Kapitel 4. Eingabe (Anfrage) : Formel ...

liebt(Eva, Essen)
liebt(Eva, ¢ Wein)
liebt(Adam, liebt(, Wein)
)
liebt(Adam,)
liebt(Adam,) liebt(,Wein)
sub
liebt(Eva,Wein)
Eva
©
sub
liebt(,Wein)
Kapitel 4.
Logik-Programmierung
4.1 Erzeugen von Antworten
Logik-Programm
: Menge von Klauseln (erfüllbar)
Eingabe (Anfrage) : Formel ¡ ¢ £¤ ¥ £¦ ¥ §§§¥ £¨
Ausführung
Ergebnis
Beispiel:
: Resolutionsherleitung von © aus
: Antworterzeugungskomponente
¡ ¢ £¤§§§ £¨
liebt(Adam,)
Gilt ¡, d.h. ist unerfüllbar
¢ ¡
liebt(Adam,
¡ ¢
)
¢ ¡
Resolutionsbeweis:
Antwort : Eva.
132

Antwortprädikat: Aufrufklausel liebt(Adam,),Antwort()
liebt(Adam,),Antwort()
liebt(Adam,) liebt(,Wein)
liebt(,Wein),Antwort()
Eva
Antwort(Eva)
liebt(Eva,Wein)
liebt(Eva, Essen)
liebt(Eva, Wein),liebt(Anna,
¢ Wein)
liebt(Adam, liebt(,
Wein)
)
liebt(,Wein),Antwort()
liebt(Eva,W.),liebt(Anna,W.)
liebt(Anna,Wein),Antwort(Eva)
Beispiel:
liebt(Adam, ¢
),Antwort()
¡ liebt(Adam,) liebt(,Wein)
liebt(Adam,),Antwort()
Antwort(Anna),Antwort(Eva)
oder-Verknüpfung von Antworten : nicht Hornklausel
133

liebt(Eva, ),Antwort(
)
liebt(Eva, ),Antwort(
¡ ¢
liebt(Eva,Essen)
)
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Antwort(Essen)
liebt(Eva, ),Antwort( ) liebt(Eva,Wein)
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Beispiel:
wie oben
Antwort(Wein)
und-Verknüpfung von Antworten :
verschiedene Resolutionsherleitungen
Bemerkung:
Aufrufklausel : Antwort ¥ £ ¥
¤ ¢ : aktueller £¤ Eingabeparameter
: Ausgabeparameter
134

¡ ¢ liebt(,Wein),Antwort()
liebt(,Wein),Antwort()
liebt(Eva,Wein)
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Antwort(Eva)
Beispiel:
wie oben
Aufrufklausel : Antwort ¤ ¥ £
: aktueller Eingabeparameter
¥
¤
£ ¢
: Ausgabeparameter
Invertibilität des Parameterübergabemechanismus
135

(2.) walk ¤¥ ¢ £¥ £ ¥
Situation
¤¥¥
¢
: £ £ ¢ £ ¥ £¦§¥ ¤
(6.) Reach £ ¥ Antwort £ ¥
Beispiel:
” Affe-und-Bananen-Problem“
(1.)
Interpretation: Affe :
¢£¥
¡ £ ¢
Pos.
¡
¢
£
Banane : Pos.
Stuhl : Pos.
Startsituation :
walk : ¥ ¤¥ £ £¦§¥ ¢ £¥
(3.)
¥
£
push £ ¢ £¥ ¥ £ ¥ ¤¥¥
¤¥ ¢
Situation ¤ :
push : ¥ ¤¥ £ £¦§¥ ¢ £¥ ¥
(4.)
¥
£
climb £ ¢ £ £ ¤¥¥
¤¥ ¢
£ £¦§¥ ¢ £ ¥
Situation ¤ :
climb £ ¤¥ :
Affe auf Stuhl
£ £¦§¥ ¢ £ ¥
(5.) climb Reach(grasp(climb £ ¤¥¥ £
Situation :
¤¥¥¥
£ ¢ £ £
und Affe
auf Stuhl,
dann kann Affe die Banane erreichen
¥ ¢ £¦§¥
136

¤¢£ ¡¢£
climb Antwort(grasp(climb
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
££ £££
¨ © ¦§
Resolutionsherleitung:
¢£
Antwort(grasp(climb ¨ ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
£ £££
© ¦
¢£
Antwort(grasp(climb(push ¨ ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
£ ££££
© ¦
Antwort(grasp(climb(push
¦¢£
walk
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
£ £££££
¨ © ¦
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
©Antwort(grasp(climb(push
¤¢£
walk £££££
¨ ¦
Interpretation:
Situation £:
£ £¦§¥ ¢ £ ¡ ¢¥
walk £ £¦§¥ ¢ £ ¢ ¡
push
¢¥
£ £ ¡ ¢£¥
£ £¦§¥ ¢ £¡ ¡ ¡
climb,grasp
¥
§¥
©
137

4.2 Hornklauselprogramme und ihre Semantik
Typen von Hornklauseln:
- Tatsachenklausel : einelementige positive Klausel
- Prozedurklausel : ¢ ¤§§§ ¡ ,
¢ ¢ atom. Formeln
PROLOG-Notation: ¢ £ ¤ ¦§§§ ¡ .
¢ : Prozedurkopf oder -name
¤§§§ ¡ : Prozedurkörper
¢ : Prozeduraufruf
Hornklauselprogramm (Logik-Programm):
endliche Menge von Tatsachen- und Prozedurklauseln
(Programmklauseln, definite Klauseln)
Aufruf durch Zielklausel (Aufruf- oder Frageklausel):
¤ ¦§§§ ¡
PROLOG-Notation : ¤ £ ¤ ¦§§§ ¡ .
Halteklausel:
Interpretation (prozedural) eines Hornklauselprogramms
bei Zielklausel ¡:
©
SLD-Resolutionsherleitung von © aus ¡
basierend auf ¡.
Variablenumbenennungen:
nur auf die Seitenklauseln anwenden
standardisierte SLD-Resolution
138

(2.) £ £ ¤ £ ¥¤ £ ¥¥ £ £ ¥
Zielklausel: £ £ ¤ £ ¤ £ ¤ £ ¡¥¥¥¤ £ ¤ £ ¡¥¥¢¥ ££ ¤ ¢¤¥
£ £ £ £ £ £ £ ¡¥¥¥¤ ¤ ¡¥¥¢ ¤§¥
¥£££ ¥£¦ ¤ £ ¤ ¤
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
£
sub¨
£ £ £ £ £ £ ¤ ¡¥¥¥¤ ¡¥ ¥ ¤§¥
£ ¤ ¤
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
¨£ ¥£££¥ sub¨
£ £ £ £ ¤ ¤ ¡¥¥¥ ¡ ¥ £© §¥
¥£££¨ ¥£££
sub¨ ¤ £
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
§ ©
£ £ £ £ £ £ ¤ ¡¥¥¥¤ ¤ ¡¥¥¢¥sub¤sub¦sub
£ £ ¤ £ ¤ £ ¤ £ ¡¥¥¥¤ £ ¤ £ ¡¥¥¤ £ ¤ £ ¤ £ ¤ £ ¤ £ ¡¥¥¥¥¥¥
¤ ¤ £ ¢
Beispiel:
¡ ¢ £
Prädikatenlogische Beschreibung:
¥
(1.)
¢
¡¥ £ £
standardisierte SLD-Resolutionsherleitung:
Rechenresultat:
¤£ ¥ ¤£
sub
¤ £ ¥¥ ¤£
sub
¤ £ ¤ £ ¤ £ ¤ £ ¡¥¥¥¥¥
sub
¢
139

£ ¢ ¤§§§ £ ¡ ¤
Definition (prozedurale Interpretation)
Die prozedurale Interpretation von Hornklauselprogrammen
ist gegeben durch einen abstrakten
Interpreter:
- Konfigurationen: £ ¡ sub¥ mit ¡ Zielklausel,
sub Substitution
Sei ein Logik-Programm.
- Konfigurationsübergänge bzgl. :
£ ¡¤ sub¤¥ ¡ £ ¡¦ sub¦¥,
falls ¡¤ ¢ £¤ £¦§§§ £ ¡ £¢ £ © ¥
und es eine Programmklausel
¤ ¢ ¦ ¥ ¤ ¥ ¦§§§ ¥¨ £¦ £ ¡¥
in gibt (¡¤ und ¤ seien Variablen-disjunkt), so
dass ¦ und ein £ ¢ £§ ¨ © §§§ ¢ ¥ unifizierbar
sind mit allgem. Unifikator ¤. Dann sind
und
¡¦ ¢ £¤§§§ £ ¢© ¤ ¥ ¤§§§ ¥¨
sub¦ ¢ sub¤¤.
140

Eine Rechnung von bei Eingabe von
ist jede (endliche oder
¡
unendliche) Folge der Form
£ £¤§§§ ¢ ¡
£ ¡ ¡¥ ¡ £ ¡¤ sub¤¥ ¡ £ ¡¦ sub¦¥ ¡ §§§ §
Ist die Rechnung endlich mit letzter Konfiguration
£ ©sub¥, so heißt sie erfolgreich und
£ £¤ ¥ §§§¥ £ ¡ ¥sub
ist das Rechenergebnis.
141

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
¡
¡ ¥ ¡ sub
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
£ ¡
sub¤¥ ¡¤ £
£ ¡¦ sub¦¥ ¨
££££££££££££££
£ ¡¡ sub¡ ¥
£ ¡¤ sub¤ ¥
Bemerkung:
Diese Rechnungen von Hornklauselprogrammen sind
nicht-deterministisch:
jeder Schritt hängt ab von der Auswahl der Programmklausel.
Die möglichen Rechnungen von bei Eingabe ¡:
¢
£ ¡ ¡¥
¡
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
¤
£
£££££££££££££ ¡
£ ¡ sub ¥
§ usw.
¦
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
¢
£ ¡ © sub©¥
endlich verzweigt, aber möglicherweise unendlich!
142

¢ ¥ £ ¥ ¢ £ ¥ ¢ £ ¢¢¥ £ ¡
PROLOG-Notation:
¥
¢ £ ¢ £ £ £ ¥ ¢ £ ¥
¥
Ergebnis: ¢ £ ¡ ¥ ¡ ¡
Ergebnis: ¢ £ ¡ ¥
¡¡¡
Beispiel:
£ ¢
¥.
Zielklausel:
¢¢¥
£
¥, d.h. ¢ £
¡ ¡
£ ¥.
¢ £ ¡ ¤ ¢ ¡
1. Rechnung:
£¢ £ ¡ ¥ ¡¥ ¡ £ £ ¥ ¢ £ ¡ ¥ ¡
¡
¡¥
¡¡
¡ £¢ £¡ ¡ ¥ ¡ ¡
¡
¡¡
¡
¡
¡ £ £¡ ¥ ¢ £ ¡ ¥ ¡ ¡
¡
¡¡
¡
¡
¡ ¡¡
¡
¡
¡
¡ ¡
¡¥
¡¥
¡¡
¡
¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡
¡
¡ ¡
¡
Diese Rechnung ist endlich, aber nicht erfolgreich.
¡ £ £¡ ¡ ¥ ¡ ¡
¡
¡¡
2. Rechnung:
£¢ £ ¡ ¥ ¡¥ ¡ £ £ ¥ ¢ £ ¡ ¥ ¡
¡
¡¥
¡¡
¡ £¢ £¡ ¡ ¥ ¡ ¡
¡
¡¡
¡
¡
¡ £ © ¡ ¡
¡
¡¡
¡
¡
¡ ¡
¡¥
¡
¡¡
¡
¡
¡¡ ¢ ¡ ¡
¡ ¢ ¡
¡ ¡¡ ¢ ¡ ¡
¡¥
3. Rechnung:
¢ £ ¡ ¥
¢ £¡ ¡ ¥
£¢ £ ¡ ¥ ¡¥ ¡ £ ©
¡¥
¡¡
¡ ¢
¡¡
143

Zielklausel: ¤ £ Diff £ ¢ sin £ ¥ ¡ ¥
£ ¤ Diff sin £ ¥ ¡ ¥ ¡¥ £ £ ¢
Diff Diff sin £ ¥ £ £ ¥ ¡¥ sub¤¥
£ ¤ ¡
£ Diff sin £ £ ¥ ¡¥ sub¤sub¦¥
£ £ Diff £ ¥ sub¤sub¦sub ¥
¤ ¡
mit sub¤
¡ £ © sub¤sub¦sub sub
¥
Beispiel:
Symbolisches Differenzieren“
”
Konstanten: , 1
Variable: ¡ ¡ ¡
Prädikatsymbol:
Diff
Funktionssymbole: sin, cos, ¢
Programmklauseln:
Diff ¥.
Diff £ £ £Diff Diff
© ¡¥.
£ ¥ £
Diff
¡ £ ¡ ¡¥
¡ ¡ ¢ ¥
¢ ¡ ¢
£Diff Diff ¡¥.
£
Diff sin cos £ £ £ £ £Diff ¥.
¥ ¡ £ ¥ ¢ ¥ ¥
¡
¡ ¡
¡ sin £ ¥¡ ¡ ¡ ¢ ¡ sin £ ¥ ¢ ¡
¢
¡
¡©
¡
sub¦
¢
sub
¡ ¡
¡ cos £ ¥ ¢ ¡
sub
Ergebnis:
¢
¡
¡©
¡ sub¤sub¦sub sub
¢ ¢ £ cos £ ¥ ¢ © ¥ sin £ ¥ ¢ © .
144
©

Lifting-Lemma (für Hornklauseln)
Falls sub ¡¥ ¡ §§§ ¡ £ ©sub¥ eine Rechnung
des Logik-Programms bei Eingabe £ sub
ist, dann gibt es eine Rechnung derselben Länge
¡
von bei
¡
Eingabe der Form ¡
£ ¡ ¡¥ ¡ §§§ ¡ £ © sub ¥
mit sub sub ¢ sub ¤ für eine geeignete Subst. ¤.
Satz (Clark)
Sei ein Logik-Programm und ¡ ¢¤££¤§§§ £ ¡
eine Zielklausel.
1. (Korrektheitsaussage)
Falls es eine erfolgreiche Rechnung von bei Eingabe
¡ gibt, so ist jede Grundinstanz des Rechenergebnisses
£ £¤¥£¦¥§§§¥£ ¡ ¥sub eine Folgerung
von .
2. (Vollständigkeitsaussage)
Falls jede Grundinstanz von
£ £¤ ¥ £¦ ¥ §§§¥ £ ¡ ¥sub
eine Folgerung von ist, so gibt es eine erfolgreiche
Rechnung von bei Eingabe ¡ mit Rechenergebnis
£ £¤ ¥ £¦ ¥ §§§ ¥ £ ¡ ¥sub, so dass es eine
Substitution ¤ gibt mit
¥sub ¥ £¦ ¥ §§§¥ £ ¡ ¢ £ £ ¥sub
£¤
£¦ ¥ §§§¥ £ ¡ ¤
145
¥ £¤

¢ £ ¡ ¡¥ ¡ £ ¡¤ sub¤¥ ¡ §§§ ¡
£ £
sub¤§§§ sub¨¥ ¢ £ © sub¥
©
£ ¡¤ ¡¥ ¡ §§§ ¡ £ ©sub¦ §§§ sub¨¥§
Beweis:
(1.) Korrektheit:
£ ¡ ¡¥ ¡ §§§ ¡ £ ¡¨ sub¥ ¢ £ © sub¥.
Beweis durch Induktion über ¦ :
¢ ¡ ¡ ¢ © und sub
¢ ¡.
¢¤££¤§§§ ¢© ¢ £ ¢ ¤§§§ £ ¡ £¢ £ © ¥sub¤,
¥
¡ £ £ ¤£
£ ¢© ¤ ¥ ¤§§§ ¥£ £ ¢ ¤ §§§ £ ¡ £¤§§§ ¢¤£ ¡¤
wobei ¦ £ ¥ ¤§§§ ¥£ £¤ £ ¡¥ eine Programmklausel
von ist, so dass sub¤ der allgemeinste
Unifikator von ¦£ ¢ ist.
Betrachte folgende Rechnung der Länge ¦ £ © :
146

£¤ ¥ §§§¥ £ ¢ ¥ §§§¥ £ ¡ ¥sub¤ §§§ sub¨
Folgerung von . £ ©
Nach I.V.: ist jede Grundinstanz von
¡ ¡ ¢£§ ¡ ¤§ ¡ ¢¢¢ ¡ ¤¥ ¡ ¢¦§ ¡ ¢¢¢ ¡ sub
§£ §¢¢¢ sub¨
eine Folgerung von .
¢¢¢ §
Jede Grundinstanz von £¥ ¤¥§§§¥ ¥£ ¥sub¤ §§§ sub¨
ist Folgerung von .
¦ sub¤ §§§ sub¨ ¢ £ ¢ sub¤ §§§ sub¨ und ¦ £ ¥ ¤§§§ ¥¨.
Also ist jede Grundinstanz von
147

£ ¡
sub sub ¤ §§§ sub ¨ ¢ sub ¤ §§§ sub ¨ ¤§
¥sub ¥sub §§§¥ £ ¡ ¢ £ £¤ ¥ §§§¥ £ ¡ ¤
mit sub £ sub sub ¨.
£¤ ¥
©
§§§ ¤ ¢
(2.) Vollständigkeit:
Seien die Variablen in sub ,
und seien
neue Konstanten.
¤§§§ ¡
¤§§§
¡ ¢ ¡ sub ¤ ¡
¤¡ §§§
¡
¡
Nach Vor.: , d.h. ist unerfüllbar.
SLD-Resolution ist vollständig für Hornklauseln:
¡ ¡ ¢
¡¥ §§§ ¡ £ © sub¤ §§§ sub¨¥§
Es gilt
¡
§§§ sub¨ . ¢ ¡ sub¤
Ersetzung von durch liefert:
¡ ¢ ¢
sub sub §§§ ¡ £ © ¤ §§§ ¨¥
und sub sub
¡¥
sub
¡
sub ¨. ¤ §§§ ¡ ¢ ¡
£ ¡ sub
Lifting-Lemma:
©sub sub ¡ ¡
und es gibt eine Substitution
¨¥
£
mit
§§§ ¤ £ §§§ ¡¥ ¡
¤
Also folgt
148

Definition (prozedurale Semantik)
Sei ein Logik-Programm und ¡ eine Zielklausel.
Die £ ¡¥ zugeordnete prozedurale Semantik ist
die folgende Menge von Grundinstanzen von ¡:
§ proz
¡
¡ sub wobei
£ ¡ ¤ ¡¥ ¢ ¢
¡ £ © sub¥ und ¤ ist
eine Grundsubstitution für alle
in
¡
sub vorkommenden £ ¡¥
Variablen
¡
Definition (modelltheoretische Semantik)
Sei ein Logik-Programm und ¡ ¢¤££¤§§§ £ ¡
eine Zielklausel.
Die £ ¡¥ zugeordnete modelltheoretische Semantik
ist die folgende Menge von Grundinstanzen von ¡:
§ mod
£ ¡
¡ ist eine Grundinstanz von
und
¡¥ ¢ ¡ ¥ ¢ ¡ .
£ £¤¥§§§¥£
149

Satz von Clark (2.): £ ¡
Satz
Für alle Hornklauselprogramme und Zielklauseln
¡ gilt
Beweis:
”
Dann:
§ proz
£ ¡¥ ¢ §mod
£ ¡¥§
“: Sei ¡ ¨ § proz
£ ¡¥.
£ ¡ ¡¥ ¡ §§§ ¡ £ © sub¥
und ¡ ist eine Grundinstanz von £ £¤¥§§§¥£ ¡ ¥sub.
Satz von Clark (1.): ¢ ¡ , also ¡ ¨ § mod
£ ¡¥.
¡ “: Sei
” § ¡ mod ¡¥.
Dann ist ¨ eine
£
Grundinstanz von ¡ ¥,
£
und , d.h. ¥sub für eine
¥ §§§¥ £ £ ¡ £¤ ¡ ¡ ¡
Grundsubstitution sub . Also ist jede Grundinstanz
¢
von ¥sub eine Folgerung von
¢
.
£¤¥ £ §§§¥ ¡ £ §§§¥ ¥ £¤ £
¡ ¡ © sub¥
und es gibt eine Substitution mit
§§§ £ ¡¥
¤
¥sub ¥sub ¤.
¥ §§§¥ £ ¡ ¢ £ £¤ ¥ §§§¥ £ ¡ £¤ £ ¢ ¡
¡ § Also: proz ¡¥. £
150
©
¨

¦§
£ § ¦
Zielklausel: ¤ £ £¦ ¥ §
¦ 1. ¤ £ ausgewählt: (a) ¥
(b)
§ £
£ ¥ § £ ¤
4.3 Auswertungsstrategien
Logik-Programme sind nicht-deterministisch:
¡ sub für £ ¡ ¢ ¢ ¥ § ¢ © ¤§§§ ¢ sub¥
Eine Auswertungsstrategie legt fest, wie der jeweils
nächste Schritt ausgewählt wird.
¡ §
£
Zwei Ursachen für den Nicht-Determinismus:
1. Art: Mehrere Programmklauseln sind auf ein
Literal der Zielklausel anwendbar.
2. Art: Zielklausel enthält mehrere Literale.
Beispiel:
Logik-Programm: ¦ £ .
¤ (c) ¥ £
Beachte: möglicherweise ergeben sich
verschiedene Ergebnisse.
§ £
151

aktuelle Zielklausel
Nicht-Det. 2. Art
¦ ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦
Auswahl des
Prozeduraufrufs
Nicht-Det. 1. Art
neue Zielklausel
£
¥
¤ £
¢ £
¡
£
¤ £
¥
¥
£
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
§
¢ £
¢ £
¥
¢ £
¢ £
¡
¡
¡
£
¥
¢ £
¡
¤ £
¥
152
2.
¨£
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©

££££££££££££££££££££££££££££
sub sub
¤¢¢¢ ¥ ¢¢¢ ¨£ §
§¢¢¢ ©
§¢¢¢ ¢ ¢¢¢ ¡¢¢¢ ¨
¤ ¨ ©¥§¢¢¢ ¥¦
©
£££££££££££££££££££££££££££
§¢¢¢ ¢ ¢¢¢ ¥ ¢¢¢ ¨£ sub§§
© ¨ © ¤§¢¢¢ ¤§
¢
££££££££££££££££££££££££££££
§¢¢¢ ¤¢¢¢ ¥ ¢¢¢ ¨£ sub§§ sub§
©
Vertauschungslemma
Gegeben seien zwei aufeinanderfolgende
SLD-Resolutionsschritte
§¢¢¢ ¢ ¢¢¢ ¡¢¢¢ ¨
© ¨ © ¤§¢¢¢ ¤§
¢
£££££££££££££££££££££££££££
sub
¤¢¢¢ ¡¢¢¢ ¨£ § ¤ ¨ ©¥§¢¢¢ ¥¦
§¢¢¢ ©
Dann kann man die Reihenfolge der Literale, nach
denen resolviert wird, vertauschen:
wobei sub¤sub¦ mit sub ¤sub ¦ identisch sind bis auf
eventuelle Variablenumbenennungen.
153

Beweis:
sub¤sub¦ sub¦ sub¤sub¦
Also existiert Resolvent von
und
¢
¡,
£
wobei sub der
¢
allgemeinste
§§§ £¨
¤££¤§§§ £
£
Unifikator von und sei. Dann gibt es eine Substitution
mit
¤§§§
sub
¤
¤.
£
¤ ¢ sub¤sub¦ ¤
¢ sub ¤ ¦ ¢ ¢ ¢
¦¤ ¦ sub¤sub¦ sub¤sub¦
sub ¤.
Also existiert Resolvent
¢ ¢ von
£ ¤
¤
£¨¥sub und
£
§§§ ¤ ¤ £
, wobei sub ¥ £¤§§§ £ der allgemeinste Uni-
¥¡ £ §§§ ¢ ¦ ¤§§§ ¢ ¦
fikator von £ ¢ sub ¤ und ¦ sei.
noch z.z.:
Es gibt Substitutionen ¤ und ¤ mit
sub ¤sub und sub ¤sub ¤ sub¤sub¦ sub¤sub¦ ¦¤ .
sub ¤¤, d.h. sub für eine Subst. .
¦ ¢ ¢
¦¤ ¤ ¦¤ ¤
Damit: sub sub ¤sub .
¢ ¢ ¢ £
¦¤ ¢ ¤¤ sub¤sub¦ ¢
sub ¤sub ¢ sub ¢ sub ¤sub ¦,
¦ ¦
d.h., sub ¢ ¤sub für eine Substitution .
¥ £ ¥ ¦ ¦
¤ sub¤¤ ¢ ¦
sub¤¤ sub ¤sub sub ¤sub ¦ £ ¥ ¥ ,
¢ ¥ £ ¦ ¢ ¢
sub¤¤ ¤
d.h., für eine Substitution .
¢
¤ ¥ ¤ sub¦¤
Also: sub ¤sub .
¢
©
sub¤sub¦¤ ¥ ¢ sub¤¤ ¢ ¦
154

Definition
Eine Rechnung eines Logik-Programms heißt
kanonisch, wenn bei jedem Konfigurationsübergang
nach dem am weitesten links stehenden Literal der
aktuellen Zielklausel resolviert wird.
Satz
Sei £ ¡
Rechnung des Logik-Programms . Dann gibt es
eine erfolgreiche und kanonische Rechnung von
bei Eingabe ¡ derselben Länge und mit demselben
Rechenergebnis.
¡¥ ¡ §§§ ¡ £ © sub¥ eine erfolgreiche
Beweis:
Vertauschungslemma anwenden, um gegebene
Rechnung in eine kanonische Rechnung zu überführen.
Ab jetzt nur noch kanonische Rechnungen.
Nur noch Nicht-Determinismus der 1. Art!
Alle kanonischen Rechnungen von bei Eingabe
©
dargestellt.
Zur Vereinfachung:
Substitutionen nicht angeben.
¡ werden durch einen Baum mit Wurzel £ ¡ ¡¥
155

Beispiel:
£ ¥ £ £ ¥ £ Logik-Programm :
1. ¥.
2. ¥.
3. £¡ ¢¥.
Zielklausel:
Kanonische Rechnungen:
¤ £ £ ¢¥.
© ¡ £
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
§
£££££££££ £
¦
¡ R-Ergebnis:
£
¡ £¤ £ ©
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
§
unendliche
Rechnung
¡ §£¤ §£¤ £ ©
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
§
¤ £ ©
¦
¡ R-Ergebnis:
£
© ¤ £¤ £
¤
nicht-erfolgr.
Rechnung
£ ©
156

Deterministische Auswahlstrategie:
systematischer Durchlauf des gesamten kanonischen
Berechnungsbaums bis eine erfolgreiche Rechnung
gefunden wird.
Breadth-First Strategie: vollständig, aber aufwendig
Depth-First Strategie:
eventuell effizienter,
aber nicht vollständig
Kowalski:
Algorithmus = Logic + Control
157