Klausurtext im PDF-Format - Fachgebiet Theoretische Informatik ...

Prof. Dr. F. Otto 10.03.2010
Fachbereich Elektrotechnik/Informatik
Universität Kassel
Klausur zur Vorlesung
Theoretische Informatik: Logik
WS 2009/2010
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hinweise:
– Tragen Sie zunächst Namen und Matrikelnummer oben ein.
– Die Klausur besteht aus 5 Aufgaben, bei denen jeweils 10 Punkte erreichbar sind.
Außerdem gibt es eine Zusatzaufgabe, bei der ebenfalls 10 Punkte erreicht werden
können. Die Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden.
– Lesen Sie sich die jeweilige Aufgabenstellung genau durch, ehe Sie mit der Bearbeitung
anfangen. Schreiben Sie deutlich und gut leserlich, da unleserliche Antworten
leider nicht gewertet werden können! Achten Sie ferner auf die korrekte
formale Schreibweise und vergessen Sie nicht den entsprechenden Antwortsatz!
– Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem jeweiligen Blatt. Sollte der Platz nicht ausreichen,
so können Sie auf dem freien Blatt gegenüber und auf den freien Blättern
am Ende fortfahren. Im letzteren Fall bitte unbedingt einen entsprechenden Hinweis
auf der Aufgabenseite angeben.
– Lose Blätter sind nicht erlaubt! Insbesondere werden sie bei der Korrektur
nicht berücksichtigt. Ferner sind keine Hilfsmittel außer einem handschriftlich
beschriebenen Blatt zugelassen.
– Die Ergebnisse finden Sie im Online-Prüfungsverwaltungssystem der Informatik.
Der Ort und die Zeit für die Einsichtnahme in die Klausur werden durch Aushang
und auf der WWW-Seite für die Klausur angekündigt.
VIEL ERFOLG !
Punktzahl (von 50): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AUFGABE 1.
a) Zeigen Sie mittels Äquivalenzumformungen, dass die Formeln
G = ((A ∧ ¬D) ∧ ((¬A ∧ ¬B) ∨ ¬(A → ¬C))) und
H = (A ∧ (((¬D ∧ (¬A ∨ C)) ∧ (¬B ∨ A)) ∧ (¬B ∨ C)))
semantisch äquivalent sind. Begründen Sie jeden Ihrer Umformungsschritte!
(b) Geben Sie an, warum die Formel H aus Teilaufgabe a) eine Hornformel ist. Wenden
Sie den Markierungsalgorithmus auf H an. Ist H erfüllbar Falls ja, geben
Sie die vom Algorithmus konstruierte erfüllende Belegung an.
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AUFGABE 2.
1. Geben Sie eine Formel an, die keine Hornformel ist.
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2. Wie zeigt man mittels Resolution, dass eine aussagenlogische Formel gültig (Tautologie)
ist
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3. Geben Sie eine prädikatenlogische Formel an, die eine endliche Herbrand-Expansion
besitzt.
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4. Kreuzen Sie an: unerfüllbar erfüllbar gültig
((¬A ∨ ¬B) ∨ ((A ∧ B) ∨ C)) ✷ ✷ ✷
¬(∃xP (x) → ¬∀x¬P (x)) ✷ ✷ ✷
Folgende Fragen sind mit wahr oder falsch zu beantworten. Für jede richtige Antwort
erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche wird Ihnen ein Punkt abgezogen.
wahr falsch
5. Jede prädikatenlogische Formel besitzt ein Modell mit
abzählbarem Universum. ✷ ✷
6. Eine Formelmenge ist erfüllbar, wenn jede in ihr enthaltene
Formel erfüllbar ist. ✷ ✷
7. Ist K eine erfüllbare Formelmenge, so ist jede in K
enthaltene Formel erfüllbar. ✷ ✷
8. Die Stützmengen-Resolution ist vollständig für Hornformeln. ✷ ✷
9. Jedes Hornklauselprogramm hat für jede Zielklausel mindestens
eine endliche Rechnung. ✷ ✷
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AUFGABE 3.
a) Geben Sie für die Formel
F = (∀x(P (x, f(x)) ∨ ¬Q(g(x, a))) → ¬∃xP (g(x, x), f(y)))
eine passende Struktur mit dem Universum U = {+, −, ∗, ↑} an.
b) Bestimmen Sie eine zu F erfüllbarkeitsäquivalente geschlossene Formel G in Skolemform.
c) Geben Sie ein Herbrand-Modell H für G an mit P H ≠ ∅ und Q H ≠ ∅.
Hinweis: Sie müssen insbesondere zeigen, dass die von Ihnen angegebene Herbrandstruktur
tatsächlich ein Modell für G ist.
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AUFGABE 4.
Gegeben ist die Klauselmenge K:
K := { {¬R(b, f(x, y))}, {¬P (f(x, a), x), R(g(x), y)}, {Q(g(f(x, b)), y)},
{P (f(x, a), f(y, z))}, {¬R(x, f(y, z)), P (x, x)}, {¬Q(y, x), ¬P (x, y)} }
Zeigen Sie mittels prädikatenlogischer Resolution, dass K unerfüllbar ist. Geben Sie in
jedem Schritt die Variablenumbenennungen und den Unifikator an!
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AUFGABE 5.
a) Gegeben sei das folgende Hornklauselprogramm F :
(1) {A(x, 0, x)}
(2) {A(x, s(y), s(z)), ¬A(x, y, z)}
(3) {Q(0, 0)}
(4) {Q(s(0), s(0))}
(5) {Q(s(x), z), ¬Q(x, y), ¬A(s(x), y, z)}
Bestimmen Sie eine erfolgreiche Rechnung des Programms F für die Zielklausel
¬Q(s(s(0)), z). Was ist das Ergebnis dieser Rechnung
b) Gegeben sei das folgende Hornklauselprogramm K:
(1) {G(s(x), 0)}
(2) {G(s(x), s(y)), ¬G(x, y)}
Bestimmen Sie eine erfolgreiche Rechnung des Programms K für die Zielklausel
¬G(z, s(0)) und interpretieren Sie das Ergebnis.
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Zusatzaufgabe
Stellt man die Zahl n ∈ N durch den Term s(s(. . . s(0) . . .)) dar, was als s
} {{ }
n (0) abgekürzt
n-mal
werden kann, dann beschreibt das Prädikat A aus dem Hornklauselprogramm F von
Aufgabe 5 a) die Addition, d.h. für alle i, j, k ∈ N gilt i+j = k gdw. A(s i (0), s j (0), s k (0))
eine Folgerung von F ist. Das Prädikat Q in diesem Programm beschreibt eine Funktion
f : N → N, indem man f(n) = m setzt, wenn Q(s n (0), s m (0)) eine Folgerung von F
ist.
a) Geben Sie diese Funktion f an!
b) Beweisen Sie, dass das Prädikat Q tatsächlich die von Ihnen in Teil a) angegebene
Funktion beschreibt.
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