11. Juli und 13. Juli 2006

2.6 Halteproblem, Unentscheidbarkeit, Reduzierbarkeit
Definition
(a) Eine Menge A ⊆ Σ ∗ heißt entscheidbar, falls
ihre charakteristische Funktion χ A : Σ ∗ → {0,1}
berechenbar ist:
{
1, falls w ∈ A
χ A (w) :=
0, falls w ∉ A
(b) Eine Menge A ⊆ Σ ∗ heißt semi-entscheidbar,
falls die Funktion χ ′ A : Σ∗ → {0,1} berechenbar
ist:
{
χ ′ 1, falls w ∈ A
A (w) := undefiniert, falls w ∉ A
zu (a):
w
Alg.
✛✘
❙ ✱
✱ ❙❙
✚✙ ✱
✛✘
✱
“Ja”
❙ ✱
✱ ❙❙
✚✙
“Nein”
zu (b):
w
Alg.
???
✛✘
❏ ✱
✱
✱ ❏❏
✚✙
“Ja”
175

Satz
Eine Sprache A ⊆ Σ ∗ ist entscheidbar gdw.
A und A (= Σ ∗ A) semi-entscheidbar sind.
Beweis:
“⇒”: klar
“⇐”: Semi-Entscheidungsverfahren M 1 für A
Semi-Entscheidungsverfahren M 2 für A
Entscheidungsverfahren für A:
INPUT(x);
FOR s := 1,2,3, . . . DO
IF M 1 (x) stoppt in s Schritten
THEN OUTPUT(1) END;
IF M 2 (x) stoppt in s Schritten
THEN OUTPUT(0) END;
END.
✷
176

Definition
Eine Sprache A ⊆ Σ ∗ heißt rekursiv aufzählbar,
falls A = ∅ oder falls es eine totale und berechenbare
Funktion f : N → Σ ∗ gibt mit
A = {f(0), f(1), f(2), . . .}.
Sprechweise: f zählt A auf.
Beachte: Für i ≠ j ist f(i) = f(j) möglich.
Satz
Eine Sprache ist rekursiv aufzählbar gdw.
sie semi-entscheidbar ist.
Beweis:
“⇒”: Sei f : N → Σ ∗ total und berechenbar mit
A = { f(n) | n ≥ 0 }.
Semi-Entscheidungsverfahren für A:
INPUT(x);
FOR n := 1,2, . . . DO
IF f(n) = x THEN OUTPUT(1) END;
END
177

“⇐”: Sei M ein Semi-Entscheidungsverfahren für
A ≠ ∅.
Sei a ∈ A.
Algorithmus für ˆf : N → Σ ∗ :
INPUT(n);
x := e(n); y := f(n);
IF M(x) stoppt in y Schritten mit Ausgabe 1
THEN OUTPUT(x) ELSE OUTPUT(a)
END
Dann: ˆf : N → Σ ∗ total, berechenbar mit ˆf(N) ⊆ A.
Bei x ∈ A gibt es y ≥ 1 mit M(x) stoppt in y
Schritten mit Ausgabe 1.
Dann: ˆf(c(x, y)) = x, d.h. ˆf(N) = A.
✷
178

Folgerung
Für eine Sprache A ⊆ Σ ∗ sind die folgenden
Aussagen äquivalent:
(1.) A ist rekursiv aufzählbar.
(2.) A ist semi-entscheidbar.
(3.) A ist Sprache vom Typ 0.
(4.) A = T(M) für eine Turingmaschine M.
(5.) χ ′ A
ist berechenbar.
(6.) A ist Definitionsbereich einer berechenbaren
Funktion.
(7.) A ist Wertebereich einer berechenbaren
Funktion.
Beweis:
(1.)
(2.)
(5.)
(6.)
Satz
(7.) : Def. von rek. aufz.
Def. semi-entsch.
klar
Berechenbarkeit
(4.)
(3.) : Satz
179

Eine Kodierung von TMen
M = (Z,Σ,Γ, δ, z 0 , ✷, E) ↦→ w M ∈ {0,1} ∗
Seien Z = {z 0 , z 1 , . . . , z n },
Γ = {a 0 , a 1 , . . . , a k }
mit ✷ = a 0 ,0 = a 1 ,1 = a 2 und # = a 3 ,
und E = {z n−j , . . . , z n } für ein j ≥ 0.
δ : Z × Γ → Z × Γ × {L, R, N}
δ(z i , a j ) = (z i ′, a j ′, y) ↦→ w i,j,i ′ ,j ′ ,y :=
mit m =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
##bin(i)#bin(j)#bin(i ′ )#bin(j ′ )#bin(m)
0 falls y = L,
1 falls y = R,
2 falls y = N.
w ′ M ∈ {0,1,#}∗ : alle w i,j,i ′ ,j ′ ,y hintereinander
h : {0,1,#} ∗ → {0,1} ∗ : 0 ↦→ 00,1 ↦→ 01,# ↦→ 11
Dann: w M := h(w ′ m)
180

Sei ˆM die triviale TM, die nie stoppt.
Zuordnung {0,1} ∗ → {TMen} : w ↦→ M w
mit M w :=
{
M, falls w = wM
ˆM, sonst
Definition
Das spezielle Halteproblem (Selbstanwendungsproblem)
ist die Sprache
K = { w ∈ {0,1} ∗ | M w hält bei Eingabe w an }.
Satz
Das spezielle Halteproblem ist nicht entscheidbar.
181

Beweis:
Ang.: K ist entscheidbar,
d.h. ∃ TM M : M berechnet χ K .
M ′ :
start M “Band = 0?”
nein
ja
stop
Dann: M ′ stoppt gdw. M liefert Ergebnis 0.
Damit: M ′ hält bei Eingabe w M ′ an
gdw. M liefert bei Eingabe w M ′ Ergebnis 0
gdw. χ K (w M ′) = 0
gdw. w M ′ ∉ K
gdw. M wM ′ hält bei Eingabe w M ′ nicht an
gdw. M ′ hält bei Eingabe w M ′ nicht an.
✷
182

Definition
Seien A ⊆ Σ ∗ und B ⊆ Γ ∗ .
A ist auf B reduzierbar (A ≤ B), wenn es eine
totale und berechenbare Funktion f : Σ ∗ → Γ ∗
gibt, sodass für alle x ∈ Σ ∗ folgendes gilt:
x ∈ A gdw. f(x) ∈ B.
Lemma
Gilt A ≤ B und ist B entscheidbar, so ist auch A
entscheidbar.
Beweis:
f : Σ ∗ → Γ ∗ Reduktion von A auf B.
Ist χ B berechenbar, so ist χ B ◦ f berechenbar
{ }
1 falls f(x) ∈ B
χ B (f(x)) =
0 falls f(x) ∉ B
{ }
1 falls x ∈ A
=
= χ
0 falls x ∉ A A (x).
Also ist A entscheidbar.
✷
Analog für Semi-Entscheidbarkeit.
183

Weitere unentscheidbare Probleme
Definition
Das (allgemeine) Halteproblem ist die Sprache
H = { w#x | M w hält bei Eingabe x an }.
Satz
Das Halteproblem H ist nicht entscheidbar.
Beweis: z.z.: K ≤ H.
Definiere f(w) := w#w.
f ist total und berechenbar.
Für alle w ∈ {0,1} ∗ :
w ∈ K gdw. M w hält bei Eingabe w an
gdw. w#w ∈ H.
✷
184

Definition
Das Halteproblem auf leerem Band ist die Sprache
H 0 = { w | M w angesetzt auf das leere Band hält }.
Satz
Das Halteproblem auf leerem Band H 0 ist nicht
entscheidbar.
Beweis: z.z.: H ≤ H 0 .
f : w#x ↦→ M : Schreibe x auf’s Band
↓
Simuliere M w mit Eingabe x
f ist berechenbare Funktion, die zu einer totalen,
berechenbaren Funktion ergänzt werden kann:
f(y) := w ˆM für alle y ∉ {0,1}∗ · # · {0,1} ∗ .
Dann :
w#x ∈ H gdw.
gdw.
M w hält bei Eingabe x
M angesetzt auf das leere Band hält
gdw. f(w#x) ∈ H 0 . ✷
185

Satz (Rice)
Sei R die Klasse aller Turing-berechenbaren
Funktionen. Sei S ⊆ R mit ∅ ̸= S ≠ R.
Dann ist die Sprache
C(S) = { w | M w berechnet eine Funktion in S }
unentscheidbar.
Beispiele:
(a) S 1 := { f ∈ R | f ist eine konstante Funktion }
C(S 1 ) = { w | M w ber. eine konstante Funktion }
(b) S 2 := { f ∈ R | f ist die Identitätsfunktion }
C(S 2 ) = { w | M w ber. die Identitätsfunktion }
(c) S 3 := { f ∈ R | f ist primitiv rekursiv }
C(S 3 ) = { w | M w ber. eine prim. rek. Funktion }
Alle diese Sprachen sind nicht entscheidbar.
Bemerkung:
Das Äquivalenzproblem für TMen:
Ä = { u#v | M u und M v berechnen dieselbe Funktion }
Dann: H ≤ Ä, aber nicht Ä ≤ H.
Ä hat einen höheren Grad der Unentscheidbarkeit.
186