dass R eine Sprache vom Typ i ist für ein i ∈ {0, 1, 2, 3},und dass R keine Sprache vom Typ i + 1 ist.5

AUFGABE 4.Geben Sie einen Kellerautomaten M an, der genau die SpracheL = { ucv | u, v ∈ {a, b} ∗ , u = v R oder |u| < |v| }mit leerem Keller akzeptiert und beschreiben Sie kurz die Arbeitsweise Ihres Automaten.7

AUFGABE 5.Die Funktion b : N → N sei durch folgende Festsetzung definiert:b(n) = max{ i | a(i, i) ≤ n + 1 }.Hierbei bezeichnet a(., .) die Ackermannfunktion.Zeigen Sie, dass die Funktion b total und berechenbar ist.Hinweis: Geben Sie ein GOTO-Programm oder ein WHILE-Programm an, das b berechnet,oder zeigen Sie, dass b µ-rekursiv ist. Außerdem müssen Sie zeigen, dass derWert b(n) für alle n ∈ N existiert. Es dürfen alle Funktionen verwendet werden, vondenen in der Vorlesung gezeigt wurde, dass sie berechenbar sind.9

Zusatzaufgabe(a) Hat die folgende Instanz des PCP eine Lösung?Geben Sie eine Lösung an oder begründen Sie, dass keine Lösung existiert!K a = ( (1, 111), (1110111, 1110), (101, 01) )(b) Begründen Sie, dass die folgende Instanz des PCP keine Lösung hat!(c) Zeigen Sie, dass die SpracheK b = ( (11, 011), (01, 0), (001, 110) )H ∀ = { w | M w hält für alle Eingaben aus {0, 1} ∗ an }unentscheidbar ist. Hierbei bezeichnet M w die Turing-Maschine, die durch dasWort w kodiert wird.Hinweis: Zeigen Sie, dass sich eine bereits als unentscheidbar bekannte Spracheauf H ∀ reduzieren lässt.11